Hausarbeit Operations Research

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1 Hausarbeit Operations Research - Der Simplex-Algorithmus - Eingereicht von: Christoph Böhm MatrikelNr.: Am Anger 30a Weilersbach (0163) boehm.christoph@siemens.com vorgelegt bei: Dipl.- Stat. Adriane Sommer Fachhochschule Südwestfalen Sommersemester 2008 Weilersbach, den

2 II Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG DARSTELLUNG DES SIMPLEX-ALGORITHMUS Einordnung im Gesamtgebiet des Operations Research Theoretische Grundlagen des Simplex-Algorithmus Komplexität MATHEMATISCHES LÖSUNGSVERFAHREN Prozess der Lösungsermittlung Das Standard-Maximum-Problem Darstellung des Ausgangsproblems Begriff des Standard-Maximum-Problems Rechnerische Ermittlung des Optimums Interpretation des Gesamttableaus Modifikation des Standard-Maximum-Problems Größer Gleich Ungleichungen als Restriktionen Gleichungen als Restriktion Minimierungs-Problem Optimalitätskriterium ANWENDUNG DES SIMPLEX-ALGORITHMUS IN DER PRAXIS RESÜMEE ANHANG Begriffsdefinition Anhang: Simplex Tableau 1 - Umrechnung Anhang: Simplex Tableau Anhang: Simplex Tableau

3 Einleitung Die Komplexität von Unternehmensentscheidungen hat sich in der Industrie über die letzten 50 Jahre hinweg wesentlich gesteigert. Dabei sind Manager häufig gefordert aus einer sehr großen Anzahl von Alternativen diejenige auszuwählen, die dem Unternehmen zukünftig den größten Erfolg verschaffen wird. Um die große Anzahl an Restriktionen und Abhängigkeiten der einzelnen Entscheidungen erfassbar zu machen hat der Simplex- Algorithmus als ein Verfahren zur rechnerischen Lösung linearer Programme eine herausragende Bedeutung in der Unternehmensplanung. Der Simplex-Algorithmus wurde 1947 von George Dantzig entwickelt und konnte sich seitdem als wichtigstes und gebräuchlichstes rechnerisches Lösungsverfahren für lineare Systeme mit beliebig vielen Variablen profilieren. 1 So nennt Zimmermann 2 beispielhaft den Einsatz des Simplex-Algorithmus in der Produktionsprogrammplanung bei Vorliegen von Kapazitätsbeschränkungen, Verschnittminimierung bei der Produktion von Gütern, Mischungsoptimierung - beispielsweise in der Lebensmittelindustrie zur Erreichung geforderter Eigenschaften. Vor allem in der Informationstechnologie, wo der Simplex-Algorithmus heute in vielen Standardsoftwarelösungen integriert ist, ermöglich er auch ohne entsprechende Sachkenntnisse auf sehr schnellem Weg optimale Lösungen für betriebswirtschaftliche Probleme. 3 So verwendet die Firma SAP in ihrem Modul SCM (Supply Chain Management) diese Methode zur Optimierung von Logistiknetzwerken und zur Beschaffungsplanung. 4 Ziel dieser Hausarbeit ist es die Idee des Simplex-Algorithmus darzustellen, anhand eines Beispiels zu erläutern und eine Interpretation der ermittelten Ergebnisse vorzunehmen. Es sollen deshalb in Kapitel 2 die theoretischen Eigenschaften des Algorithmus geklärt werden um anschließend in Kapitel 3 auf den Prozess der Lösungsermittlung theoretisch sowie anhand eines Beispiels einzugehen. Hier wird zuerst das Standard-Maximum Problem näher betrachtet während danach in Kapitel 3.3 sowie 3.4 auf einzelne Sonderprobleme eingegangen wird. 1 Vgl. Friedrich, A, Lineare Optimierung Probleme und Lösungen aus Wirtschaft und Technik, S. 30ff. 2 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 65 sowie als Standardpaket zum Durchführen von Optimierungsaufgaben. 4 SAP Deutschlang AG: Seite 13 Zugriff am

4 Darstellung des Simplex-Algorithmus 2.1. Einordnung im Gesamtgebiet des Operations Research Die Simplex-Methode ist ein Verfahren aus dem Bereich der linearen Optimierung zur rechnerischen Lösung von in Normalform (in der Literatur auch Standardform genannt) vorliegenden Ausgangsproblemen. 5 Unter linearer Optimierung versteht man die Optimierung das heißt die Maximierung oder Minimierung einer linearen Funktion, der so genannten Zielfunktion, deren Variablen einem System von linearen Ungleichungen oder Gleichungen, den so genannten Restriktionen, genügen müssen. 6 Zur rechnerischen Lösung von linearen Optimierungsaufgaben hat sich eine große Anzahl an Verfahren entwickelt, wobei das hieraus bekannteste und gebräuchlichste das Simplexverfahren ist Theoretische Grundlagen des Simplex-Algorithmus Der Begriff Simplex-Algorithmus lässt sich aus der Bezeichnung der Lösungsmenge des zu lösenden Problems ableiten. Hiernach ist die Menge der zulässigen Lösungen eines linearen Programms durch ein konvexes Polyeder darstellbar, der auch als n-dimensionaler Simplex bezeichnet wird. Unter einem Polyeder versteht man einen Körper, der ausschließlich von geraden Flächen begrenzt wird. 8 Nach dem Hauptsatz der linearen Optimierung kann nun bewiesen werden, dass ein Maximum oder Minimum, falls vorhanden, immer in einem, oder sofern mehrere Lösungen vorliegen, in mehreren Eckpunkten des Polyeders gefunden werden kann. 9 Zur Ermittlung eines gesuchten Optimums ermöglicht das Simplexverfahren ausgehend von einem Startpunkt in einem Iterationsverfahren den jeweils nächst besseren Eckpunkt des Polyeders zu bestimmen. Dieser Schritt wird solange wiederholt bis eine optimale Lösung, falls vorhanden, ermittelt wurde. Andererseits gibt es auch Probleme, dessen Lösung unbeschränkt beziehungsweise nicht zulässig ist Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Schick, C., Lineares Optimieren, 1975, S Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 126.

5 Komplexität Das Simplexverfahren zählt zu den erprobtesten Verfahren des Operations Research und erweist sich in der Praxis als sehr schnell. Bei einer Vielzahl an Problemen konnte gezeigt werden, dass es vielen anderen vergleichbaren Methoden überlegen ist. 11 Hier gilt als Faustregel, dass die Laufzeit des Simplexverfahrens weitgehend linear von der Anzahl der Restriktionen und sogar geringer als linear mit der Anzahl der Variablen ansteigt. 12 Ein weiterer großer Vorteil des Simplexverfahrens ist dessen Fähigkeit bei einer leichten Veränderung des Ausgangsproblems, beispielsweise beim Hinzufügen einer zusätzlichen Restriktion, die vorhandene Lösung als Ausgangspunkt zu nutzen. Somit kann mit einer im Vergleich zum Ausgangsproblem sehr geringen Anzahl an Iterationen die neue optimale Lösung ermittelt werden. 13 Im Gegensatz zu den empirischen Ergebnissen aus der Praxis über den niedrigen durchschnittlichen Rechenaufwand konnten Mathematiker Optimierungsprobleme erstellen, bei dem der Simplex-Algorithmus sich als sehr langsam erweist. So konnten Klee und Minty 1972 ein Beispiel konstruieren, bei dem der von Danzig ursprünglich entwickelte Algorithmus eine exponentielle Laufzeit aufweist. 14 In diesem Fall wird der Simplex-Algorithmus alle möglichen Eckpunkte des zulässigen Bereichs absuchen bevor die optimale Lösung erreicht wird. 15 Dieses Verhalten des Algorithmus stellt das schlechtmöglichste Laufzeitverhalten dar. Jedoch sind solche Beispiele immer als Ausnahmen zu sehen. 11 Neumann, K. / Morlock K., Operations Research, München, Carl Hanser Verlag, 2002, S Neumann, K. / Morlock K., Operations Research, München, Carl Hanser Verlag, 2002, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Klee, V. / Minty, G.J.: How good is the simplex algorithm? In: O. Shisha (Hrsg.), Inequalities, Academic Press, S Dempe, S. /Schreier H., Operations Research, 2006, S und S. 346 ff.

6 Mathematisches Lösungsverfahren 3.1. Prozess der Lösungsermittlung Der Simplex-Algorithmus löst lineare Optimierungsaufgaben, welche in Normalform vorliegen. Unter einer Normalform 16 versteht man ein lineares Gleichungssystem der Form: (1) c 1 x 1 + c 2 x c n x n Max lineare Zielfunktion (2) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Restriktionen (3) x 1 0, x 2 0,, x n 0 Nichtnegativitätsbedingungen Mit i = {1,,m} wird die Zeilenindexmenge beschrieben, mit j = {1,,n} die Spaltenindexmenge. x j c j a ij b i Strukturvariablen Koeffizienten der Zielfunktion Koeffizienten der Beschränkungen Rechte Seite der Beschränkungen Meistens liegt aber eine gegebene lineare Optimierungsaufgabe nicht in Normalform vor. Jedoch kann gezeigt werden, dass alle linearen Programme, die diese Voraussetzungen nicht erfüllen, auf solche zurückgeführt werden können. Damit der Simplex-Algorithmus universell für alle Probleme der linearen Optimierung einsetzbar. 17 In den nachfolgenden Kapiteln 3.2.3, 3.3 sowie 3.4 wird neben der Ermittlung zur Lösung einer in Normalform vorliegenden Optimierungsaufgabe auch ein Schwerpunkt auf die Transformation eines Ausgangsproblems zur Normalform gelegt. Für das Gleichungssystem in Normalform, so die Annahme, gilt, dass m < n ist und es damit unterbestimmt ist. 18 Es ist damit nicht möglich eine eindeutige Lösung mit Hilfe des Gauß schen Eliminationsverfahrens zu ermitteln. 19 Um trotzdem, sofern existierend, eine eindeutige Lösung zu bestimmen, werden wie im Verlauf dieser Hausarbeit gezeigt wird, gezielt einzelne Variablen genullt, um das lineare Optimierungsproblem lösen zu können. Liegt das lineare Programm in Normalform vor, so muss in einem ersten Schritt ein Einstiegspunkt für den Simplex-Algorithmus, das heißt eine erste Basislösung gefunden werden, von dem aus die iterative Optimierung starten kann. Unter einer Basislösung 16 Schick, C., Lineares Optimieren, 1975, S Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 112.

7 - 5 - versteht man eine zulässige Lösung der Zielfunktion, die sowohl die Nichtnegativitäts- als auch die Restriktionsbedingungen erfüllt. Von diesem Startpunkt aus ist es dann Ziel, eine Basislösung zu finden, welche einen maximalen Wert der Zielfunktion erreicht. Ob dieser Zustand erreicht wurde ist an der Zielfunktion zu erkennen. Weißt diese noch negative Koeffizienten auf, so ist klar, dass eine weitere Optimierung möglich ist. Dies wird erreicht indem die zugehörige Variable in die Basis aufgenommen wird. 20 Bei der Auswahl der zu überführenden Nichtbasisvariable können verschiedene Strategien verfolgt werden. In dieser Arbeit wird aus Vereinfachungsgründen das Element ausgewählt, das den größten negativen Koeffizient in der Zielfunktion aufweist. Das theoretische Problem hierbei ist, dass die Restriktionen bei der Auswahl unbeachtet bleiben, wobei diese einen wesentlichen Beitrag auf die Wirksamkeit des Optimierungsschrittes haben können. Andere Strategien versuchen deshalb zuerst den größten Fortschritt zu berechnen (bezeichnet in der Literatur als Größte-Fortschritt- Regel ). 21 Ergebnis der Optimierung ist dann ein ermitteltes Optimum beziehungsweise die Feststellung, dass die Lösung unbeschränkt oder unlösbar ist. Folgende Übersicht soll die verschiedenen Phasen der Lösungsermittlung noch einmal verdeutlichen: Gegebene lineare Optimierungsaufgabe Transformation Normalform Iterative Optimierung Optimale Lösung oder keine Lösung Darstellung 1: Abbildung in Anlehnung an Dempe, 2006, S Schick, C., Lineares Optimieren, 1975, S Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 145.

8 Das Standard-Maximum-Problem Darstellung des Ausgangsproblems Zur Abhandlung und Verdeutlichung des Simplex-Algorithmus wird im nachfolgenden ein Beispiel aus der Produktionsplanung aufgegriffen und dies unter Verwendung des Simplex- Algorithmus optimal gelöst. 22 Für einen Kleinbetrieb ist das gewinnmaximale Produktionsprogramm zu ermitteln. Es können die Artikel 1 und 2 mit einem Gewinn von g 1 = 500 und g 2 = 800 gefertigt werden. Die zur Produktion vorhandenen Kapazitäten sind jedoch beschränkt. In der Produktion stehen nur die zwei Maschinen A und B zur Verfügung sowie eine beschränkte Anzahl an Mitarbeitern in der Montageabteilung. Die technischen Daten sind in folgender Tabelle aufgelistet: Maschine A Maschine B Montageabteilung Artikel 1 x 1 2 x 2 5 Stunden 2 Stunden 1 Stunde 5 Stunden 6 Stunden 6 Stunden Gewinn pro Stück Tabelle Verbrauch und Kapazitäten Kapazität pro Tag 24 Stunden 24 Stunden 36 Stunden Die 36 Stunden Kapazität in der Montageabteilung bedeuten, dass alle Mitarbeiter zusammen diese Anzahl an Stunden pro Tag arbeiten. Die mathematische Formulierung des Problems lautet: Lineare Zielfunktion Z = 500x x 2 Lineare Restriktionen (1) 5x 1 + 2x 2 24 (2) x 1 + 5x 2 24 (3) 6x 1 + 6x 2 36 Nichtnegativitätsbedingungen (4) x 1 0 (5) x 2 0 Zielfunktion (kurz Z) Max! Gesucht ist nun die Anzahl an Produkten 1 und 2, die gefertigt werden müssen, um den Gewinn des Unternehmens pro Tag zu optimieren. 22 Beispiel in Anlehnung an Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 49f.

9 Begriff des Standard-Maximum-Problems Bei dem vorliegenden Problem handelt es sich um ein Standard-Maximum-Problem. Hierunter versteht man ein lineares Optimierungsprogramm der Form (1) c 1 x 1 + c 2 x c n x n Max (2) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m (3) x 1 0, x 2 0,, x n 0 Wie an den Zeichen in den Restriktionen ersichtlich ist, liegen solche Probleme nicht in Normalform vor. Zur Überführung werden Schlupfvariablen y 1,,y n eingeführt, um die vorliegenden linearen Restriktionsungleichungen in Gleichungen zu überführen. Die Schlupfvariablen fungieren damit als Puffer zwischen b 1,,b n und den linken Seiten der Ungleichungen. Sie nehmen die Differenz des Betrags zwischen den zwei Seiten auf. Auch für diese speziellen Variablen muss die Nichtnegativitätsbedingung gelten. In der linearen Zielfunktion werden die Schlupfvariablen mit null multipliziert, da natürlich die Werte dieser keine Auswirkungen auf die Zielfunktion haben sollen Rechnerische Ermittlung des Optimums Ausgangspunkt für das Simplexverfahren sind die Restriktionen. Wie bereits aufgezeigt, können durch das Hinzufügen von Schlupfvariablen aus den bestehenden Ungleichungen Gleichungen erstellt werden. (1) 5x 1 + 2x 2 +y 1 = 24 (2) x 1 + 5x 2 +y 2 = 24 (3) 6x 1 + 6x 2 +y 3 = 36 Möchte man hier eine Interpretation der Schlupfvariablen vornehmen, so können diese als Leerlaufzeit interpretiert werden, also der Differenz der verfügbaren und der für die Produktion der Produkte 1 und 2 benötigten Kapazitäten auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. 24 Der nächste Schritt besteht in der Umstellung der Zielfunktion Z nach null sodass diese anschließend lautet: Z - 500x 1-800x 2 = 0. Die vorhandenen Funktionen werden mit Ausnahme der Nichtnegativitätsbedingungen in ein sogenanntes Simplex Tableau übernommen, wobei fehlende Koeffizienten der einzelnen Funktionen durch eine null gekennzeichnet werden. 23 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 18.

10 - 8 - Die Nichtnegativitätsbedingungen werden nicht erfasst und müssen implizit bei jedem Optimierungsschritt überprüft werden. Z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b i 1,00-500,00-800,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 2,00 1,00 0,00 0,00 24,00 0,00 1,00 5,00 0,00 1,00 0,00 24,00 0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 1,00 36,00 Darstellung 2: Simplex Tableau Bei linearen Problemen, die dem Standard-Maximum-Problem entsprechen kann durch Gleichsetzung der Entscheidungsvariablen mit Null eine erste zulässige Basislösung gefunden werden. Entscheidungsvariablen sind diejenigen veränderlichen Variablen, deren Wert in Abhängigkeit von der Zielfunktion optimal zu bestimmen ist, in unserem Fallbeispiel also x 1 sowie x 2. Diese gefundene Basislösung entspricht bei graphischer Darstellung dem Ursprung des Koordinatensystems. Die Basisvariablen y 1, y 2 und y 3 zeichnen sich dadurch aus, dass sie in genau einer einzigen Zeile des Tableaus auftreten. Möchte man die gefundene Lösung beispielhaft an Restriktion 2 verdeutlichen so kann folgende Gleichung abgelesen werden. 0Z + 1x 1 + 5x y 1 +1y y 3 = 24 Da x 1 sowie x 2 aufgrund ihres Status als Nichtbasisvariable der Wert Null zugewiesen wird, kann die Funktion zusammengefasst werden zu y 2 = 24 Dies bedeutet, dass 24 Stunden freie Kapazitäten auf der Maschine 2 verfügbar sind. Ähnliches kann für alle anderen Restriktionen ermittelt werden. Da die gefundene Basislösung eine Einstellung der Produktion bedeuten würde, ist praktisch bereits ersichtlich, dass eine optimale Lösung noch nicht erreicht wurde. Dies lässt sich zusätzlich an den negativen Nichtbasisvariablen-Koeffizienten in der Zielfunktion ablesen, welche aufzeigen, dass eine weitere Optimierung möglich ist und damit der Gewinn durch die Produktion der Produkte 1 oder 2 steigen wird. 25 Besonders das Produkt 2 mit einem zusätzlichen Gewinn von 800 pro Stück sollte unter Beachtung der Restriktionen in höchstmöglicher Stückzahl produziert werden. Damit wird die Spalte der Variable x 2 als Pivotspalte ausgewählt um sie zu einer Basisvariable zu überführen Zielfunktion Restriktion 25 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 53.

11 - 9 - Unter einer Pivotspalte, in der Literatur auch Austauschspalte genannt, versteht man jene Spalte in einem Simplex Tableau, welche ausgewählt wird, um sie zu einer Basisvariablen zu überführen. 27 Die maximale Produktionsmenge kann ermittelt werden, indem alle einzelnen Restriktionsgleichungen wieder als Ungleichungen aufgefasst werden und auch x 2 weiterhin mit Null gleichgesetzt wird. Dann ergibt sich: Engpass 2 x 2 24 x 2 12 Stück 5 x 2 24 x 2 4,8 Stück 6 x 2 36 x 2 6,0 Stück Damit stellt die Maschine 2 mit nur 4,8 Stück produzierbaren Einheiten einen Engpass dar. Die Zelle des Schnittpunkts aus der Pivotspalte und der ermittelten Pivotzeile ergibt dann anschließend das Pivotelement. Die Auswahl des niedrigsten Engpasses garantiert, dass das Tableau nach Durchführung der Optimierung nicht aus dem zulässigen Lösungsbereich fällt. 28 Die unten dargestellte Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen. Die Spalte q i dient der Ermittlung des Pivotelements, indem wie oben beschrieben die Spalte b i durch die Pivotspalte geteilt wird. Die grün hinterlegte Spalte verdeutlicht das gefundene Pivotelement. 29 Pivotspalte Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b i q i 1,00-500,00-800,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 2,00 1,00 0,00 0,00 24,00 24 / 2 = 12 0,00 1,00 5,00 0,00 1,00 0,00 24,00 24 / 5 = 4,8 0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 1,00 36,00 36 / 6 = 6,0 Simplex Tableau 1 Zu beachten ist bei der Ermittlung der Pivotzeile, dass Restriktionen, dessen Engpasswert kleiner oder gleich null ist, nicht in die Auswahl zur Pivotzeile genommen werden dürfen. Dies würde bei der noch zu erläuternden Umrechnung zur Basisvariable zu einem Verstoß gegen die Nichtnegativitätsbedingungen führen und damit zu einer unzulässigen Basislösung Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S Josef Leydold: Zugriff am Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 22.

12 Um dieses Tableau in eine neue Basislösung zu überführen, muss die Pivotspalte so umgerechnet werden, dass sie als Basisvariable auftritt. 31 Hierzu muss die Pivotzeile im ersten Schritt komplett durch das Pivotelement geteilt werden. Anschließend wird von der so ermittelten Zeile ein entsprechendes Vielfaches der anderen Zeilen addiert beziehungsweise subtrahiert 32, so dass ein Einheitsspaltenvektor in der Pivotspalte entsteht. 33 Durch die Anwendung der oben genannten Vorgehensweise entsteht folgende zweite Tabelle. Die detailierte Umrechnung des Simplex Tableau 1 befindet sich im Anhang. Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 1 y 2 x 2 y 1 y 3 b i q i 1,00-340,00 160,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 4,60-0,40 0,00 1,00 0,00 14,40 14,40 /4,60 = 3,13 0,00 0,20 0,20 1,00 0,00 0,00 4,80 4,80 / 0,20 = 24,0 0,00 4,80-1,20 0,00 0,00 1,00 7,20 7,20 / 4,80 = 1,50 Simplex Tableau 2 Bei Überprüfung der Zielfunktion auf Optimalität ist feststellbar, dass noch kein optimales Ergebnis erreicht wurde, da der Koeffizient von x 1 weiterhin negativ ist und damit als Pivotspalte zu einer Basisvariable überführt werden muss. Auch hier ist ähnlich wie im ersten Tableau die Pivotzeile beziehungsweise der Engpass zu ermitteln und aus dem Schnittpunkt der Pivotzeile mit der Pivotspalte das Pivotelement festzulegen. Das Pivotelement ist im vorliegenden Fall der Wert 4,80, der im Simplex Tableau 2 grün unterlegt dargestellt ist. Durch weitere Optimierung erhält man anschließend folgendes Tableau: Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z y 2 y 3 y 1 x 1 x 2 b i q i 1,00 75,00 70,83 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,75-0,96 1,00 0,00 0,00 7,50 0,00 0,25-0,04 0,00 0,00 1,00 4,50 0,00-0,25 0,21 0,00 1,00 0,00 1,50 Simplex Tableau 3 31 Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 19.

13 Da im vorliegenden Fall für alle Variablen der Zielfunktion ein positiver Wert erreicht wird, ist die Optimalitätsbedingung erfüllt und die Zielfunktion hat unter Einhaltung der Restriktionsbedingungen einen maximalen Wert erreicht Interpretation des Gesamttableaus Aus dem Simplex Tableau 3 können vielfältige Rückschlüsse gezogen werden. Wichtige Kennzahlen sind grün im Tableau unterlegt. Der maximale Gewinn beträgt im vorliegenden Fall 4350 und wird bei einer täglichen Produktion von 1,5 Stück von Produkt 1 sowie 4,5 Stück von Produkt 2 erwirtschaftet. Dieses Ergebnis kann an den Basisvariablen x 1 sowie x 2 abgelesen werden, indem die Zeile mit dem Wert Eins gesucht und dann der zugehörige Wert b i abgelesen wird. 35 Die Basisvariable y 1 lässt erkennen, dass auf Maschine A noch 7,5 Stunden freie Kapazität zur Verfügung stehen, die nicht genutzt werden. Neben dieser Grundinterpretation können aber noch weitere Interpretationen vorgenommen werden. Die in der Zielfunktion bestehenden Koeffizienten der Nichtbasisvariablen können als Opportunitätskosten der nicht gefertigten Produkte oder der bis zur Kapazitätsgrenze genutzten Produktionsfaktoren interpretiert werden. 36 Diese Opportunitätskosten bedeuten folgendes: Für jede Stunde Mindereinsatz der Maschine B (Spalte y 2) geht der Gewinn um 75 zurück, beziehungsweise für jede zusätzliche Einsatzstunde der Maschine steigt der Gewinn um eben diesen Betrag. Ähnliches gilt für die Montagegruppe (Spalte y 3). Für jede nicht gearbeitete Stunde entgehen dem Unternehmen 70,83 Gewinn. 37 Durch die Interpretation kann das Simplex Tableau als Entscheidungsgrundlage dienen und helfen, eine Aussage darüber zu treffen, ob eine Ausweitung der Produktion sinnvoll ist oder nicht. Sollten im vorliegenden Fall exemplarisch die Kosten für Überstunden an Maschine 1 geringer als 75 sein, kann somit eine Produktionsausweitung empfohlen werden Modifikation des Standard-Maximum-Problems Größer Gleich Ungleichungen als Restriktionen Das in Kapitel 3.2 beschriebene Verfahren zur Überführung eines Standard-Maximum- Problems kann nur solange angewandt werden, wie die Restriktionen alle Zeichen 34 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 27.

14 aufweisen. Bereits problematisch ist das Vorliegen eines Problems mit einer Restriktion. Zwar kann durch Multiplikation der betroffenen Restriktion mit -1 das zu einem umgedreht werden, 38 jedoch weißt anschließend die betroffene Zeile einen negativen Wert auf und verstößt damit gegen die Nichtnegativitätsbedingung. Um trotzdem zu einer zulässigen Basislösung zu gelangen muss die bisher als Basisvariable geführte negative Variable aus dem Tableau in eine Nichtbasisvariable überführt werden, was in einer vorgelagerten Phase geschehen muss. 39 Zu beachten ist, dass falls in der Pivotzeile tatsächlich nur positive Nichtbasis-Variablen auftreten, keine Lösung für das Problem gefunden werden kann und der Simplex- Algorithmus beendet ist. 40 Das in Kapitel dargestellte Ausgangsproblem soll zur Verdeutlichung des Vorgehens dienen. Neben den bereits vorgestellten Restriktionen soll nun gelten, dass von Produkt 1 und 2 aufgrund von Kundenverpflichtungen zusammen mindestens 3 Stück pro Tag produziert werden sollen. Die hieraus zu berücksichtigende Restriktion x 1 + x 2 3. kann durch Multiplikation mit -1 in eine Kleiner-Gleich-Beziehung überführt werden. Eine weitere Schlupfvariable y 4 wird eingeführt um eine der Normalform entsprechende Gleichung zu erhalten: -x 1 - x 2 + y 4 = -3 Das Ausgangstableau lautet damit neue Restriktion Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 b i q i 1,00-500,00-800,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 2,00 1,00 0,00 0,00 0,00 24,00 0,00 1,00 5,00 0,00,00 0,00 0,00 24,00 0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 1,00 0,00 36,00 0,00-1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 1,00-3,00 Simplex Tableau 4 Im Ausgangstableau kann in den grün hinterlegten Feldern der Verstoß gegen die Nichtnegativitätsbedingung erkannt werden. Die Schlupfvariable y 4 weist einen negativen Wert auf. Die ermittelte Lösung ist damit nicht zulässig. Um dieses Problem zu beheben 38 Dempe, S. /Schreier H., Operations Research, 2006, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 57.

15 muss eine Phase vor der eigentlichen Optimierung geschaltet werden. Zu Beginn muss zur Überführung das negative Pivotelement x 2 ausgewählt werden. Da sowohl x 1 als auch x 2 einen negativen Wert enthalten ist das Auswählen des Pivotelements hierbei frei. 41 Anschließend kann das Tableau passend umgerechnet werden. Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 1 y 4 x 2 y 1 y 2 y 3 b i q i 1,00 300,00-800,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 3,00 2,00 0,00 1,00 0,00 0,00 18,00 9,00 0,00-4,00 5,00 0,00 0,00 1,00 0,00 9,00 1,80 0,00 0,00 6,00 0,00 0,00 0,00 1,00 18,00 3,00 0,00 1,00-1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 3,00-3,00 Simplex Tableau 5 Das Ergebnis dieser Umrechnung ist ein in Normalform befindliches Ausgangstableau, dass nun wie gewohnt optimiert werden kann, so dass nach Durchführung der Optimierung folgendes Tableau für das optimierte Produktionsprogramm vorliegt (Zwischenschritt siehe Simplex Tableau 10 im Anhang). Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z y 2 y 3 x 1 x 2 y 1 y 4 b i q i 1,00 75,00 70,83 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,75-0,96 0,00 0,00 1,00 0,00 7,50 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 1,00 3,00 0,00-0,25 0,21 1,00 0,00 0,00 0,00 1,50 0,00 0,25-0,04 0,00 1,00 0,00 0,00 4,50 Simplex Tableau 6 Das Ergebnis des optimalen Tableaus empfiehlt nun 1,5 Stück von Produkt 1 sowie 4,5 Stück von Produkt 2. Trotzdem werden die Kapazitäten nicht voll ausgenutzt. Auf Maschine 1 stehen noch insgesamt 7,5 Stunden freie Kapazitäten zur Verfügung Gleichungen als Restriktion Liegen anstelle der Ungleichungen in den Restriktionen Gleichungen vor, so muss auch hier die Optimierung solange zurückgestellt werden bis eine erste zulässige Basislösung ermittelt wird. Durch die Einführung einer zusätzlichen Schlupfvariable in der Restriktion kann eine solche Basislösung gefunden werden. 42 Diese Vorgehensweise macht Sinn, da sie nachdem die Variable zur Nichtbasisvariable überführt wurde, anschließend mit einem 41 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 58.

16 Sperrvermerk versehen wird um zu verhindern, dass diese wieder als Basisvariable eingeführt wird. Durch die Umwandlung zur Nichtbasisvariable wird erreicht, dass die Schlupfvariable Null wird und damit die Gleichung erfüllt ist. 43 Dem eigentlichen Simplex-Algorithmus muss damit wiederum eine weitere Phase vorgeschaltet werden, in dem die mit einem Sperrvermerk versehenen Variablen als Pivotzeilen bestimmt werden. Die Behandlung der einzelnen Zeilen bei vorliegen mehrerer mit Sperrvermerk versehenen Variablen ist vollkommen beliebig. Als zugehörige Pivotspalte ist eine beliebige Nichtbasisvariable wählbar, sofern die Nichtbasisvariable 0 ist. 44 Das Verfahren soll wieder an dem unter Punkt dargestellten Ausgangsproblem dargestellt werden. Hierbei soll ein dritter Artikel in das Produktionsprogramm aufgenommen werden. Bei einem Gewinn von 100 pro Stück wird eine Fertigungszeit von je 3 Stunden auf Maschine A benötigt. Abgesehen von einer Einheit des Artikels 1 kann der Artikel 3 nur zusammen mit dem Artikel 1 verkauft werden. Es ist damit eine zusätzliche Restriktionsgleichung der Form x 1 = 1 + x 3 einzuführen, die nach Umstellung in die Form x 1 - x 3 = 1 als Restriktion in das vorliegende Gleichungssystem einfließen wird: (1) 5x 1 + 2x 2 +3x 3 24 (2) x 1 + 5x 2 24 (3) 6x 1 + 6x 2 36 (4) x 1 - x 3 = 1 Wiederrum zum Simplex Tableau überführt ergibt sich folgende Darstellung: neue Restriktion Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 4(g) b i 1,00-500,00-800,00-100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 2,00 3,00 1,00 0,00 0,00 0,00 24,00 0,00 1,00 5,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 24,00 0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 36,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 Simplex Tableau 7 Die Variable y 4 wird mit einem kleinen g für gesperrt gekennzeichnet. Die neu hinzugefügte Restriktion wird gleichzeitig zur Pivotzeile und als zugehörige Pivotspalte wird anschließend x 1 ausgewählt. Durch Umrechnung wird die Variable y 4 zur Nichtbasisvariablen transformiert und damit das Simplex Tableau zu einer zulässigen Basislösung überführt. 43 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 58.

17 Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 2 x 3 y 4(g) x 1 y 1 y 2 y 3 b i 1,00-800,00-600,00 500,00 0,00 0,00 0,00 0,00 500,00 0,00 2,00 8,00-5,00 0,00 1,00 0,00 0,00 19,00 9,50 0,00 5,00 1,00-1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 23,00 4,60 0,00 6,00 6,00-6,00 0,00 0,00 0,00 1,00 30,00 5,00 0,00 0,00-1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 -- / -- Simplex Tableau 8 Nachdem diese Form erreicht wurde kann wie gewohnt mit der Optimierung begonnen werden. Auf Darstellung des Zwischenschrittes zur Optimierung des Simplex Tableaus wird an dieser Stelle verzichtet, sodass direkt die optimierte Lösung dargestellt wird. Im Anhang (Simplex Tableau 11) kann der fehlende Schritt jedoch nachgeschlagen werden. Nichtbasisvariable Basisvariablen Z y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 y 1 b i 1,00 50,00 91,67-100,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 1,50-1,58 3,00 0,00 0,00 0,00 1,00 6,00 0,00 0,25-0,04 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 4,50 0,00-0,25 0,21-1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,50 0,00-0,25 0,21 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,50 Simplex Tableau 9 Wie an der oberen Lösung erkannt werden kann weißt die Nichtbasisvariable y 4 im Simplex Tableau 9 auch im optimalen Zustand einen negativen Wert in der Zielfunktion auf. Trotz dieses Umstands ist das an dieser Stelle vorliegende Ergebnis optimal, da ja die Variable y 4 als gesperrt gekennzeichnet ist.

18 Minimierungs-Problem Auch bei der Minimierung eines linearen Programms besteht die grundlegende Frage wie man dieses Problem in die für die Anwendung des Simplexverfahrens notwendige Normalform überführen kann. Hierfür gilt 45 Z = Min (-Z) = Max Generell kann die Aussage getroffen werden, dass eine lineare Funktion ein Minimum dort erreicht, wo sie multipliziert mit minus eins ein Maximum hat. 46 Bevor der Simplex- Algorithmus zur Lösung des Problems angewandt werden kann, muss auch hier überprüft werden, ob die zu optimierende Aufgabe in Normalform vorliegt und die Basislösung zulässig ist. Das anschließende Ergebnis kann dann durch Multiplikation mit -1 als Z interpretiert werden Optimalitätskriterium Wie in Kapitel gezeigt wurde, gilt eine Zielfunktion und damit das Tableau als optimal gelöst, wenn alle Variablen einen positiven Wert einnehmen. Jedoch kann es immer wieder vorkommen, dass eine unbeschränkte Lösung vorliegt, dass heißt das Optimum liegt im Unendlichen. Eine unbeschränkte Lösung liegt dann vor, wenn die Pivotspalte nur negative Werte aufweist. 47 Dies würde dazu führen, dass die Lösung bei steigendem Wert der Basisvariable auch steigen würde und dabei weder die eigentlichen Nichtnegativitätsbedingungen noch die Restriktionen verletzt werden würden. 45 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 50f. 46 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S Fernuniversität Hagen: S. 7 Zugriff

19 Anwendung des Simplex-Algorithmus in der Praxis SAP bietet mit SAP Advanced Planner and Optimizer (kurz SAP APO) ein System, dass die Planung und Optimierungsaufgaben im Rahmen des Supply Chain Management übernimmt. Zur Verdeutlichung des Simplex-Algorithmus wird im Nachfolgenden eine Optimierung mithilfe des Supply Network Planning Optimizer (SNP optimizer) dargestellt. 48 Ziel des SNP optimizer ist es, anhand einer Zielfunktion, die zum Beispiel aus Transport-, Produktions-, Lager- und Umschlagskosten besteht, eine Logistikkette so aufeinander abzustimmen, dass die Minimalkostenkombination hieraus entsteht. Das bei der Optimierung in SAP zugrundeliegenden Modell bietet die Möglichkeit, so genannte Softconstraints zu definieren, also Restriktionen die nicht unter allen Umständen zu berücksichtigen sind. Verletzungen werden genau dann hingenommen wenn dies billiger ist als sie einzuhalten. Damit wird eine Priorisierung einzelner Aspekte des zu optimierenden Modells möglich. So kann eine sehr schnelle Lieferung dadurch gefördert werden, dass entsprechend hohe Verzugskosten kalkuliert werden. 49 Optimization Solver Lösungskonsistenz überprüfen und Optimallösung ermitteln Ausgangsmodell Optimiertes Modell Lineares Modell erzeugen Daten erfassen Bestellung vornehmen Aktualisierte Bestellungen Datenbasis Darstellung 3 nach Bartsch, H / Teufel T: Supply Chain Management mit SAP APO Das oben dargestellte Modell zeigt den Ablauf einer Optimierung mit Hilfe von SAP auf. Die entsprechende Zusammenstellung der Elemente der Lieferkette wird im Anschluss automatisiert von APO vorgeschlagen. Ausgewählt werden kann das Verfahren des primären oder dualen Simplexverfahren beziehungsweiße das Innere Punkt Verfahren zur Lösung des Modells Bartsch, H. / Teufel T., Supply Chain Management mit SAP, 2002, S Bartsch, H. / Teufel T., Supply Chain Management mit SAP, 2002, S Bartsch, H. / Teufel T., Supply Chain Management mit SAP, 2002, S. 319.

20 Resümee Der hier vorgestellte Algorithmus zeigt die von Dantzig geschaffenen Grundlagen zur Lösung linearer Probleme auf. Dieser wird auch als primale Simplexmethode bezeichnet, da zu jeder Simplexlösung auch eine duale Lösung ermittelt werden kann, die im Wesentlichen auf dem Tausch von Spalten und Zeilen beruht. In der Mathematik haben sich optimierte Verfahren zum Originalverfahren von 1947 entwickelt. Als moderner Vertreter des Simplexverfahrens ist, aufgrund seiner schnelleren Rechenzeit, das revidierte Simplexverfahren, dass sich die Eigenschaft zu nutze macht, dass trotz des Vorhandenseins einer großen Anzahl von Restriktionen nur ein gewisser Prozentsatz hieraus verwendet wird. Eine weitere Optimierung stellt die LU-Zerlegung dar, die das als Matrix dargestellte Ausgangsproblem in eine untere und obere Dreiecksmatrix unterteilt. Sie macht sich zu nutzen, dass anschließend viele Gleichungssysteme mit derselben Matrix, aber unterschiedlichen rechten Seiten effizient gelöst werden können. 51 Bei der Anwendung des Simplexverfahrens in der Praxis muss jedoch immer berücksichtigt werden, dass hierfür eine Reihe von Annahmen getroffen werden müssen, um das Problem in Gleichungs- beziehungsweise Ungleichungsform zu bringen. Einzelne technische oder wirtschaftliche Aspekte können in einem solchen mathematischen Modell oft nicht ausreichend beschrieben werden. Es entstehen Abweichungen von der realen Problemstellung, die sich dann auch auf das Ergebnis des Verfahrens auswirken. Alleine die in Kapitel erstellte Zielfunktion geht von einem gleich bleibenden Gewinn je abgesetztes Stück aus, was in der Praxis als sehr unrealistisch einzuschätzen ist. Eine mögliche Fixkostendegression wird hierbei zum Beispiel nicht betrachtet. Doch werden im Operations Research, besonders aus den Themengebieten der Nichtlinearen Optimierung sowie der Ganzzahlen Optimierungen Lösungswege aufgezeigt, um solche Probleme zu begegnen Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S. 169 sowie Wikipedia: Zugriff am Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 208f.

21 Literaturverzeichnis Bartsch, H / Teufel T: Supply Chain Management mit SAP APO Supply-Chain Modelle mit dem Advanced Planner and Optimizer, Galileo Verlag, 2002 Dempe, Stephen / Schreier, Heiner: Operations Research Deterministische Modelle und Methoden, Wiesbaden, B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, 2006 Friedrich, Alfred: Lineare Optimierung Probleme und Lösungen aus Wirtschaft und Technik, Renningen-Malsheim, 2001 Grötschel, M: Lineare Optimierung Algorithmische Diskrete Mathematik, Technische Universität Berlin Institut für Mathematik, 2003 Schick, Karl: Lineares Optimieren, Frankfurt am Main, 1972 Sturm, Manfred: Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, Hagen, IfV NRW, 2002 Zimmermann, Werner: Operations Research Quantitative Methoden zur Entscheidungsvorbereitung, München, Oldenburg, 1990

22 I 6. Anhang Begriffsdefinition nach Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, S.69 Basislösung Basisvariable Entscheidungsvariable Gesperrte Schlupfvariable Nebenbedingung Nichtbasisvariable Nichtnegativitätsbedingung Schlupfvariable Zielfunktion gegeben ist ein lineare Gleichung mit m Gleichungen und n Variablen (m>n). Weist man einer beliebigen Auswahl von (m-n) Variablen (den sogenannten freien Variablen ) den Wert Null zu, so erhält man eine eindeutige Lösung für den restlichen n Variablen. Die Lösung hierzu nennt man Basislösung mit n Basisvariablen und m-n Nichtbasisvariablen. siehe Basislösung. verändlerliche Variable, deren Wert in Abhängigkeit von der Zielfunktion optimal zu bestimmen ist; stellt die Handlungsalternative im praktischen Problem dar. aus mathematischen Gründen zusätzlich definierte Variable in Zusammenhang mit einer Gleichung als Nebenbedingung: Hintergrund ist die Idee das diese Variable einmal zur Nichtbasisvariable überführt und damit nie mehr 0 sein kann. Rahmenbedingung, die bei der Optimierung einer Zielfunktion beachtet werden muss. siehe Basislösung. Restriktion, um nicht zuzulassen, dass die Entscheidungsvariablen oder Schlupfvariablen negativ werden. Variable um eine Ungleichung() in eine Gleichung umzuwandeln. Funktion, die in Abhängigkeit vom praktischen Problem die Zielsetzung des Handelns bestimmt; hierbei ist die Funktion entweder zu maximieren oder minimieren.

23 II Anhang: Simplex Tableau 1 - Umrechnung Nichtbasisvariablen Basisvariablen x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b i * 0, * * * 0, * * 4,8 = -340 = 0 = 0 = 160 = 0 = * 0,2 = 4,6 2-2 * 1 = * 0 = * 0,2 = -0,4 0-2 * 0 = *4,8 = 14,4 1 / 5 = 0,2 5 / 5 = 1 0 / 5 = 0 1 / 5 = 0,2 0 / 5 = 0 24 / 5 = 4,8 6-6 * 0,2 = 4,8 6-6 * 1 = * 0 = * 0,2 = -1,2 1-6 * 0 = * 4,8 = 7,2 Anhang: Simplex Tableau 10 Zur Vervollständigung der Ausarbeitung wird hier der Zwischenschritt zu Kapitel dargestellt. Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 1 y 2 x 2 y 1 y 3 y 4 b i q i 1,00-340,00 160,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 4,60-0,40 0,00 1,00 0,00 0,00 14,40 3,13 0,00-0,80 0,20 0,00 0,00 0,00 1,00 1,80-2,25 0,00 4,80-1,20 0,00 0,00 1,00 0,00 7,20 1,50 0,00 0,20 0,20 1,00 0,00 0,00 0,00 4,80 24,00 Simplex Tableau 9 Anhang: Simplex Tableau 11 Zur Vervollständigung der Ausarbeitung wird hier der Zwischenschritt zu Kapitel dargestellt. Nichtbasisvariablen Basisvariablen Z x 3 y 2 y 4(g) x 1 x 2 y 1 y 3 b i 1,00-440,00 160,00 340,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 7,60-0,40-4,60 0,00 0,00 1,00 0,00 9,80 1,29 0,00 0,20 0,20-0,20 0,00 1,00 0,00 0,00 4,60 23,00 0,00 4,80-1,20-4,80 0,00 0,00 0,00 1,00 2,40 0,50 0,00-1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 Simplex Tableau 10