Das Matching Polytop

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1 Das Matching Polytop Manuel Schneider Institut für Mathematik, TU Berlin Seminar: Algorithmische Diskrete Mathematik 27. Mai 2008

2 Überblick 1 Beschreibungen durch Ungleichungen Das Perfekte Matching Polytop Das Matching Polytop 2 Total Dual Integrality des Matching Polytops Wiederholung TDI Matching Polytop Perfektes Matching Polytop 3 Separierungsproblem Separierungsproblem für P perfect matching

3 Setting Im folgenden sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Definition (Matching) Eine Menge M E heisst Matching in G, wenn e f = e, f M Ein Matching M heisst perfekt, wenn jeder Knoten v V zu einer Kante e M inzident ist.

4 Notation Seien: U V, A E, v V und x R E. δ(v) := {e E v e} x(a) := x e e A P odd (V ) := {U V U ungerade } χ A := ein Vektor x {0, 1} E mit x e = 1 : e A E[U] := {e = (v, w) E v, w U}

5 Überblick 1 Beschreibungen durch Ungleichungen Das Perfekte Matching Polytop Das Matching Polytop 2 Total Dual Integrality des Matching Polytops Wiederholung TDI Matching Polytop Perfektes Matching Polytop 3 Separierungsproblem Separierungsproblem für P perfect matching

6 Das Perfekte Matching Polytop Das Perfekte Matching Polytop Definition (Perfektes Matching Polytop) Das Perfekte Matching Polytop eines Graphen G = (V, E) ist die konvexe Hülle aller Inzidenzvektoren perfekter Matchings in G. P perfect matching (G) := conv({χ M M ist perfektes Matching in G})

7 Das Perfekte Matching Polytop Vorüberlegungen Ganz offensichtlich gilt für jeden Vektor x P perfect matching (G) x e 0 e E (1) Ein perfektes Matching M überdeckt jeden Knoten v V, und somit gilt auch: x(δ(v)) = 1 v V (2) Jede ungerade Knotenmenge hat mindestens eine ausgehende Kante x(δ(u)) 1 U P odd (V ) (3)

8 Das Perfekte Matching Polytop Edmonds Satz vom Perfekten Matching Polytop Satz Für einen ungerichteten Graphen G = (V, E) gilt: P perfect matching (G) = Q(G) wobei Q(G) := x RE mit x e 0 e E (1) x(δ(v)) = 1 v V (2) x(δ(u)) 1 U P odd (V ) (3)

9 Das Perfekte Matching Polytop Edmonds Satz vom Perfekten Matching Polytop Beweis: P perfect matching (G) Q(G) ist klar Sei G ein bzgl. V + E minimales Gegenbeispiel Sei x eine Ecke von Q(G) mit x / P perfect matching (G) wir zeigen Widerspruch: x lässt sich konvex aus perfekten Matchings kombinieren Sei also 0 < x < 1 und damit deg(v) 2 und E V Wir können E > V annehmen Da x Ecke von Q(G) sind E linear unabh. Constraints scharf U P odd (V ) mit 3 U V 3 und x(δ(u)) = 1

10 Das Perfekte Matching Polytop Edmonds Satz vom Perfekten Matching Polytop U G =(V,E) V \ U betrachte Projektionen x und x von x auf G/U bzw. G/(V \ U) es gilt: x P perfect matching (G/U) M 1,..., M l perf. Matchings in G/U mit: l G/U x = 1 l i=1 χ M i analog: M 1,... M m perf. Matchings in G/Ū mit: G/(V \ U) x = 1 m m i=1 χ M i

11 Das Perfekte Matching Polytop Edmonds Satz vom Perfekten Matching Polytop G =(V,E) U V \ U mit k := kgv(l, m) gilt: x = 1 k k i=1 χ M i bzw. x = 1 k k i=1 χ M i G/U G/(V \ U) da x e = x e = x e ist M i := M i M i also ist: x = 1 k e δ(u) perf. Matching in G k i=1 d.h. x P perfect matching (G) q.e.d χ M i

12 Das Matching Polytop Matching Polytop Definition (Matching Polytop) Das Matching Polytop eines Graphen G = (V, E) ist die konvexe Hülle aller Inzidenzvektoren von Matchings in G. P matching (G) := conv({χ M M ist Matching in G})

13 Das Matching Polytop Vorüberlegungen Die Nichtnegativität behalten wir bei: x e 0 e E (4) (2) relaxieren wir zu: x(δ(v)) 1 v V (5) Jede Knotenmenge U V enthält höchstens 1 2 U Kanten eines Matchings x(e[u]) 1 U U V mit U ungerade (6) 2

14 Das Matching Polytop Edmonds Satz vom Matching Polytop Satz (Edmonds Satz vom Matching Polytop) Für einen ungerichteten Graphen G = (V, E) gilt: P matching (G) = P(G) wobei P(G) := x RE mit x e 0 e E x(δ(v)) 1 v V x(e[u]) 1 2 U U P odd(v )

15 Das Matching Polytop Edmonds Satz Matching Polytop (Beweis) Beweis. P matching (G) P(G) ist klar. Sei x P(G) Kopie G = (V, E ) von G = (V, E) Kanten E V := {e v = {v, v } v ist Kopie von v} Graph G := (Ṽ := V V, Ẽ := E E E V ) Definiere x RẼ mit: x e := x e := x e x (v,v ) := 1 x(δ(v)) e E v V x P perfect matching ( G) x P matching (G)

16 Das Matching Polytop Edmonds Satz vom Matching Polytop zeige: x P perfect matching ( G) Beweis. x 0 x( δ(v)) = x(δ(v)) + x (v,v ) = 1 x( δ(u)) 1 U P odd (Ṽ ) x( δ(u)) 1 U P odd (V ) genügt. x( δ(u)) + 2 x(e[u]) = v U x( δ(v)) = U x( δ(u)) = U 2 x(e[u]) U U = 1

17 Das Matching Polytop Edmonds Satz vom Matching Polytop Sei U P odd (Ṽ ) mit U = W X mit W V, X V Es gilt: x( δ(u)) x( δ(w \ X)) + x( δ(x \ W )) V \ (W X) V \ (W X ) X \ W X \ W W X W X W \ X W \ X

18 Überblick 1 Beschreibungen durch Ungleichungen Das Perfekte Matching Polytop Das Matching Polytop 2 Total Dual Integrality des Matching Polytops Wiederholung TDI Matching Polytop Perfektes Matching Polytop 3 Separierungsproblem Separierungsproblem für P perfect matching

19 Wiederholung TDI TDI Definition (totally dual integral) Ein System Ax b mit A Q m n und b Q m heisst totally dual integral oder kurz TDI, falls für jedes c Z n das duale Programm zu max{c x Ax b}, nämlich min{y b y 0, y A = c } ganzzahlige optimale Lösungen hat (wenn beschränkt). Anmerkung: TDIness ist Eigenschaft der Beschreibung eines Polytops

20 Matching Polytop gewichtsmaximale Matchings Sei w : E R + eine Gewichtsfunktion. max w x s.t. x e 0 e E x(δ(v)) 1 v V x(e[u]) 1 2 U U P odd(v )

21 Matching Polytop Duales Programm Das zu max{w x x P matching } duale Programm lautet: min y v + v V U P odd (V ) z U 1 U (7) 2 wobei y R V + und z R P odd(v ) + unter den Nebenbedingungen: y v χ δ(v) + z U χ E[U] w (8) v V U P odd (V )

22 Matching Polytop Cunningham-March Formel Satz (Cunningham-March Formel) Wenn w Z + existiert eine ganzzahlige Optimallösung zu min y v + z U 1 U 2 v V y v χ δ(v) + v V U P odd (V ) U P odd (V ) z U χ E[U] w z kann so gewählt werden, dass {U P odd (V ) z U > 0} laminar ist.

23 Matching Polytop Laminarität Definition Wir nennen ein Mengensystem F laminar, wenn U W = oder U W oder W U für alle U, W F gilt. Beispiel eines laminaren Mengensystems:

24 Matching Polytop Cunningham-March Formel (Beweis) Beweis: Vollständige Induktion über E + w(e) Wir können w 1 annehmen 1.Fall: u V, der von jedem Gewichtsmaximalen Matching überdeckt wird betrachte Gewichtsfunktion w := w χ δ(u) nach IV existieren y v, z U ganzzahlig und optimal bzgl. w erhöhen von y u um 1 ist zulässig und optimal bzgl.w 2.Fall: v V existiert ein gewichtsmaximales Matching das v nicht überdeckt dann gilt: y = 0 (komplementärer Schlupf)

25 Matching Polytop Cunningham-March Formel (Beweis) Sei (0, z) Optimallösung maximal bzgl. z U 1 2 U 2 (9) U P odd (V ) F := {U P odd z U > 0} ist laminar (0, z) ist ganzzahlig (Widerspruch) Sei U inklusionsmaximal mit z U / Z + und U 1,..., U k F inklusionsmaximal und echt in U enthalten. abrunden von z U um α und erhöhen aller z Ui um α bleibt zulässig. wegen k i=1 1 2 U i < 1 2 U reduziert sich aber der Wert der Zielfunktion

26 Perfektes Matching Polytop Primal: Beschreibung von P perfect matching ist nicht TDI betrachte K 4 mit Einheitsgewichten. Gewicht jedes perfekten Matchings ist 2. max 1 x s.t. x(δ(v)) = 1 v V x 0 Dual: min s.t. v V y v v V y vχ δ(v) 1 y R V y v = 1 2 v V ist eindeutige Optimallösung.

27 Überblick 1 Beschreibungen durch Ungleichungen Das Perfekte Matching Polytop Das Matching Polytop 2 Total Dual Integrality des Matching Polytops Wiederholung TDI Matching Polytop Perfektes Matching Polytop 3 Separierungsproblem Separierungsproblem für P perfect matching

28 Separierungsproblem für P perfect matching Separierungs Problem P perfect matching Problem Entscheide ob x R E im Perfekten Matching Polytop liegt. Wenn nicht, gib eine x und P perfect matching trennende Hyperebene an überprüfe x 0 und x(δ(v)) = 1 v V x(δ(u)) 1 U P odd (V ) einzeln überprüfen? schlecht!! besser: interpretiere x als Kapazitäten, und δ(u) als Schnitt x(δ(u)) 1 U P odd (V ) kann durch einen bzgl. x minimalen ungeraden Schnitt entschieden werden

29 Separierungsproblem für P perfect matching minimale ungerade Schnitte Satz Sei G = (V, E) ein ungerichter Graph mit V gerade und c R E + eine Kapazitätsfunktion. Sei T = (V, F) der zu (G, c) gehörende Gomory-Hu Baum. Dann ist einer der durch T gegebenen fundamentalen Schnitte ein minimaler ungerader Schnitt. Definition Sei G = (V, E) ungerichter Graph mit V gerade, und T = (V, F) Gomory-Hu Baum von G bzgl. c R E +. Eine Kante f F heisst (un)gerade wenn T f aus zwei (un)geraden Zusammenhangskomponenten besteht.

30 Separierungsproblem für P perfect matching U gerade ungerade U f sei δ G (U) ein minimaler ungerader Schnitt in G Beh:δ T (U) enthält mind. eine ungerade Kante Ann.: δ T (U) enthält nur gerade Kanten betrachte Komponente U von U in T lösche f δ T (U ) U enthaltende Komponente ist gerade U ist gerade

31 Separierungsproblem für P perfect matching Vielen Dank!