1. Entscheidung bei Unsicherheit
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- Daniela Zimmermann
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1 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Entscheidung bei Unsicherheit A. B. C. 6 km 6 km 6 km D. a) Nutzenmatri (Kundenanteile von K in %) u(k A,M A ), 6 +, 6 +, 6 +, 6 6 u(k B,M A ), +, 8 +, 8 +, 8 6 u(k C,M A ), +, 6 +, 8 +, 8 6 u(k D,M A ), +, +, 8 +, 8 6 u(k A,M B ), 8 +, +, +, 6 u(k B,M B ), 6 +, 6 +, 6 +, 6 6 u(k C,M B ), +, +, 8 +, 8 6 u(k D,M B ), +, +, 6 +, 8 u(k A,M C ), 8 +, 6 +, +, 6 u(k B,M C ), 8 +, 8 +, +, 6 u(k C,M C ), 6 +, 6 +, 6 +, 6 6 u(k D,M C ), +, +, +, 8 8 u(k A,M D ), 8 +, 8 +, +, 6 u(k B,M D ), 8 +, 8 +, 6 +, 68 u(k C,M D ), 8 +, 8 +, 8 +, 7 u(k D,M D ), 6 +, 6 +, 6 +, 6 6 M A M B M C M D K A K B K C K D 6 8 6
2 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite b) Dominanzen und Entscheidungskriterien Es gilt: K A KD, B K A K, KB KD, K C K A, K C KD M A M B M C M D () () () () K A δ+6 K B δ+6 6 K C δ+6 8 K D δ () K A 8 8 K B K C K D () Minima-Kriterium: K B () Maima-Kriterium: K C () Hurwicz-Kriterium: K B für δ, K C für, δ Präferenzfunktion Φ i (δ) ,,,,,,,6,7,8,9, K C K B K A K D () Laplace-Kriterium: K B () Savage-Kriterium: K B oder K C
3 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Entscheidung bei Unsicherheit/Risiko a) Entscheidungskriterien bei Unsicherheit Z Z Z () () () () A 8 δ+ A 7 6δ+ A δ () A 6 6 A A () Minima-Kriterium: A () Maima-Kriterium: A () Hurwicz-Kriterium: A für δ, A für, δ,7 A für,7 δ Präferenzfunktion Φ i (δ) 6 8 6,,,,7, A A A () Laplace-Kriterium: A () Savage-Kriterium: A
4 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite b) Klassische Entscheidungskriterien bei Risiko p j,,, Z Z Z μ i σ i σ i μ i -,σ i A , A , A , μ-kriterium: A (μ,σ)-kriterium: A (für k,)
5 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Entscheidung bei Risiko a) Klassische Entscheidungskriterien p j,,, Z Z Z μ i σ i μ i - σ i A - 7, A 8, A , μ-kriterium: A (μ,σ)-kriterium: A (für k) b) Risikonutzenfunktion u() e / u(),,, - - -, -, -, -, monoton steigender und konkaver Verlauf Risikoaversion
6 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6 c) Bernoulli-Prinzip p j,,, Z Z Z E[U(X i )] s i ) E[X i ] π i A,98,777 -,78, 8,6 9, A,777,699,9,66 8, 6,8 A,,,699, 8, 8, optimale Aktion: A ) Berechnung der Sicherheitsäquivalente: / [ U(X )] e s i E i! e s i / E [ U(X )] i si ln( E[ U(X )]) i s i ln( E [ U(X )]) i
7 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7. Bayes-Analyse a) Bestimmung der Aposteriori-Wahrscheinlichkeiten Apriori-Wahrscheinlichkeiten P(Z j ) und bedingte Wahrscheinlichkeiten P(I k IZ j ) P(Z j ),,, P(I k IZ j ) Z Z Z I,7,, I,,, I,,,7 Informations-Wahrscheinlichkeiten P(I k ) ) Aposteriori-Wahrscheinlichkeiten P(Z j II k ) ) und P(I k ) P(Z j II k ) Z Z Z,8 I,6,97,6, I,,66667,, I,97,687,7 Berechnungsbeispiele: ) (.6) P(I ),,7 +,, +,,,8 ) (.7),,7 P(Z I),8,6
8 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8 b) Bayes-Kriterium und Bewertung der Information E[U i II ] E[U i II ] E[U i II ] A,7,7 -, A,79,677,7 A,,,66 optimale Strategie S t : I A I A I A erwarteter Nutzen der optimalen Strategie: E[U t ],8,79+,,677+,,66,679 Sicherheitsäquivalent der optimalen Strategie: s t - ln(-,679), [ ] Obergrenze für die Kosten des Markttests: K < s t s i, 8,, [ ] Effizienz der Information: UPI ma E[ Ut ] ma E[ Ui ],679, 66,8 t i U VI ( p j j ma u i ij ) ma E i [ Ui (,,98 +,,777 +,,699), 66, ] ε U U PI VI,8,76
9 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 9. Entscheidung bei Risiko a) Dominanzen und einfache Entscheidungskriterien Es gilt: A A A A effiziente Aktionen: A, A, A Z Z Z () () () A , A , A - -, A , optimale Aktion nach dem () Minima-Kriterium: A () μ-kriterium: A () Hodges-Lehmann-Kriterium: A b) Bernoulli-Prinzip P j / / / Z Z Z E[U(X i )] s i E[X i ] π i A,8,667,79,686,6,,8 A,,77,8,7,96,,9 A,78,87,66 -,97 6, 9,97 optimale Aktion: A Risikoaversion, da positive Risikoprämien
10 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite c) Bayes-Analyse Apriori-Wahrscheinlichkeiten P(Z j ) und bedingte Wahrscheinlichkeiten P(I k IZ j ): P(Z j ) / / / P(I k IZ j ) Z Z Z I /6 / / I /6 / / Informations-Wahrscheinlichkeiten P(I k ) und Aposteriori-Wahrscheinlichkeiten P(Z j II k ): P(I k ) P(Z j II k ) Z Z Z /9 I,,7, /9 I,,, Bayes-Kriterium: E[U i II ] E[U i II ] A,787,6 A,766,66 A,7,6 optimale Strategie S t : I A I A Sicherheitsäquivalent: s t s,96 (s.o.) Kundenbefragung lohnt nicht, da U PI
11 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6. Nullsummen-Spiel a) Gewinnmatrizen für Tages- und Nachtüberfahrten (Beförderungsanteile von A in %) Tag B () B () Nacht B (7) B (9) A () A () A (8) A (8) A () A (6) b) Gewinnmatri für alle Überfahrten Tag & Nacht B B min gij j A A A 6 ma g 6 i ij Dominanzen: A A B B c) Minima-Lösung reine Minima-Strategien: (A,B ) Beförderungsanteile: A: % B: % Die Minima-Lösung ist ein Sattelpunkt, weil kein Spieler Anlass hat, von dieser Lösung abzuweichen.
12 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7. Nullsummen-Spiel a) Reine Strategien B B B min gij j A A A,,,8,,6,,,,7,,, ma g,8,6,7 i ij effiziente Strategien: A, A B, B, B Aktion A nicht sinnvoll, da A von A dominiert wird. Aktion B nicht sinnvoll, da wenn A ausscheidet B vorteilhafter ist als B. Minima-Lösung: (A,B ) Gästeanteile: A: 6% B: % Die reine Minima-Lösung (A,B ) ist kein Sattelpunkt, weil sich B von B (Gästeanteil %) nach B oder B (Gästeanteil jeweils %) verbessern kann.
13 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite b) Gemischte Strategien q -q B B B E[ G A,q ] i p -p A A A [ G p,b ] j,6,,,7 E,+,p,7,p,,q,+,q Berechnung der Erwartungswerte: A [ G p,b ],6p +,( p) A [ G p,b ],p +,7( p) B [ G A,q ] [,6 q +,( q) ] B [ G A,q ] [, q +,7( q) ] E E E E Minima-Strategien Erwarteter Gästeanteil von A,,8,6 B,,,,,,,6,8, p, +,p,7,p,,q, +,q Erwarteter Gästeanteil von B,,8,6,,,,,,,6,8, q B A A p,8 q, erwartete Gästeanteile: A: % B: 6%
14 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8. Nicht-Nullsummen-Spiel Tages-Überfahrten a) Berechnung der Umsätze von A und B: G A (A,B ), 8 G B (A,B ),6 66 G A (A,B ),6 7 G B (A,B ), G A (A,B ),6 6 G B (A,B ), G A (A,B ),6 6 G B (A,B ), G A (A,B ), 8 7 G B (A,B ),6 66 G A (A,B ), 8 7 G B (A,B ),6 78 Gewinnmatri (Umsätze von A und B pro Fahrzeug) B () B () min g j A ij A () A () A (8) (8,66) (6,) (7,66) (7,) (6,) (7,78) i B ij min g b) Minima-Lösung reine Minima-Strategien: (A,B ) Umsätze: A: 7 [ /Fahrzeug] B: 78 [ /Fahrzeug] (A,B ) ist ein Nash-Gleichgewicht!
15 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite Nacht-Überfahrten a) Berechnung der Umsätze von A und B: G A (A,B ), 8 G B (A,B ),6 7 G A (A,B ),6 8 8 G B (A,B ), 9 6 G A (A,B ), G B (A,B ),6 7 G A (A,B ), G B (A,B ),6 9 G A (A,B ),6 6 6 G B (A,B ), 7 8 G A (A,B ),6 6 6 G B (A,B ), 9 6 Gewinnmatri (Umsätze von A und B pro Fahrzeug) B (7) B (9) min g j A ij A (8) A () A (6) (,) (,) (6,8) (8,6) (,) (6,6) 6 i B ij min g 8 6 b) Minima-Lösung reine Minima-Strategien: (A,B ) Umsätze: A: [ /Fahrzeug] B: [ /Fahrzeug] (A,B ) ist kein Nash-Gleichgewicht, weil A seinen Umsatz von auf 8 [ /Fahrzeug] erhöhen kann, wenn er statt des Tarifs A den Tarif A wählt.
16 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6 c) Umsatz-Erwartungswerte von A und B / / A (8) A () A (6) A B [(G,G ) p,b ] j / / B B (7) (9) (;) (;) (6;8) (8;6) (;) (6;6) E A B [(G,G ) A,q] ( ;9 ) ( ;8 ) ( 6 ; ) E (,7; ) (,; ) ( ; ) i erwartete Umsätze: A: [ /Fahrzeug] B: [ /Fahrzeug] Die beiden gemischten Strategien bilden ein Nash- Gleichgewicht!
17 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7 9. Matrizenrechnung / Lineare Algebra a) Lineare (Un-)Abhängigkeit Spaltenvektoren von X : 6 k k k () : k + k () : k + k + k () : k + k + k () : k + k + k () : k + 6 k () () : k k k k in () : k + 6 k k k k in () : k Spaltenvektoren, und linear unabhängig Zeilenvektoren von X : linear abhängig, weil die Anzahl () die Dimension () übersteigt.
18 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8 b) Matrizenmultiplikation 9 Y Z 6 6
19 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 9 c) Matriinversion I y y y II y e y e e e 9 y e e, -, -,, -, -,, -, -, Y III y e e IV e e e y e y -,,, -,,,, -, -, y y y,, -,,, -, -, -,, IV' e e e y y y,, -,,, -, -, -,, Y - Probe: Y Y,,,,,,,,, 9
20 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite d) Linearkombinationen k k k 9 und k k k 9 k k k k k k 9 Multiplikation mit Y - : k k k k k k,,,,,,,,,, k k k k k k Ergebnis: 9 und, 9
21 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Lineare Gleichungssysteme a) Reguläres System I a a a b II a a b e e e e e a III a b IV b a e a a a a - k m n Fall I (.6) L
22 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite b) System mit Rangdefekt I a a a b II a a b e e e a e e III a b a a - -8 e k < min {m,n} Fall IV b) (.7) 8 + L R
23 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite c) System mit Rangdefekt I a a a b II a a b e e e - - a e e III a b a a - - e k < min {m,n} Fall IV a) (.69) L {}
24 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite d) Reguläres System I a a a a b e e e e II a a a b III a a b e e a e a e a e IV a b V b a a a e 8,, 6,, 7, 7,7 7,,7 a a a a - k m n Fall I (.6) L
25 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Lineare Gleichungssysteme a) Basislösungen Berechnung einer ersten Basislösung: I a a a a a b e e e II a a a a b a e e III a a a b a a e. Basislösung:
26 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6 Berechnung der übrigen Basislösungen: III a a a b IV a a a b a a a a a a V a a a b VI a a a b -, -, -,, a a, -, - -,, - a a VII a a a b VIII a a a b a a a a IX a a a b X a a a b a a -, -,,, -, -, XI a a a b a a -, -,, -, -,,,8 -, B,,,,,8,
27 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7 Bemerkungen zu den Basislösungen Da für jede Basislösung aus den Spaltenvektoren der Matri A je Basisvektoren ausgewählt werden, gibt es maimal ( ) Basislösungen. Diese Zahl reduziert sich auf 9 Basislösungen, weil die Spaltenvektoren a und a linear abhängig sind und somit nicht gleichzeitig Basisvektoren sein können. Aus den Tableaus III bis VIII geht jeweils hervor, dass gilt: a a bzw. a a. Ferner liefern die Tableaus III bis V sowie VI bis VIII jeweils dieselben Basislösungen (Dreifachlösungen). Somit eistieren insgesamt nur verschiedene Basislösungen. Dass es sich um Dreifachlösungen handelt, erkennt man etwa im Tableau III daran, dass die Basisvariable gleich ist. (Die Nicht-Basisvariablen sind ohnehin in der Basislösung gleich.) Beim Basistausch a a bzw. a a bleibt, und für die neue Basisvariable bzw. gilt auch wieder bzw., weil die Pivotzeile nur durch das Pivotelement dividiert wird. Somit kann auf die Berechnung der schattierten Tableaus IV bis VII verzichtet werden.
28 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8 b) Allgemeine Lösung III a a a b a a e k < min {m,n} Fall IV b) R L (.7) Bemerkung: Die allgemeine Lösung kann ebenso aus den Tableaus IV bis XI abgelesen werden (mit anderen frei wählbaren Nicht-Basisvariablen).
29 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 9. Darstellungsformen eines LP a) Elimination von aus dem LP Z: ( + ) + + min! N: V: b) Darstellung des LP Standardform: Z: ( ) ma! N: 8 V: Normalform: Z: ( ) ma! N: + S + S 8 V: S S
30 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite Kanonische Form mit Basisvariablen und : ) Z: ( ) ma! N: +,, S 6, +, S V: S S zulässige Basislösung: ( ) 6 S S ) Formale Berechnung d. Koeffizienten u. Kapazitäten: A b 8 B R B,,, R,,, B, b, 8 6
31 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Grafische Lösung eines LP Z N 8 N 6 N L N L L 6 8 Optimallösung von LP : L Z 9 Optimallösung von LP : eistiert nicht (unbeschränkte Zielfunktion), d.h. { } L Z
32 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Simple-Tableau und -Algorithmus a) Anfangstableau I - S S - -,, -, -, 6, - Es gilt: c~ j j Basislösung ist optimal c~ Optimallösung ist nicht eindeutig b) Basistausch (Simple-Algorithmus) II - S S ,, -, ---, -
33 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite Menge der optimalen Basislösungen:, 6 B Menge aller Optimallösungen: [ ] δ δ δ δ +, L R Menge aller ganzzahligen Optimallösungen: 6,, L Z minimaler Gesamtverschnitt: + Z 7 [cm]
34 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite c) Änderung der Zielfunktion neue Zielfunktion: Z' (+) + + min! modifiziertes Anfangstableau: I - S S - -,, -, -, 6,, -8 Simple-Iteration (wie oben): II - S S ,, -, ---,, -8 gleiche Optimallösung wie oben, jedoch Z ' + 8 [Bretter]
35 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Lineare Optimierung / -Phasen-SA a) Formulierung und Lösung des linearen Programms Hilfsprogramm in kanonischer Form: Z H : H ma! N H : S S 9 + S + H V H : j (j,,) Si (i,,) H Anfangstableau /. Phase (Hilfsprogramm): I S - S S H
36 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6. Phase (Lösung des ursprünglichen LP): II 8 8 S 9 S S III 8 S S 8 9 S,7 -,, -,,7, , -, IV 8 S S 8 9 S -,667,,67 -, -, -,67,, 8
37 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7 b) Interpretation des Endtableaus optimales Produktionsprogramm: [Stück] [Stück] [Stück] maimaler Erlös: Z. [ ] Schlupfvariablen: S S [Minuten] keine freien Kapazitäten S 8 [Stück] Übererfüllung der Lieferverpflichtung relative Bewertungskoeffizienten: c~ [ /Min.] Grenzerlös von Maschine A S c~ [ /Min.] Grenzerlös von Maschine B S c~ [ /Stück] Grenzkosten der Bestellung S c) Auswirkung zusätzlicher Kapazität auf den Gewinn Der Gewinn erhöht sich genau dann, wenn der Grenzerlös die Grenzkosten überschreitet. c~ S > 8 zusätzliche Kapazität von A sinnvoll c~ S < 8 zusätzliche Kapazität von B nicht sinnvoll
38 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8 6. Lineare Optimierung / -Phasen-SA a) Formulierung des linearen Programms LP in Normalform: Z: + + ma! N: S 7, +,7, + S ) S S S V: j (j,,) Si (i,,,,) ), ( + + )
39 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 9 b) Lösung des LP Da die Schlupfvariablen S und S sofort als Basisvariablen dienen können, werden nur Hilfsvariablen benötigt. Anfangstableau /. Phase (Hilfsprogramm): I S S S S S H H H -,,7 -, , II S S S - - S S H H,7 -, -, - - -,
40 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Phase (Fortsetzung): III S S S - S S H,7 -, - - -, -,, IV S S S S - S H -,, -, 7, -, -, -, -,, - 6,7,,67, , -, -, -,67
41 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Phase (Lösung des ursprünglichen LP): V S S S S S , VI S S S S S,77,77 -,88 -,88,,,6,6 -,9 -,9,77,77 -,8 8,8 9,, ,87 ---, 9,9-8,8 76
42 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite Endtableau: VII S S S S S,, -, -,,6,6,87,87,, -,7,7 6, 7
43 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite c) Interpretation des Endtableaus optimale zeitliche Verteilung der Werbespots: tagsüber: [Stück] abends: [Stück] nachts: [Stück] maimale Anzahl der Zuschauerkontakte: Z 7. [ Kontakte] Durchschnittskosten pro Zuschauerkontakte: K b Z 7 7. Euro Kontakte Euro Euro,68 6,8 Kontakte Kontakte Grenzkosten pro Zuschauerkontakte: c~ S 6, Kontakte Euro K' c~ S 6, Euro Kontakte Euro Euro,6 6, Kontakte Kontakte
44 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite d) Sensitivitätsanalyse Endtableau mit Parameteränderung δ: VII S S S +δ S S,, -, -,,6,6,87,87,, -,7,7, δ 6, +,87 δ +,7 δ 7 + δ optimal für... δ δ -866,7 δ -8,8 Optimalitätsbedingung: 8,8 δ Optimalitätsbereich des Bewertungskoeffizienten: [ 8,88 ; ] c [ Zuschauer] D.h. die obige zeitliche Verteilung der Fernsehspots ist optimal, wenn die Zuschauerzahl nachts zwischen 8.88 und. liegt.
45 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7. Duale lineare Programme Duales LP zum Standard-Maimum-Problem LP a) Dualproblem L P Z : y + 7 y + y + y min! N : y + y + y N : y + y + y V : y y y y b) Lösung von L P mit Hilfe der Dualitätssätze Für das primale LP gilt (vgl. Aufgabe ): > > S S S > S > Für das duale L P gilt... wegen Complementary Slackness (.): y S y S y y y y N N : : y y + + y y L wegen der starken Dualität (.): Z Z 9
46 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6 Duales LP zum Standard-Minimum-Problem LP a) Dualproblem L P Z : y + 7 y + y + y ma! N : y + y + y N : y + y + y V : y y y y b) Lösung von L P mit Hilfe der Dualitätssätze Für das primale LP gilt (vgl. Aufgabe ): Z ist unbeschränkt in L, d.h. { } Für das duale L P gilt... wegen schwacher Dualität (.): L {} L L. (keine zulässige Lösung) {}
47 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7 8. Dualität bei NS-Spielen / Dualer SA a) LP für den Spieler A in Standardform Z: ma! N: V: b) Anfangstableau für LP A I S S S , -,67 -,
48 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8 c) Lösung von LP A mit dualem Simple-Algorithmus Anfangstableau (s.o.): I S S S , -,67 -, Iterationen (dualer Simple-Algorithmus): II - - S - S S,, -7, -,,7 -,7 -, -, -,87,, -,,,, -, -,67 -,67 -, Möglichkeiten für die Wahl der Pivotspalte!
49 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 9 optimale Basislösungen: III - S S - - S,,67 -, -,, -, -,8,7,,7,7 ---,,,67,67 -, III' - S S - - S -,867, -, ,67 -,,,,,,9 ---,7,67,67 -,
50 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite Menge der optimalen Basislösungen von LP A : B A,7,,7,, / 6, 7 / 6 / 6 6 / 6 Menge aller Optimallösungen von LP A : δ / 6 L A ( δ ) / R δ (6+δ) / 6 [, ] optimaler Wert der Zielfunktion von LP A : Z A, Menge aller gemischten Minima-Strategien von A: δ / 8 P ( δ ) / R δ (6+δ) / 8 (.) [, ]
51 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite d) Lösung von LP B (vgl. Tableaus III und III') ) ) Die Optimallösung ist eindeutig, aber überbestimmt! (Degeneration) Menge aller Optimallösungen von LP B : L B B B,67 /,67 / optimaler Wert der Zielfunktion: Z B (.) Z, A Menge aller gemischten Minima-Strategien von B: (.) Q,, Wert des Nullsummen-Spiels: E (.6) p 7, [ ] / [ G, q ] D.h. das Spiel wäre fair, wenn Spieler A an Spieler B einen Ausgleichsbetrag von 7, zahlen würde.
52 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 9. Postoptimale Analysen a) Erhöhung des Absatzpreises c Erweitertes Endtableau (vgl. Aufgabe ): IV 8+δ S S 8 9 S -,667,,67 -, -, -,67,, δ δ ]-,] Parametrische Optimierung (primaler SA): V 8 S S 8+δ 9 S,667 -,,67 -,67 -,67,, δ +,67δ -,67δ +δ δ δ -9 δ 9 [,9]
53 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite Parametrische Optimierung (Fortsetzung): VI 8 9 S 8+δ S S,889,889 -,667,, -,, -, ,889δ +,δ - +,δ 6 +δ δ, δ -8 δ 9 [9, [ Ergebnis der parametrischen Optimierung: Tableau δ c Z IV V VI δ 6+δ
54 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite b) Kapazitätserweiterung beim Maschinentyp A Erweitertes Endtableau (vgl. Aufgabe ): IV 8 S S 8 9 S -,667,,67 -, -, -,67,, +,67δ 8-,δ -,δ δ -9 δ 7 δ 8 +δ [-9,7] Parametrische Optimierung (dualer SA): V S S S 8 8 9, -,,,67 -,67, -,667, ,67δ -,67δ --- δ 7 δ 86+δ [7,] < 8 optimale Zusatzkapazität: δ 7 [Minuten] Gewinnsteigerung: Δ Z 7 ( 8) [ ]
55 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite. Klassisches Transportproblem a) Formulierung des linearen Programms LP in Gleichungs-Schreibweise: Z: min! N: V: ij ( i, ; j,,,)
56 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 6 LP in Matri-Schreibweise: Z: ( )! min 6 N: 6 8 V: ( ) ( ) ' ' Die Koeffizientenmatri A ist singulär: r(a). (Für die Zeilen gilt: a ' + a ' a ' a ' a ' a 6 ' o'.)
57 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 7 b) Optimierung (MODI-Verfahren) Anfangslösung Die von L an die Kunden zu liefernden Einheiten werden ersatzweise von L geliefert. Damit werden die Bestände von L und L vollständig aufgebraucht. Transportmatri ( ij ) ( primale Basislösung): I K K K K v i L 8 L b j 6 8 Transportkosten: Z [ ] Opportunitätskostenmatri ( c~ ) ( duale Basislösung): ij I K K K K y i L L 6 - z j -
58 Prof. Dr. Ma C. Wewel Lösungen zu den Übungsaufgaben Management Science Seite 8 Iteration ( Stepping Stone ) Transportmatri ( ij ) ( primale Basislösung): II K K K K v i L 6 8 L b j 6 8 Transportkosten: Z [ ] Opportunitätskostenmatri ( c~ ) ( duale Basislösung): ij I K K K K y i L L 6 z j c~ ij > j eindeutig optimaler Transportplan
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