Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206

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1 Kapitel 1 Unimodularität Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206

2 Inhalt 1 Unimodularität Total unimodulare Matrizen Inzidenzmatrix Optimierungsprobleme auf Graphen Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 12 / 206

3 Transportproblem Definition 1.1 Das Optimierungsproblem min unter den Nebenbedingungen mx i=1 j=1 nx c ij x ij nx x ij = a i für i =1,...,m j=1 mx x ij = b j für j =1,...,n i=1 und den Vorzeichenbedingungen x ij 0für i =1,...,m und j =1,...,n heißt Transportproblem. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 13 / 206

4 Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 14 / 206

5 Bemerkungen zum Transportproblem Wir setzen ein geschlossenes Transportproblem voraus: a i > 0, b j > 0und P m i=1 a i = P n j=1 b j,alsogesamtangebot = Gesamtnachfrage. Für den Fall P m i=1 a i > P n j=1 b j führen wir ein zusätzliches Warenhaus mit b n+1 = P m i=1 a P n i j=1 b j und c i,n+1 =0ein. Für den Fall P m i=1 a i < P n j=1 b j führen wir eine zusätzliche Produktionsstätte mit a m+1 = P n j=1 b P m j i=1 a i ein. Die c m+1,j modellieren dann die Kosten pro ME für das mangelnde Angebot in Warenhaus j. Anzahl Variablen: m n Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 15 / 206

6 Beispielproblem Beispiel 1.2 Wir gehen von folgenden Kosten, Angebot und Nachfrage aus: B 1 B 2 B 3 A A Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 16 / 206

7 Fortsetzung Beispiel. Damit lautet das zugehörige Transportproblem unter den Nebenbedingungen min 9x 11 + x 12 +3x 13 +4x 21 +5x 22 +8x 23 x 11 + x 12 + x 13 = 50 + x 21 + x 22 + x 23 = 70 x 11 + x 21 = 40 x 12 + x 22 = 40 x 13 + x 23 = 40 und Vorzeichenbedingungen x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 17 / 206

8 Lösbarkeit des Transportproblems Satz 1.3 Zu jedem Transportproblem existiert eine optimale Lösung. Beweis. Es sei und Dann gilt: G = mx a i = i=1 x ij = a ib j G nx j=1 b j nx x ij = j=1 nx j=1 a i b j G = a P n i j=1 b j G = a i für i =1,...,m Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 18 / 206

9 Fortsetzung Beweis. und mx x ij = i=1 mx i=1 a i b j G = b P m j i=1 a i G Damit existiert eine zulässige Lösung. = b j für j =1,...,n. Wegen 0 apple x ij apple min{a i, b j } ist der Zulässigkeitsbereich X darüberhinaus beschränkt. Also existiert nach Satz 3.25 OR I bzw. Satz 3.37 OR I eine optimale Lösung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 19 / 206

10 Transportproblem in Matrixdarstellung A = c = (c 11, c 12,...,c 1n, c 21,...,c 2n,...,c m1,...,c mn ) 2 R m n x = (x 11, x 12,...,x 1n, x 21,...,x 2n,...,x m1,...,x mn ) 2 R m n R (m+n) m n C A Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 20 / 206

11 genauer 8 < 1 falls 1 apple i apple m ^ (i 1) n < j apple i n a ij = 1 falls m < i apple m + n ^ j = k n +(i m) : 0 sonst Begrenzungsvektor: b =(a 1,...,a m, b 1,...,b n ) 2 R m+n Damit hat das Transportproblem in Normalform die Darstellung min c T x unter den Nebenbedingungen Ax = b, x 0. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 21 / 206

12 Rang der Koe Satz 1.4 Unimodularität zientenmatrix Die Matrix A des Transportproblems hat den Rang r(a) =m + n 1. Beweis. Die Summe der Zeilen 1 bis m ist gleich der Summe der Zeilen m +1bis m + n. Alsosind die m + n Zeilenvektoren linear abhängig und es folgt r(a) apple m + n 1. Andererseits sind die m + n 1Spaltenvektorenmit den Indizes 1, 2,...,n, n +1, 2n +1,...,(m 1)n +1 linear unabhängig, alsor(a) m + n 1. Insgesamt folgt r(a) = m + n 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 22 / 206

13 Zuordnungsproblem Definition 1.5 nx nx Das Optimierungsproblem min c ij x ij unter den Nebenbedingungen i=1 j=1 nx x ij = 1 für i =1,...,n j=1 nx x ij = 1 für j =1,...,n i=1 und den Vorzeichenbedingungen x ij 2{0, 1} für i =1,...,n und j =1,...,n heißt Zuordnungsproblem. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 23 / 206

14 Bemerkungen: Man beachte: Keine Stetigkeit für die Entscheidungsvariablen x ij Ein Optimierungsproblem, bei dem die Entscheidungsvariablen nur die Werte 0 oder 1 annehmen dürfen, heißt kombinatorisches Optimierungsproblem. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 24 / 206

15 Zuordnungsproblem als Transportproblem Das Zuordnungsproblem kann als Spezialfall des Transportproblems betrachtet und mit dem Simplexalgorithmus optimal gelöst werden. Setze hierzu im Transportproblem m = n, sowie a 1 = a 2 = = a n =1undb 1 = b 2 = = b n =1.Damitsinddie Nebenbedingungen des Zuordnungsproblems modelliert. Die Zielfunktion ist dann für beide Probleme identisch. Wegen x ij apple min{a i, b j } folgt aus dem Begrenzungsvektor x ij apple 1. Damit ist 0 apple x ij apple 1keinezusätzliche Einschränkung gegenüber dem Transportproblem. Wir werden im Folgenden zeigen: Falls a i und b j ganzzahlig sind, liefert der Simplexalgorithmus für das Transportproblem nur ganzzahlige Lösungen. Damit gilt für eine so ermittelte optimale Lösung stets x ij 2{0, 1}, sie ist also zulässig für das Zuordnungsproblem. Größe einer zulässigen Basislösung: 2n 1 Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 25 / 206