Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König

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1 Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, Anton Ksernofontov, Jürgen Platzer, Nataliya Sokolovska,

2 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor die eigentliche Aufgabe des ersten Teils, den Satz von Menger zu beweisen, besprochen wird, sind einige grundlegende Definitionen festzulegen Definitionen Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph und s, t V. Zwei Wege von s nach t (kurz (s,t)-wege) heißen kantendisjunkt, wenn sie keine Kante gemeinsam haben. Eine Menge von Kanten E trennt s von t, wenn in G = (V, E \ E ) kein Weg existiert, der s und t verbindet. Gegeben sei folgender ungerichteter Graph G: Abbildung 1: Graph G Zwei kantendisjunkte (s,t)-wege wären der Weg (s, 3) (3, t) und der Weg (s, 2) (2, 4) (4, t), da keine Kante von beiden Wegen benützt wird. Eine Menge von Kanten, die s von t trennen würden wäre die Kante von s nach 3 und die Kante von 2 nach 4. Würde man diese beiden Kanten entfernen, so gäbe es keinen Weg mehr von s nach t Der Satz von Menger In einem zusammenhängenden Graph G gilt für alle Knoten s, t: Die maximale Anzahl A kantendisjunkter (s,t)-wege ist gleich der minimalen Anzahl B an Kanten, die x und y trennen. In dem Graph G aus Abbildung 1 müssten mindestens 2 Kanten gelöscht werden, damit man nicht mehr von s nach t gelangt. Dementsprechend folgt daraus, dass es höchstens 2 kantendisjunkte (s,t)-wege in G geben kann.

3 1.3. Beweis In dem Beweis des Satzes ist zu zeigen, dass die Mächtigkeit (Ordnung) der Menge A (= größtmögliche Anzahl kantendisjunkter (s,t)-wege) gleich der Mächtigkeit der Menge B (= kleinstmögliche Anzahl von Kanten, die t von s separiert) ist. Um die Gleichheit zweier Kardinalzahlen zu zeigen, ist zu zeigen, dass A B und B A gilt. A B: Ist k die kleinste Anzahl an Kanten, die man löschen muss, um t von s zu separieren, so ist die Anzahl der kantendisjunkten (s,t)-wege durch k beschränkt. Der Grund liegt darin, dass diese Wege über die Kantenmenge, welche t separiert, gehen müssen. Da sie aber keine Kante doppelt verwenden dürfen, um als kantendisjunkt zu gelten, ist die Anzahl der trennenden Kanten größer gleich der Anzahl der kantendisjunkten Wege. Es gilt: A B Wenn im Graphen G aus Abbildung 1 die Kanten (3,t) und (4,t) gelöscht werden, so ist t von s separiert. Weiters können alleine aus dieser Bedingung folgend höchstens 2 kantendisjunkte (s,t)-wege existieren, da jeder dieser Wege als letzte Kante nach t einen dieser beiden trennenden Kanten verwenden muss. B A: Wir bezeichnen die Menge der k kantendisjunktien (s,t)-wegen mit W. Wir bilden nun eine Menge V 1 aller Knoten, die über einen zu allen Wegen in W disjunkten Weg von s aus erreichbar sind. Die übrigen Knoten kommen in die Menge V 2. s liegt in V 1, da ja der triviale Weg der Länge 0 zu jedem anderen Weg disjunkt ist. t liegt in V 2, da W maximal ist. Im Graphen G wählen wir die Wege (s, 3) (3, t) und (s, 2) (2, 4) (4, t) als kantendisjunkte (s,t)-wege. Sie gehören demnach der Menge W an. Nun ist die Knotenmenge V 1 festzulegen. Dieser gehört zunächst der Knoten s selbst an. Als nächstes gehören V 1 alle Knoten an, die über einen zu W disjunkten Weg von s aus erreichbar sind. Dabei überprüfen wir alle Kanten die von s wegführen. Die Kante (s, 3) gehört einem Weg von W an und darf daher nicht benützt werden. Das selbe gilt für die Kante (s, 2). Über die Kante (s, 1) gelangen wir zum Knoten 1 und weiter über die Kante (1, 2) zum Knoten 2. Der Knotenmenge V 1 gehören demnach die Knoten s, 1 und 2 an. Der Knotenmenge V 2 gehören 3, 4 und t an. Dies ist nochmals in Abbildung 2 grafisch dargestellt.

4 Abbildung 2: Graph G mit den Knotenmengen V 1, V 2 Als nächstes bestimmen wir die Kantenmenge S. S sei die Menge aller Kanten, die von Knoten aus V 1 nach Knoten aus V 2 führen. In unserem Beispiel gehören dieser Kantenmenge die Kanten (s,3) und die Kanten (2, 4) an. Jede Kante (v 1, v 2 ) aus S muss auf irgendeinem Weg aus W liegen, da der Knoten v 2 ansonsten von s aus über einen zu W kantendisjunkten Weg erreichbar wäre. (Dies hätte zur Folge, dass v 2 der Knotenmenge V 1 angehört und somit (v 1, v 2 ) nicht zur Kantenmenge S gehört. WIDERSPRUCH) Für jeden Weg in W kann höchstens eine Kante in S liegen. Liegen (v 1, v 2 ) und (w 1, w 2 ) auf demselben (s,t)-weg (ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass Kante (v 1, v 2 ) vor (w 1, w 2 ) kommt), dann ist v 2 über einen zu W disjunkten Weg erreichbar. Dieser Weg führt von s aus zu w 1 (, der ja V 1 angehört) und von w 1 weiter zu v 2 (in der Gegenrichtung des (s,t)-weges, welche nicht W angehört!!!). Demnach müsste v 2 in V 1 liegen WIDERSPRUCH. Für jeden Weg in W liegt mindestens eine Kante in S. Da s V 1 und t V 2 gilt, existiert auf jedem Weg von s nach t eine Kante, deren Anfangsknoten in V 1 und Endknoten V 2 liegt. Da alle Wege in W disjunkt sind, liegen mindestens W solche Wege in S. Damit ist gezeigt, dass W = S gilt. Da S aber s von t trennt, ist bewiesen, dass die minimale Anzahl an Kanten, die x und y trennen (B) kleiner gleich der maximalen Anzahl kantendisjunkter (s,t)-wege (A) ist. Es gilt B A.

5 2. Beweis des Satzes von König 2.1. Definitionen Matching Eine Menge M von unabhängigen Kanten in einem Graphen G = (V,E) nennt man ein Matching. Man nennt M ein Matching von U V, wenn jeder Knoten aus U mit einer Kante aus M inzident ist. In Abbildung 3 ist M ein Matching von U = {v2, v3, v4, v5, v6, v7}. Abbildung 3: Matching k-faktor Einen k-regulären spannenden Subgraphen nennt man k-faktor. (Beispiel in Abbildung 4) Abbildung 4: 2-Faktor

6 Perfektes Matching Ein perfektes Matching ist Matching von V(G), also ein Matching, das alle Punkte des Graphen überdeckt. Daraus folgt, dass ein perfektes Matching ein 1-Faktor sein muss. Abbildung 5: Perfektes Matching (1-Faktor) Bipartiter Graph Ein Graph G = (S + T, E) heißt bipartit, wenn er aus 2 disjunkten Knotenmengen S und T besteht, für die gilt: Jede Kante aus E verbindet S und T (wir schreiben S + T, um dies auszudrücken). Abbildung 6: Bipartiter Graph Fragestellung: Wie findet man ein Matching mit maximal vielen Kanten?

7 Alternierender Weg Ein Weg P der an einem Knoten startet, der nicht von M gematcht wird, und dann abwechselnd Kanten aus E\M und aus M enthält heißt alternierender Weg in Bezug auf M. Augmentierender Weg Ein alternierender Weg, der ebenfalls an einem ungemachtem Knoten endet, heißt augmentierender Weg. Abbildung 7: alternierender und augmentierender Weg Matching auf bipartitem Graph Sei G = (S + T, E) ein bipartiter Graph. Ein Matching M E auf G ist eine Menge paarweise nicht inzidenter Kanten aus E. Matchingzahl Die Matchingszahl m(g) ist definiert als die Kardinalität M eines größtmöglichen Matchings M auf G. Ein Matching heißt maximal Matching, wenn M = m (G). Überdeckung Ist jede Kante aus E(G) mit einem Punkt aus U V(G) indizent, so nennt man U Überdeckung von E (bzw. Knotenüberdeckung von G).

8 2.2. Der Satz von König In jedem bipartiten Graphen G = (S + T, E) ist max ( M, M Matching) = min ( U, U Überdeckung) oder Der maximale Grad eines Matchings in G ist gleich der minimalen Kardinalität einer Knotenüberdeckung in G 2.3. Beweis Sei M ein Matching mit maximaler Kardinalität. Wir wählen uns von jeder Kante aus M eine Ende aus. Das Ende liegt in B, wenn dort ein M-alterniereder Weg endet. Ansonsten wählen wir das Ende, das in A liegt. Die Menge U der ausgewählten M Knoten überdeckt G. Da jede Knotenüberdeckung von G auch unser Matching M überdecken muss, kann es keine mit weniger als M geben. (Abbildung 8) Abbildung 8: 1. Teil des Beweises Bleibt zu zeigen, dass unsere Knotenüberdeckung U jede Kante aus G erreicht, dass also bei jeder Kante ab E (G) a oder b in U liegen muss. Fall 1: Ist ab M, so liegt laut Definition von U einer der Punkt schon in U. Fall 2: Ist ab M, dann gibt es eine Kante a'b' aus M, die mit ab einen Punkt gemeinsam hat, da M ein maximales Matching ist.

9 Fall 2.1 Wenn a ungematcht ist, dann ist ab eine ungematchte Kante aus G, und b = b' U. Fall 2.2 Wenn a gemacht ist und nicht zur Knotenüberdeckung gehört, also a = a' U, muß b' U sein und ein alternierender Weg P endet in b'. Gleichzeitig muß aber auch ein alternierender Weg P' in b enden, für den gilt P' := Pb (wenn b P) oder P' = Pb'a'b. Da M maximal ist, kann P' kein augmentierender Weg sein, weil man sonst durch Invertieren von P' ein Matching höherer Kardinalität erhalten könnte. Also muß in b eine Kante von M enden und b zu U gehören. Abbildung 8: Fälle