Optimierung. Vorlesung 08

Transkript

1 Optimierung Vorlesung 08

2 Heute Dualität Ganzzahligkeit Optimierung der Vorlesung durch Evaluierung 2

3 Das duale LP Das primale LP Maximiere c T x unter Ax b, x R d 0. wird zu dem dualen LP Minimiere b T y unter A T y c T, y R m 0. Primal Nebenbedingungen Variablen Maximiere Zielfunktionsvektor Rechte Seite der NB. Dual Variablen Nebenbedingungen Minimiere Rechte Seite der NB. Zielfunktionsvektor 4

4 Schwache Dualität Satz 4.2 Das duale LP des dualen LPs ist das primale LP. Satz 4.3 (Schwaches Dualitätsprinzip) Sei x eine zulässige Lösung für das primale LP und y eine zulässige Lösung für das duale LP. Es gilt y T b c T x. 5

5 Das starke Dualitätsprinzip Satz 4.4 Sei x eine optimale Lösung für das primale LP und y eine optimale Lösung für das duale LP. Es gilt y T b = c T x. Beweisidee: 1. Gleichungsform, x* optimale Lösung 2. Kosten von x* hängen nur von den (nicht-schlupf-) Basisvariablen ab. 3. Vektor der reduzierten Kosten gibt uns 2 Ungleichungen 4. Konstruiere y*, Gleicher Wert, nutze die Ungleichungen aus 3 um zulässigkeit zu zeigen 6

6 Anmerkungen Nicht nur gleicher Zielfunktionswert: Wir können aus optimaler primalen Basislösung eine optimale duale Basislösung konstruieren. Laufzeit O(min m 3, d 3 ), für die Berechnung von A Komplementärer Schlupf (complementary slackness) x und y sind optimal, genau dann wenn y i a i T x b i = 0 für alle i = 1,, m und (1) c j A j T y x j = 0 für alle j = 1,, n. (2) 7

7 Dualtität Im allgemeinen kann ein LP (1) eine endliche optimale Lösung (2), unbeschränkte zulässige Lösungen oder (3) keine zulässige Lösung besitzen. Betrachten wir das Paar aus primalen und dualen LP, so können nur 4 der 9 möglichen Kombinationen existieren. LP-P LP-D beschränkt unbeschränkt unzulässig beschränkt (1) X X unbeschränkt X X (3) unzulässig X (3) (2) 8

8 Beispiel Maximaler Fluss/Minimaler Schnitt Sei P die Menge aller (einfachen) Pfade von s nach t in G = (V, E). Für jeden Pfad P P haben wir eine Variable x P : Maximiere P P x P unter den Nebenbedingungen Das duale LP: Minimiere e E P e P c e y e x P c e x P 0 e E P P unter den Nebenbedingungen e P y e y e 0 1 P P e E 9

9 Ganzzahligkeit Integer Linear Programs LP Optimum ILP Optimum Lösungsraum Ax = b, x 0 Zielfunktion 10

10 Ganzzahligkeit Wir haben in einer Übung bereits gezeigt: Wir können ILPs nicht optimal in Polynomzeit lösen. (Reduktion von 3SAT) Es gibt aber LPs mit der Eigenschaft: Optimale Basislösungen sind ganzzahlig. Die entsprechenden ILPs können also in polynomieller Zeit gelöst werden. Annahme: Eingabe ist ganzzahlig 11

11 Totale Unimodularität Definition 5.1 Eine ganzzahlige quadratische Matrix wird als unimodular bezeichnet, wenn ihre Determinante den Wert 1 oder -1 hat. Eine ganzzahlige Matrix A wird als total unimodular bezeichnet, wenn jede quadratische, reguläre Teilmatrix von A unimodular ist. Satz 5.2 Betrachte ein LP in Gleichungsform Ax = b. Ist A total unimodular, so sind alle Basislösungen dieses LPs ganzzahlig. 12

12 Beweis Satz 5.2 Sei B eine Basis von A. Die Basislösung zu B wird durch die Gleichung A B x B = b beschrieben. Die Matrix A B ist dabei eine quadratische Teilmatrix von A, die durch die Spalten in B gebildet wird. Das Umsortieren der Spalten ändert nur das Vorzeichen der Determinante. Somit ist A B unimodular. Nach der Cramerschen Regel gilt x B(i) = det (A B(1),, A B(i 1), b, A B(i+1),, A (m) ) det (A B ) Die Determinante im Zähler ist ganzzahlig, und die Determinante im Nenner hat den Wert 1 oder -1, da A B unimodular ist. 13

13 Totale Unimodularität Satz 5.3 Betrachte ein LP in kanonischer Form Ax b. Ist A total unimodular, so sind alle Basislösungen dieses LPs ganzzahlig. Beweis Transformation in Gleichungsform Zeige, dass beliebige, quadratische Teilmatrix von (A E m ) unimodular. 14

14 Matrizen, die total unimodular sind. Satz 5.4 Eine ganzzahlige Matrix A mit Einträgen aus { 1,0,1} ist total unimodular, wenn nicht mehr als zwei nicht-nullwertige Einträge pro Spalte vorliegen, und wenn die Zeilen in zwei Mengen I 1 und I 2 eingeteilt werden können, die die folgenden Bedingungen erfüllen: a) Falls eine Spalte zwei Einträge mit demselben Vorzeichen enthält, so sind die entsprechenden Zeilen unterschiedlichen Mengen zugeordnet. b) Falls eine Spalte zwei Einträge mit unterschiedlichem Vorzeichen enthält, so sind die entsprechenden Zeilen derselben Menge zugeordnet. 15

15 Inzidenzmatrizen Graph mit n Knoten und m Kanten Inzidenzmatrix eine n m-matrix. Eintrag in der i-ten Spalte und j-ten Zeile gibt an, ob die i-te Kante den j-ten Knoten enthält. Bei gerichteten Graphen 1 für den Ursprungsknoten und -1 für den Zielknoten. 16

16 Inzidenzmatrizen Korollar 5.5 Ein LP in Standardform oder in kanonischer Form hat nur ganzzahlige Basislösungen, wenn die Nebenbedingungsmatrix (oder ihre Transponierte) der Inzidenzmatrix eines gerichteten Graphen oder der Inzidenzmatrix eines bipartiten ungerichteten Graphen entspricht. 17

17 Probleme mit geeigneten LP Formulierungen Maximaler Fluss Kürzester Weg (gewichtetes) bipartites Matching Bipartites Vertex-Cover Übung: Maximaler Fluss 18

18 Ausblick Facility Location Anwendung von Dualität auf ein Ganzzahliges NP-schweres Problem zur Approximation. Vorlesung/Übung vor Weihnachten Wiederholung Teil 1 Probe(teil)klausur 19