Klausurkolloquium. Musterlösung Produktionscontrolling: Lineare Programmierung
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- Philipp Volker Schuler
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1 Klausurkolloquium Musterlösung Produktionscontrolling: Lineare Programmierung
2 Fallstudie Die GOGO GmbH ist ein mittelständisches gewinnorientiertes Unternehmen. Das taktische Produktionsprogramm einer Sparte des Unternehmens umfasst die drei Produkte A, B und C. Marktanalysen der GOGO GmbH ergaben, dass das Produkt A zum gegenwärtigen Preis praktisch unbegrenzt abgesetzt werden könnte. Die Nachfrage nach den anderen Produkten ist jedoch unabhängig vom Preis zur Zeit auf 50 Stück nach Produkt B bzw. 90 Stück nach Produkt C begrenzt, etc. etc Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 2
3 Aufgabe 2a) Stellen Sie für das oben aufgeführte Planungsproblem einen LP-Ansatz (Ausgangstableau) auf und führen Sie mit Hilfe des Simplex-Algorithmus die erste Iteration durch! Beschreiben Sie kurz Ihr vorgehen! (27 Punkte) Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 3
4 Aufgabe 2a) 1. Schritt: Sammlung der relevanten Daten Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 4
5 Aufgabe 2a) Das taktische Produktionsprogramm einer Sparte des Unternehmens umfasst die drei Produkte A, B und C. Marktanalysen der GOGO GmbH ergaben, dass das Produkt A zum gegenwärtigen Preis praktisch unbegrenzt abgesetzt werden könnte. Die Nachfrage nach den anderen Produkten ist jedoch unabhängig vom Preis zur Zeit auf 50 Stück nach Produkt B bzw. 90 Stück nach Produkt C begrenzt. Produkt A B C max. Absatz Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 5
6 Aufgabe 2a) Die Deckungsspanne von Produkt A beträgt 5 Geldeinheiten (GE), von Produkt B 11 GE und von Produkt C 8 GE. Produkt A B C DSP Produkt 5A 11 B C8 max. Absatz Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 6
7 Aufgabe 2a) Die Fertigung der drei Produkte erfolgt auf den Maschinen 1 und 2 (M1 und M2). Bei der Fertigung werden zudem die Rohstoffe 1 und 2 (R1 und R2) verarbeitet. Für die Herstellung einer Einheit des Produktes A werden 3 Zeiteinheiten (ZE) der Maschine 1, 4 ZE der Maschine 2 sowie 1 Einheit des Rohstoffs 1 und 2 Einheiten des Rohstoffs 2 benötigt. Produkt A B C Maschine 1 3 Produkt Maschine 2 A4 B C DSP Rohstoff max. Rohstoff Absatz DSP max. Absatz Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 7
8 Aufgabe 2a) Die Produktion einer Einheit des Produktes B benötigt 6 ZE der Maschine 1, 10 ZE der Maschine 2 und 4 Einheiten des Rohstoffs 2. Für die Herstellung einer Einheit des Produktes C werden schließlich 6 ZE der Maschine 2, 2 Einheiten des Rohstoffs 1 und ebenfalls 2 Einheiten des Rohstoffs 2 benötigt. Produkt A B C Maschine Maschine Rohstoff Rohstoff DSP max. Absatz Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 8
9 Aufgabe 2a) Die Arbeitskapazitäten der Maschine 1 sind auf 600 ZE, die der Maschine 2 auf 800 ZE begrenzt. Von Rohstoff 1 stehen 200 Einheiten, von Rohstoff 2 stehen 440 Einheiten zur Verfügung. Produkt A B C max. Kap. Maschine Maschine Rohstoff Rohstoff DSP max. Absatz Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 9
10 Aufgabe 2a) 2. Schritt: Aufstellen des Ungleichungssystems Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 10
11 Aufgabe 2a) DB : 5x A 11x B 8xC 3x A 6xB max 600 Zielfunktion Kapazitätsrestr. Maschine 1 4x A x 6xC x A 10 B 1x A 2xC 2xA 4xB 2xC x B x C, xb, xc Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe Kapazitätsrestr. Maschine 2 Produkt A B C max. Kap. Maschine Maschine Rohstoff Rohstoff DSP max. Absatz Rohstoffrestriktion 1 Rohstoffrestriktion 2 Absatzmaximum Produkt B Absatzmaximum Produkt C N-N-Bedingung
12 Aufgabe 2a) 3. Schritt: Umwandlung des Ungleichungssystems in ein Gleichungssystem Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 12
13 Aufgabe 2a) Durch eine Hilfs- bzw. Schlupfvariable wird aus einer Ungleichung eine Gleichung! 3x A 6xB 600 Kapazitätsrestr. Maschine 1 3x 6x y 1 A B M Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 13
14 Aufgabe 2a) DB:= 5x A 11xB 8xC 3x 6x y 1 x A A, x, x, y, y 2, B B C M 4x A 10x B 6 xc ym 2 1x A 2xC y R1 2x A 4x B 2xC y R2 x B y B x C y C y M 1 M R1 B C, y R2, y, y max Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 14
15 Aufgabe 2a) 4. Schritt: Simplex-Algorithmus Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 15
16 Aufgabe 2a) Simplex-Ausgangstableau BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS Q y M ,00 y M ,00 y R ,00 y R ,00 y B ,00 y C ,00 -DB Produkt A B C max. Kap. Maschine Bestimmung Maschine der Spalte 2 mit dem 4höchsten Zielfunktionskoeffizienten Rohstoff Pivotspalte Rohstoff DSP max. Absatz Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 16
17 Aufgabe 2a) Simplex-Ausgangstableau BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS Q y M ,00 y M ,00 y R ,00 y R ,00 y B ,00 y C ,00 -DB Division der rechten Seite (RS) durch den entsprechenden Wert der Pivotspalte Werte der Q-Spalte Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 17
18 Aufgabe 2a) Simplex-Ausgangstableau BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS Q y M , y M ,00 80 y R ,00 y R , y B ,00 50 y C ,00 -DB Bestimmung der Zeile mit dem geringsten Q-Wert (Engpass) Pivotzeile Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 18
19 Aufgabe 2a) Simplex-Ausgangstableau BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS Q y M , y M ,00 80 y R ,00 y R , y B ,00 50 y C ,00 -DB Erzeugung eines Einheitsvektors in der Pivotspalte Division der Pivotzeile durch das Pivotelement, um in der Pivotspalte eine 1 zu erzeugen Subtraktion eines Vielfachen der neuen Zeile von allen anderen Zeilen, um in der Pivotspalte überall eine 0 zu erzeugen Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 19
20 Aufgabe 2a) Durchführung der ersten Iteration BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS Q y M , y M ,00 80 y R ,00 y R , y B ,00 50 y C ,00 -DB y M ,00 300, (-6) y B , Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 20
21 Aufgabe 2a) Tableau nach der ersten Iteration BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS Q y M ,00 y M ,00 y R ,00 y R ,00 x B ,00 y C ,00 -DB ,00 x B ersetzte y B als Basisvariable Basiswechsel Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 21
22 Aufgabe 2b) Interpretieren Sie stichwortartig die ökonomische Aussage der Werte aller Basisvariablen und Dualwerte, sowie den Wert der Zielfunktion des Optimaltableaus! (28 Punkte) Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 22
23 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Werte der Basisvariablen BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Von Produkt A sollten 20 Stk. produziert werden! Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 23
24 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Werte der Basisvariablen BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Von Produkt B sollten 18 Stk. produziert werden! Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 24
25 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Werte der Basisvariablen BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Von Produkt C sollten 90 Stück, also die maximal absetzbare Menge, produziert werden! Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 25
26 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Werte der Basisvariablen BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 An der Maschine 1 bleibt eine Restkapazität von 432 Zeiteinheiten übrig Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 26
27 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Werte der Basisvariablen BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Von Rohstoff 2 bleibt eine Restmenge von 148 Einheiten übrig Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 27
28 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Werte der Basisvariablen BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Von Produkt B könnten noch 32 weitere Einheiten am Markt abgesetzt werden Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 28
29 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation des Wertes der Zielfunktion BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 -DB= -1018,00: Das so bestimmte Produktionsprogramm erwirtschaftet einen Deckungsbeitrag von 1018 Geldeinheiten Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 29
30 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Dualwerte BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Die Schlupfvariablen y M2 und y R1 sind nicht in der Basis vertreten und haben in der Zielfunktion einen von 0 abweichenden Wert. => Kapazität der Maschine 2 und der Rohstoff 1 sind Engpassfaktoren Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 30
31 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Dualwerte BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Stände 1 ZE mehr an Maschine 2 zur Verfügung, so würde sich der DB um 1,1 GE erhöhen lassen. (Schattenpreis/Grenzgewinn) Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 31
32 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Dualwerte BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Es würden 0,1 Einheiten mehr von Produkt B hergestellt Die von Produkt B noch absetzbare Menge verringert sich um 0,1 Einheiten Die Restkapazität von Maschine 1 verringert sich um 0,6 ZE Die Restmenge des Rohstoffs 2 reduziert sich um 0,4 Einheiten Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 32
33 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Dualwerte BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Stände 1 Einheit mehr von Rohstoff 1 zur Verfügung, so würde sich der DB um 0,6 GE erhöhen lassen. (Schattenpreis/Grenzgewinn) Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 33
34 Aufgabe 2b) Optimaltableau: Interpretation der Dualwerte BV x A x B x C y M1 y M2 y R1 y R2 y B y C RS y M1 1-0,6-0,6 432,00 x C 1 90,00 x A ,00 y R2-0,4-0, ,00 x B 1 0,1-0,4 18,00 y B -0,1 0,4 1 0,6 32,00 -DB -1,1-0, ,00 Es würde 1 Einheit mehr von Produkt A hergestellt Es würden 0,4 Einheiten weniger von Produkt B hergestellt Die von Produkt B noch absetzbare Menge erhöht sich um 0,4 Einheiten Die Restkapazität von Maschine 1 verringert sich um 0,6 ZE Die Restmenge des Rohstoffs 2 reduziert sich um 0,4 Einheiten Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 34
35 Aufgabe 2c) Hätte man dieses Planungsproblem auch anhand der relativen Deckungsspannen lösen können? Begründen Sie kurz Ihre Antwort! (5 Punkte) Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 35
36 Aufgabe 2c) Entscheidung anhand von relativen Deckungsspannen bei mehreren Engpässen möglich, wenn ein Engpass dominant ist! Wann liegt ein dominanter Engpass vor? Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 36
37 Aufgabe 2c) Ein Engpass ist dann dominant, wenn die relative Beanspruchung der knappen Faktoren für alle Produkte bei dem gleichen Faktor den maximalen Wert annimmt. Liegt hier ein dominanter Engpass vor? Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 37
38 Aufgabe 2c) Relative Beanspruchung der knappen Faktoren prüfen Produkt A B C max. Kap. Maschine Maschine Rohstoff Rohstoff Beispiel: An Maschine 1 stehen 600 Zeiteinheiten zur Verfügung Eine Einheit des Produktes A benötigt in der Herstellung 3 ZE an Maschine 1 3ZE 600 ZE 0,5% Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 38
39 Aufgabe 2c) Relative Beanspruchung der knappen Faktoren prüfen Produkt relative Beanspr. durch Produkt A B C max. Kap. A B C Maschine ,500% 1,000% 0,000% Maschine ,500% 1,250% 0,750% Rohstoff ,500% 0,000% 1,000% Rohstoff ,455% 0,909% 0,455% Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 39
40 Aufgabe 2c) Relative Beanspruchung der knappen Faktoren prüfen Produkt relative Beanspr. durch Produkt A B C max. Kap. A B C Maschine ,500% 1,000% 0,000% Maschine ,500% 1,250% 0,750% Rohstoff ,500% 0,000% 1,000% Rohstoff ,455% 0,909% 0,455% Die relative Beanspruchung der knappen Faktoren nimmt nicht für alle Produkte beim gleichen Faktor den maximalen Wert an! Es liegt folglich kein dominanter Engpass vor! Eine Entscheidung anhand von relativen Deckungsspannen ist vorab nicht möglich! Klausurkolloquium - Übungsklausur Aufgabe 2 40
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