Klausur zur Vorlesung Einführung in das Operations Research im Wintersemester 2007/2008

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1 Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Klausur zur Vorlesung Einführung in das Operations Research im Wintersemester 2007/2008 Hinweise: Die Klausur besteht aus 8 Seiten (inkl. Deckblatt). Bitte überprüfen Sie, ob Ihr Exemplar komplett ist und lassen Sie sich ggf. ein anderes geben. Die Klausurdauer beträgt 60 Minuten und es sind maximal insgesamt 60 Punkte zu erreichen. Der Lösungsweg muß erkennbar sein! Wenn Sie zur Beantwortung einer Frage eine Formel verwenden, so geben Sie diese zunächst in allgemeiner Form an! Als Hilfsmittel ist ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig sowie ein beidseitig handbeschriebenes Hilfsblatt im Format DIN A4 mit Formeln etc. nach Ihrer Wahl. Zur Beantwortung der Fragen finden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reißen Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier. Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten ein. Persönliche Daten: Nachname Vorname Matrikelnr. Studienfach Semester Bewertung: Aufg Summe Punkte 1

2 1. Simplexalgorithmus (21 P.) (a) Gegeben Sei das folgende lineare Maximierungsproblem: u.b.d.r. Maximiere 40x x x 3 2x 2 + 6x x 1 + x 2 + x 3 24 x 1, x 2, x 3 0 i. Tragen Sie das Problem unter Verwendung geeigneter Schlupfvariablen in das folgende Starttableau ein! (2 P.) BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile ii. Führen Sie nun in den folgenden Tableaus zwei Iterationen der jeweils erforderlichen Variante des Simplexalgorithmus aus und kennzeichnen Sie das jeweilige Pivotelement! (7 P.) BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile iii. Geben Sie die Werte der Entscheidungsvariablen nach der zweiten Iteration an und begründen Sie, ob diese Lösung optimal ist. (2 P.) 2

3 (b) Erläutern Sie stichpunktartig und anhand einer Skizze die Begriffe Basislösung und zulässige Basislösung eines linearen Modells in Normalform mit n Variablen und m Restriktionen (es gilt n > m).(6 P.) (c) Erläutern Sie stichpunktartig, was unter einem polynomialen Algorithmus zu verstehen ist. Begründen Sie, ob der Simplex-Algorithmus mit der Ihnen bekannten Pivot-Regel ein polynomialer Algorithmus ist. (4 P.) 3

4 2. Reduzierte Kosten, Schattenpreise und Dualität (15 P.) (a) Betrachten Sie das folgende Beispiel zur Produktionsprogrammplanung mit zwei Produkten und zwei Nebenbedingungen: u.b.d.r. Maximiere 20x x 2 2x x 2 24 x 1 + 9x 2 18 x 1, x 2 0 Mit dem Simplexalgorithmus ergibt sich folgendes Optimaltableau: BV x 1 x 2 x 3 x 4 RHS x , x ,5 1 6 F-Zeile Erläutern Sie anhand des Beispiels stichpunktartig, wo Schattenpreise im Optimaltableau zu finden sind und was sie bedeuten. (Beschränken Sie sich dabei auf weder primal noch dual degenerierte Lösungen.) (8 P.) 4

5 (b) Erklären Sie allgemein, was unter einer degenerierten Basislösung (primale Degenartion) zu verstehen ist und wie dies graphisch und im Optimaltableau erkannt werden kann. (3 P.) (c) Dualisieren Sie das folgende LP! (4 P.) u.b.d.r. Minimiere 1x 1 2x 2 3x 1 4x 2 5 6x 1 + 7x 2 8 x 1 0 x 2 0 5

6 3. Kombinatorische Optimierung mit Branch & Bound (17 P.) (a) Erläutern Sie stichpunktartig, warum sich allgemeine lineare kombinatorische Optimierungsprobleme nicht ausschließlich mit dem Simplexalgorithmus lösen lassen. (3 P.) (b) Geben Sie die in der Vorlesung vorgestellten drei Auslotregeln (a)-(c) an! (3 P.) Fall (a): Fall (b): Fall (c): (c) Ermitteln Sie für das ganzzahlige LP auf der folgenden Seite die optimale Lösung durch ein Branch & Bound-Verfahren. Zeichnen Sie dazu einen Entscheidungsbaum auf. (Verwenden Sie dazu keinen Bleistift! Geben Sie für jedes Teilproblem i die berechnete oberen Schranke F i und die Ausprägungen der Entscheidungsvariablen x (P i ) für die relaxierten Probleme an. Verwenden Sie im Branch & Bound-Verfahren unbedingt(!) folgende Vorgehensweise: Ermitteln Sie obere Schranken F i mittels LP-Relaxation. Die Werte der Entscheidungsvariablen für die Lösungen der Relaxationen können Sie in der angegebenen Zeichnung mit hinreichender Genauigkeit ablesen. Setzen Sie zu Beginn F = 0. Nehmen Sie die Teilproblemauswahl nach der Last-In-First-Out-Regel (LIFO) vor. Wählen Sie x 2 als erste Verzweigungsvariable und bilden Sie zuerst das Teilproblem, welches durch Abrunden der Verzweigungsvariablen entsteht ( kleiner gleich zuerst). Nummerieren Sie die Teilprobleme in der Reihenfolge ihrer Abarbeitung. Sollte ein Teilproblem ausgelotet werden können, nennen Sie die entsprechende Regel (Fall (a)-(c)) aus Aufgabenstellung (b). Geben Sie die optimale Lösung und deren Zielfunktionswert an. (11 P.) 6

7 u.b.d.r. Maximiere 2x 1 + 5x 2 (1) x 2 2, 125 (2) 3x 1 + 4x 2 12 x 1, x 2 Z + 0 Hinweis: Mit Bleistift geschriebenes kann nicht gewertet werden! 7

8 4. Knapsack-Problem und Modellierung (7 P.) (a) Geben Sie die Entscheidungsvariablen, die Zielfunktion und die Nebenbedingungen des Knapsack-Problems an. Nutzen Sie dazu die folgenden Indizes und Parameter: (3 P.) Indizes: j = 1,..., n Parameter: g j c j G Gegenstände Gewicht des Gegenstandes j Wert des Gegenstandes j zulässiges Höchstgewicht des Rucksacks Entscheidungsvariablen: Zielfunktion: Nebenbedingungen: (b) Erweitern Sie obiges Modell um folgenden Aspekt: Für jede Lösung, in der die ersten beiden Gegenstände i = 1 und i = 2 gemeinsam transportiert werden, fallen auf Grund besonderer Transportbestimmungen zusätzliche fixe Kosten in Höhe von F an (Disnutzen). Geben Sie die veränderte Zielfunktion und die veränderten bzw. zusätzlichen Nebenbedingungen an. Sollten Sie zusätzliche Variablen benötigen, so geben Sie diese bitte an. (4 P.) 8