Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

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1 Kapitel 1 Einführung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

2 Inhalt Inhalt 1 Einführung Was ist Operations Research? Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

3 Was ist Operations Research? Was ist Operations Research? Definition der Gesellschaft für Operations Research (GOR): Unter Operations Research (OR) wird allgemein die Entwicklung und der Einsatz quantitativer und Methoden zur Entscheidungsunterstützung verstanden. Operations Research ist geprägt durch die Zusammenarbeit von Mathematik, Wirtschaftswissenschaften und Informatik. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

4 Was ist Operations Research? Gegenstand des Operations Research OR dient der Entscheidungsvorbereitung im Rahmen von Planungsprozessen. Dabei werden quantifizierbare Informationen unter Einbeziehung von Zielen verarbeitet. OR arbeitet mit n. Zur Formulierung und Lösung der bedient es sich mathematischer und informatischer Methoden. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

5 Was ist Operations Research? Modellbildung Typische Fragestellungen: Welche quantifizierbaren und für das Problem relevanten Informationen habe ich? Welche Zusammenhänge bestehen? Was sind die Handlungsmöglichkeiten (Variablen)? Welche Einschränkungen sind dabei zu beachten (Nebenbedingungen)? Was will ich optimieren (Zielfunktion)? Sind Vereinfachungen möglich? Kann das Modell in eine Standardform gebracht werden? Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

6 Was ist Operations Research? Abgrenzung OR im weiteren Sinne beschäftigt sich mit Modellbildung und Lösungsfindung sowie mit Methoden zur Datenermittlung. OR im engeren Sinne beschränkt sich in erster Linie auf die Entwicklung von Algorithmen. + Wir betrachten OR im engeren Sinne. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

7 Was ist Operations Research? Geschichte Die Gründungszeit des OR waren die Jahre kurz vor und während des 2. Weltkriegs. In GB und den USA wurden z.b. Möglichkeiten der optimalen Zusammenstellung von Schi skonvois untersucht. Auch bei der Organisation der Lüftbrücke im Rahmen der Berlin-Blockade 1948/49 spielte OR eine wichtige Rolle. Heute überwiegen ökonomische und ingenieurwissenschaftliche Anwendungen, v.a. in den Bereichen Produktion und Logistik. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

8 Planungsprozess im OR OR-gestützte Planung Erkennen und Analysieren eines Problems Bestimmen von Zielen und Handlungsmöglichkeiten Mathematisches Modell, Informatisches Modell (Algorithmus) Datenbescha ung Lösungsfindung, Berechnung Bewertung der Lösung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

9 Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

10 Planungsprozess im OR Gebiete des Operations Research Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

11 Planungsprozess im OR Teilgebiete des Operations Research Lineare Optimierung bzw. lineare Programmierung Graphentheorie und Netzplantechnik Ganzzahlige (lineare) und kombinatorische Optimierung Dynamische Optimierung Nichtlineare Optimierung Warteschlangentheorie Simulation Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

12 Planungsprozess im OR Arten der Anwendung Unterscheidung der Anwendungsmöglichkeiten: Betriebliche Funktionsbereiche: Bescha ung, Produktion, Logistik, Absatz, Investition, Finanzierung Planungsinhalt: Zielplanung, Maßnahmenplanung, Durchführungsplanung, Ablaufplanung Fristigkeit: strategische, taktische, operative Planung Umfang: Teil- oder Gesamtplanung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

13 Planungsprozess im OR Beispiel: Ablaufplan in Form eines Gantt-Charts Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

14 Modellierung Ziel der Modellierung: Optimierungskriterien, Handlungsmöglichkeiten und Einschränkungen durch Variablen und Funktionen definieren. Handlungsmöglichkeiten entsprechen Variablen. Einschränkungen entsprechen Funktionen der Variablen und werden Nebenbedingungen genannt. Optimierungskriterium entspricht einer Funktion der Variablen, die Zielfunktion genannt wird. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

15 Allgemeines Optimierungsmodell Maximiere (oder minimiere) unter den Nebenbedingungen 8 < g i (x 1,...,x n ) : z = F (x 1,...,x n ) apple = 9 = ; b i für i =1,...,m und (eventuell) Vorzeichenbedingungen der Art x j 0undweiteren einschränkenden Bedingungen an den Definitionsbereich der x j wie x j 2 Z oder x j 2{0, 1}. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

16 Dabei sind: n Anzahl der Variablen m Anzahl der Nebenbedingungen x j die Variablen mit x j 2 R, x j 2 Z oder x j 2{0, 1} F (x 1,...,x n ) die Zielfunktion g i (x 1,...,x n ) die Funktion der i-ten Nebenbedingung b i die rechte Seite der i-ten Nebenbedingung x j 2 R kontinuierliche Variable x j 2 Z ganzzahlige Variable x j 2{0, 1} binäre Variable Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

17 Bemerkungen zum allgemeinen Optimierungsmodell Vorzeichenbedingungen x j 0 spielen eine besondere Rolle und werden oft nicht zu den Nebenbedingungen gezählt. Gilt x j 2 Z für alle x j, dann sprechen wir von einem ganzzahligen Modell. In einem gemischt-ganzzahligen Modell treten sowohl Variablen x j 2 R als auch Variablen x j 2 Z auf. In diesem allgemeinen Modell ist nicht berücksichtigt, dass Größen auch stochastischer Natur sein können (Zufallsvariablen). Mit der Optimierung stochastischer beschäftigen wir uns kurz in OR II (stochastische dynamische Optimierung). Im Folgenden stellen wir eine Reihe von Optimierungsproblemen beispielhaft mit Hilfe dieses allgemeinen Modells dar. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

18 Beispielmodell: Produktionsplanung Beispiel 1.1 Fertigung von Toilettenpapier, Küchenrollen und Taschentüchern aus Altpapier. Deckungsbeiträge pro Mengeneinheit (ME): Toilettenpapier 85 e, Küchenrollen 90 e, Taschentücher 110 e Produktionshöchstmengen: Toilettenpapier 20 ME, Küchenrollen 15 ME, Taschentücher 12 ME Benötigtes Altpapier pro ME: Toilettenpapier 1 ME, Küchenrolle 0.8 ME, Taschentücher 0.6 ME Verfügbares Altpapier: 20 ME Wie sieht das optimale Produktionsprogramm aus, wenn der Hersteller seinen Deckungsbeitrag maximieren möchte? Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

19 Mathematische Modellierung x 1 x 2 x 3 zu produzierende Menge Toilettenpapier (ME) zu produzierende Menge Küchenrollen (ME) zu produzierende Menge Taschentücher (ME) Zielfunktion: unter den Nebenbedingungen max D(x 1, x 2, x 3 ) := 85x x x 3 x x x 3 apple 20 (Kapazitätzgrenze für Altpapier) x 1 apple 20 (Höchstmenge für Toilettenpapier) x 2 apple 15 (Höchstmenge für Küchenrollen) x 3 apple 12 (Höchstmenge für Taschentücher) x 1, x 2, x 3 0 (Nichtnegativität) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

20 Bemerkungen zum Modell Produktionsplanung lineare Zielfunktion alle Nebenbedingungen linear alle Nebenbedingungen sind apple-bedingungen Lösungsmethode: primaler Simplex-Algorithmus (siehe Kapitel 4) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

21 Beispielmodell: Mischproblem Beispiel 1.2 Für die Kakteenzucht mischt eine Gärtnerei drei Sorten Erde E 1, E 2, E 3 zusammen, die pro ME den folgenden Gehalt an Nährsto en A, B, C aufweisen: E 1 E 2 E 3 Nährsto A Nährsto B Nährsto C Kosten e/me Mindestbedarf an Nährsto en: 800 g für A, 280 g für B und 650 g für C. Es sollen die Kosten der Erdmischung minimiert werden. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

22 Mathematische Modellierung x 1 x 2 x 3 Menge von E 1 an der Mischung (ME) Menge von E 2 an der Mischung (ME) Menge von E 3 an der Mischung (ME) Zielfunktion: unter den Nebenbedingungen min K(x 1, x 2, x 3 ):=4.95x x x 3 4x 1 + 5x 2 + 8x (Bedarf an Nährsto A) x 1 + x 2 + 2x (Bedarf an Nährsto B) 5x 1 + 3x 2 + 4x (Bedarf an Nährsto C) x 1, x 2, x 3 0 (Nichtnegativität) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

23 Bemerkungen zum Mischproblem lineare Zielfunktion alle Nebenbedingungen linear alle Nebenbedingungen sind -Bedingungen Lösungsmethode: dualer Simplex-Algorithmus (siehe Kapitel 4) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

24 Beispielmodell: Investitionsplanung Beispiel 1.3 Ein Hersteller von Schrauben will seine Fertigungskapazität durch die Investition in neue Maschinen vom Typ T 1, T 2, T 3, T 4 erhöhen. Die nachfolgende Tabelle gibt die Eckdaten der verschiedenen Maschinentypen T i wieder: T 1 T 2 T 3 T 4 Jährliche Kapazität (ME) Tägliche Maximalkapazität (ME) Investitionsaufwand (GE) Jährliche Kosten (GE) Es soll eine tägliche Maximalkapazität von 20 ME und eine jährliche Kapazität von ME zur Verfügung stehen. Die Investitionsmittel sind auf 100 GE beschränkt. Wie viele Maschinen sind von jedem Typ zu kaufen, so dass die jährlichen Kosten minimal sind? Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

25 Mathematische Modellierung x 1 Anzahl der zu bescha enden Maschinen vom Typ T 1 x 2 Anzahl der zu bescha enden Maschinen vom Typ T 2 x 3 Anzahl der zu bescha enden Maschinen vom Typ T 3 x 4 Anzahl der zu bescha enden Maschinen vom Typ T 4 Zielfunktion min K(x 1, x 2, x 3, x 4 ):=3x 1 +7x 2 +4x 3 +8x 4 unter den Nebenbedingungen 750x x x x x 1 + 8x 2 + 5x 3 + 4x x x 2 + 7x x 4 apple 100 x 1, x 2, x 3, x 4 2 N Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

26 Bemerkungen zum Modell der Investitionsplanung lineare Zielfunktion alle Nebenbedingungen linear Nebenbedingungen sind sowohl apple- als auch -Bedingungen Die Variablen dürfen nur ganzzahlige Werte annehmen, was das Problem erheblich erschwert (es gelte dabei 0 2 N). Verzicht auf Ganzzahligkeit (LP-Relaxation) liefert eine untere Schranke für den optimalen Zielfunktionswert. Lösungsmethode für die LP-Relaxation: 2-Phasen-Simplex-Algorithmus (siehe Kapitel 5) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

27 Beispielmodell: Transportproblem Beispiel 1.4 Ein Gut, das an den Orten A i (i =1,...,m) in den Mengen a i angeboten wird, soll zu den Orten D j (j =1,...,n) transportiert werden, an denen eine Nachfrage von d j besteht. Es gelte: Gesamtnachfrage = Gesamtangebot. Die Kosten des Transportes einer Mengeneinheit von A i zu D j betragen c ij. Wieviele Mengeneinheiten x ij sollen jeweils von A i zu D j transportiert werden, so dass die Nachfrage genau erfüllt ist, das Angebot vollständig ausgenutzt wird und die Gesamttransportkosten minimal sind? Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

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29 Mathematische Modellierung Zielfunktion mx nx min c ij x ij i=1 j=1 unter den Nebenbedingungen Nachfrage : Angebot : mx x ij = d j 8j i=1 nx x ij = a i j=1 Nichtnegativität : x ij 0 8i8j 8i Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

30 Bemerkungen zum Transportprobem Im Gegensatz zu den Beispielen 1.1 bis 1.3 haben wir hier nicht eine spezielle Probleminstanz sondern eine ganze Klasse von Problemen modelliert. lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen Beachte: I Wir haben insgesamt n Nebenbedingungen für die Nachfrage (für jedes D j )und I m Nebenbedingungen für das Angebot (für jedes A i ). Sollte Gesamtangebot > Gesamtnachfrage gelten, so können wir stets ein äqivalentes Modell mit Gesamtangebot = Gesamtnachfrage aufstellen (Übungsaufgabe). Lösung mit spezieller Variante des Simplexalgorithmus (siehe Kapitel 7) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

31 Beispielmodell: Zuordnungsproblem Beispiel 1.5 n Arbeiter sollen n Tätigkeiten zugeordnet werden, wobei die Ausführungskosten c ij (1 apple i, j apple n) betragen, wenn Arbeiter i die Tätigkeit j ausführt. Die Arbeiter sollen nun so auf die Tätigkeiten verteilt werden, dass jedem Arbeiter genau eine Tätigkeit zugeordnet wird und jede Tätigkeit von genau einem Arbeiter ausgeführt wird und die dabei anfallenden Gesamtkosten minimal sind. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

32 Mathematische Modellierung Zielfunktion: 1 wenn Arbeiter i Tätigkeit j ausführt x ij = 0 sonst min nx i=1 j=1 unter den Nebenbedingungen nx c ij x ij nx x ij = 1 8i j=1 nx x ij = 1 8j i=1 x ij 2 {0, 1} 8i8j Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

33 Bemerkungen zum Zuordnungsproblem lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen Das Zuordnungsproblem ist eng verwandt mit dem Transportproblem. Analog zum Transportproblem haben wir hier n Nebenbedingungen für die Arbeiter (8i) und n Nebenbedingungen für die Tätigkeiten (8j). Lösung mit spezieller Variante des Simplexalgorithmus (siehe Kapitel 7) Die binären Entscheidungsvariablen stellen dabei kein Problem dar! Begründung hierzu folgt in OR II. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

34 Beispielmodell: Verschnittproblem Beispiel 1.6 Aus 3 m langen Metallstangen sollen 10 Stangen mit 1 m, 45 Stangen mit 2 m, 21 Stangen mit 1.5 m und 42 Stangen mit 0.9 m Länge hergestellt werden. Die Anzahl der dafür notwendigen 3 m Stangen soll minimiert werden. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

35 Mathematische Modellierung Zunächst stellen wir alle möglichen maximale Schnittmuster auf, d.h. alle Möglichkeiten, eine 3 m Stange in die geforderten Längen zu zersägen, so dass der verbleibende Rest nicht mehr verwendbar ist. Muster 1 m 2 m 1.5 m 0.9 m Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

36 Variablen Zielfunktion x i = Anzahl der Stangen mit Schnittmuster i, 1 apple i apple 9 min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 unter den Nebenbedingungen 3x 1 +x 2 +2x 5 +x 6 +x 8 10 x 2 +x x 3 +x 8 +x 9 21 x 4 +x 5 +2x 6 +3x 7 +x 9 42 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 2 N Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

37 Bemerkungen zum Verschnittproblem lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen Problem: Ganzzahligkeit der x i LP-Relaxation liefert eine untere Schranke für den optimalen Zielfunktionswert Lösungsmethoden: siehe OR II Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

38 Beispielmodell: Rucksackproblem Beispiel 1.7 Gegeben seinen n Gegenstände. Jeder Gegenstand i hat ein Gewicht w i (1 apple i apple n) und einen Nutzen u i (1 apple i apple n). Zum Verpacken der Gegenstände steht ein Rucksack mit einer (Gewichts)-Kapazität von C zur Verfügung. Welche Gegenstände sollen in den Rucksack gepackt werden, so dass deren Gesamtnutzen maximal ist und deren Gesamtgewicht die Rucksackkapazität nicht übersteigt. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

39 Mathematische Modellierung Zielfunktion 1 falls Gegenstand i in den Rucksack gepackt wird x i = 0 sonst unter den Nebenbedingungen max nx u i x i i=1 nx w i x i apple C i=1 x 1,...,x n 2 {0, 1} Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

40 Bemerkungen zum Rucksackproblem englisch: knapsack problem lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen problematisch: Entscheidungsvariablen x i sind binär Solche Probleme bezeichnen wir als kombinatorische Optimierungsprobleme. Das Rucksackproblem ist wie viele andere kombinatorische Optimierungsprobleme NP-vollständig. Lösungsmethoden: siehe OR II Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

41 Beispielmodell: Standortplanung Beispiel 1.8 Gegeben sind m Kunden und n potentielle Depots, die an verschiedenen Standorten erö net werden könnten. Die Erö nung eines Depots j verursacht Fixkosten von c j GE. Jedes Depot hat eine Lagerkapazität von u j ME. Jeder Kunde i hat einen Bedarf b i ME und kann von jedem Depot bedient werden, wobei Transportkosten in Höhe von h ij GE pro ME anfallen. Welche Depots sollen erö net werden, so dass der Bedarf der Kunden bei minimalen Gesamtkosten befriedigt werden kann. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

42 Mathematische Modellierung x j Soll Depot erö net werden (x j = 1) oder nicht (x j = 0)? y ij Menge, die von Depot j zu Kunde i transportiert wird Zielfunktion min unter den Nebenbedingungen nx c j x j + j=1 u j x j + nx j=1 i=1 mx h ij y ij nx y ij = b i 8i j=1 mx y ij apple 0 8j i=1 x j 2 {0, 1} 8j y ij 0 8i8j Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

43 Bemerkungen zum Modell der Standortplanung lineare Zielfunktion und Nebenbedingungen gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

44 Klassifikation von OR-n OR- werden v.a. nach folgenden Aspekten unterschieden: Informationsgrad deterministische vs. stochastische Zielfunktionen eine oder mehrere Zielfunktionen Typ der Zielfunktionen und Nebenbedingungen linear reellwertig, linear ganzzahlig, linear binär, nichtlinear Lösbarkeit polynomial, NP-hart Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

45 Zusammenfassung Zusammenfassung Charakterisierung und Gebiete des Operations Research Planungsprozess Modellierung wichtige : Transportproblem, Zuordnungsproblem, Rucksackproblem Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298