Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber

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1 Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Sitzplatznr.: Wiederholungsklausur zur Vorlesung Operations Research im Wintersemester 2014/2015 Hinweise: Die Klausur besteht aus 9 Seiten (inkl. Deckblatt). Bitte überprüfen Sie, ob Ihr Exemplar vollständig ist und lassen Sie sich ggf. ein anderes geben. Die Klausur besteht aus drei Aufgaben, die alle zu bearbeiten sind. Die Klausurdauer beträgt 60 Minuten und es sind maximal insgesamt 60 Punkte zu erreichen. Als Hilfsmittel ist ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig sowie ein beidseitig handbeschriebenes Hilfsblatt im Format DIN A4 mit Formeln etc. nach Ihrer Wahl. Zur Beantwortung der Fragen nden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reiÿen Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier. Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten sowie rechts oben Ihre Sitzplatznummer ein. Persönliche Daten: Nachname Vorname Matrikelnr. Studienfach Semester Bewertung: Aufg Summe Punkte 1

2 1. Lineare Optimierung und Simplexalgorithmus (36 P.) (a) Gegeben sei das folgende lineare Maximierungsproblem: u.b.d.r. Maximiere x 1 2x 2 + 2x 3 x 1 + x 2 + 4x x 1 + 4x x 1, x 2, x 3 0 i. Tragen Sie das Problem unter Verwendung geeigneter Schlupfvariablen in das folgende Starttableau ein! (2 P.) BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile ii. Führen Sie nun in den folgenden Tableaus zwei Iterationen der jeweils erforderlichen Variante des Simplexalgorithmus aus und kennzeichnen Sie das jeweilige Pivotelement! (7 P.) BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile iii. Geben Sie die Werte der Entscheidungsvariablen nach der zweiten Iteration an und begründen Sie, ob diese Lösung optimal ist. (2 P.) 2

3 (b) Erläutern Sie stichwortartig, ob hier ein Sonderfall der linearen Programmierung vorliegt, woran dieser erkannt werden kann und wie er sich auswirkt. (3 P.) (c) Geben Sie die Schattenpreise zu den beiden Restriktionen aus dem Tableau nach der zweiten Iteration an und erläutern Sie stichwortartig deren Aussage! (3 P.) 3

4 (d) Geben Sie zu dem oben genannten linearen Optimierungsproblem das korrespondierende duale Problem sowie ferner dessen Zielfunktionswert in der optimalen Lösung an! (4 P.) (e) Erläutern Sie, was der Satz vom komplementären Schlupf aussagt! (5 P.) 4

5 (f) Erläutern Sie knapp die folgenden Begrie: (7 P.) i. Normalform eines linearen Programms (2 P.) ii. Schlupfvariable (1 P.) iii. Lösung eines linearen Programms (1 P.) iv. Zulässige Lösung eines linearen Programms (1 P.) v. Basisvariable (1 P.) 5

6 vi. Nichtbasisvariable (1 P.) (g) Erläutern Sie, welcher Zusammenhang zwischen dem Begri eines Polyeders und der Grundidee des Simplex-Algorithmus besteht! (3 P.) 6

7 2. Branch & Bound-Verfahren (18 P.) Ermitteln Sie für das gegebene Knapsack-Problem die optimale Lösung durch ein Branch&Bound-Verfahren. u.b.d.r. Maximiere 10x 1 + 9x 2 + 9x x 4 + 5x 5 5x x 2 + 6x x x 5 25 x 1, x 2,..., x 5 {0, 1} Zeichnen Sie dazu einen Entscheidungsbaum auf. (Verwenden Sie dazu keinen Bleistift!) Geben Sie für jedes Teilproblem i die berechnete obere Schranke F i und die aktuelle globale untere Schranke F sowie die Ausprägungen der Entscheidungsvariablen x (P i ) für die relaxierten Probleme an. Verwenden Sie im Branch & Bound-Verfahren unbedingt(!) folgende Vorgehensweise: Ermitteln Sie obere Schranken F i mittels LP-Relaxation. Setzen Sie zu Beginn F = 0. Nehmen Sie die Teilproblemauswahl nach der Lifo-Regel vor. Verzweigen Sie Teilprobleme nach jener Entscheidungsvariablen, die in der LP- Relaxation des Knotens nicht ganzzahlig ist. Erzeugen Sie dabei neue Teilprobleme, indem Sie zunächst die -Bedingung hinzufügen (also jenen Gegenstand, nach dem verzweigt wird, nicht in die Lösung aufnehmen) und danach die - Bedingung hinzufügen (und somit jenen Gegenstand, nach dem verzweigt wird, nun in die Lösung aufnehmen). Nummerieren Sie die Teilprobleme in der Reihenfolge ihrer Entstehung. Sollte ein Teilproblem ausgelotet werden können, so begründen Sie dies kurz! Geben Sie die optimale Lösung und deren Zielfunktionswert an! 7

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9 3. Dynamische Optimierung (6 P.) Erläutern Sie für den Fall einer unendlichen Zahl von Entscheidungsstufen die Bellman'sche Funktionalgleichung der Stochastischen Dynamischen Optimierung. Denieren Sie dabei die verwendete Notation. Erläutern Sie stichwortartig, welche Art von Problemen auf diese Weise gelöst werden kann, wie die Lösungsmethode arbeitet und welche Schwierigkeit dem Einsatz der Dynamischen Optimierung in der Praxis häug Grenzen setzt. 9