9. Tschebyscheff-Approximation: Numerik
|
|
- Nora Weiß
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 HJ Oberle Approximation WS 213/14 9 Tschebyscheff-Approximation: Numerik Der Remez Algorithmus Der meist verwendete Algorithmus zur Lösung von Approximationsaufgaben bezüglich der Tschebyscheff-Norm ist nach dem russischem Mathematiker Evgeny Yakovlevich Remez ( ) benannt Wir gehen wieder von der folgenden Standard-Situation aus: [a, b] R sei ein kompaktes Intervall, R := C[a, b] sei ausgestattet mit der Maximumsnorm, V sei ein (n + 1)-dimensionaler Haarscher Teilraum von R Ferner sei B [a, b] eine kompakte Teilmenge, die wenigstens (n+2) Punkte enthält Schließlich sei f C(B) Wir beginnen mit einer Vorüberlegung, die sich aus dem Beweis des Satzes von de la Vallee-Pouissin ergibt Es sei M = {t < < t n+1 } eine (n + 2) elementige Teilmenge von B, die als Schätzung für eine Alternante, vgl (819), zu interpretieren ist Die Bestapproximation von f bezüglich V auf M lässt sich dann folgendermaßen ermitteln a) Man bestimme λ,, λ n+1 aus dem homogenen linearen Gleichungssystem Skalierung: h (t ) h (t n+1 ) h n (t ) h n (t n+1 ) λ k = 1, λ > k= λ λ n+1 = (91) b) Man bestimme die Koeffizienten a k in der Darstellung p = a k h k sowie die Minimalabweichung µ aus den folgenden Bedingungen, vgl (819) und (825), f(t ) k= a k h k (t ) = µ sign λ, =,, n + 1 Dies als lineares Gleichungssystem geschrieben ergibt h (t ) h n (t ) sign λ a h (t 1 ) h n (t 1 ) sign λ 1 a n h (t n+1 ) h n (t n+1 ) sign λ n+1 µ = f(t ) f(t n ) f(t n+1 ) (92) 12
2 Das lineare Gleichungssystem (92) ist aufgrund der Voraussetzungen stets eindeutig lösbar (Übungsaufgabe) Ferner folgt aus dem Beweis zum Satz von de la Vallee- Pouissin, dass die λ k sämtlich von Null verschieden sind und im Vorzeichen alternieren - hierzu wird die Haarsche Bedingung für V als Teilmenge von C[a, b] benötigt Zusammen mit der Skalierung λ > ergibt sich somit sign λ = ( 1), =,, n + 1 (93) Damit lässt sich das lineare Gleichungssystem (92) ohne explizite Kenntnis der λ lösen, nämlich vermöge h (t ) h n (t ) 1 a f(t ) h (t 1 ) h n (t 1 ) 1 = (94) a n f(t n ) h (t n+1 ) h n (t n+1 ) ( 1) n+1 µ f(t n+1 ) Ablauf des Remez Algorithmus I Man arbeitet mit einer Schätzung M ν = {t (ν) < < t (ν) n+1} B für die Alternante Dabei bezeichnet ν den Iterationsindex, die Menge M ν heißt auch ν-te Referenz Man löst nun das lineare Gleichungssysten (94) und bestimmt damit a) die Bestapproximation p (ν) = b) die zugehörige Minimalabweichung µ = µ ν a (ν) h V von f auf M ν und Bemerkung (95) Man beachte auch (825) für die Konstruktion der Bestapproximation p (ν) mittels Interpolationstechniken II Im nächsten Schritt bestimmen wir den tatsächlichen Approximationsfehler in Bezug auf die Menge B δ ν := max{ (f p (ν) )(t) : t B} (96) Gilt µ ν = δ ν, so ist p (ν) nach (818) die gesuchte Bestapproximation Für die numerische Realisierung ersetzen wir diese Relation durch das Abbruchkriterium δ ν µ ν TOL µ ν (97) Dabei bezeichne TOL eine vorgegebene (relative) Toleranzschranke 13
3 III Iterationsschritt: Ist das obige Abbruchkriterium nicht erfüllt, so ist eine neue (bessere) Referenz M ν+1 zu bestimmen Wir verlangen dabei, dass die folgenden Konvergenz erzeugenden Bedingungen erfüllt sind (a) (f p (ν) )( ) µ ν,, (b) : (f p (ν) )( ) ( µ ν + δ ν )/2, (98) (c) sign[(f p (ν) )( )] = σ( 1), σ {±1} Im Folgende zeigen wir, dass sich aus diesen drei Eigenschaften tatsächlich die Konvergenz des Verfahrens folgt Satz (99) Unter der Annahme δ ν > µ ν folgt mit (98): µ ν+1 > µ ν Beweis: Für das maximale lineare Funktional l ν+1 V auf M ν+1 gilt µ ν+1 = l ν+1 (f) = = λ (ν+1) λ (ν+1) f( ) (f( ) p (ν) ( )) Da die λ (ν+1) nicht verschwinden und alternierendes Vorzeichen haben und nach (98) (c) auch die Fehlerfunktion e (ν) auf der neuen Referenz M ν+1 alterniert, ergibt sich µ ν+1 = λ (ν+1) f( ) p (ν) ( ) Wegen λ(ν+1) = 1 folgt nun mit (98) (a) und (b) µ ν+1 µ ν = λ (ν+1) ( f( ) p (ν) ( ) µ ν ) λ (ν+1) ( ( µ ν + δ ν )/2 µ ν ) = (1/2) λ (ν+1) ( δ ν µ ν ) > 14
4 Satz (91) Die zu einer beliebigen Referenz M = {t < t 1 < < t n+1 } B gemäß (91) bestimmten λ sind nicht nur sämtlich von Null verschieden und alternierend, sondern sogar gleichmäßig von Null weg beschränkt, dh zu edem c > existiert d = d(f) >, so dass für alle Referenzen M gilt Beweis: λ (M)f(t ) c : λ (M) d Würde die Behauptung nicht gelten, so gäbe es ein c > und eine Folge von Referenzen M ν = {t (ν) < < t (ν) n+1} B mit λ (ν) f(t (ν) ) c, ν, so dass für ein {,, n + 1} gilt λ (ν) (ν ) Da B kompakt ist und (ν) λ = 1 lassen sich konvergente Teilfolgen von (λ (ν) ) und (t (ν) ) finden mit t (ν) t, ν und λ (ν) λ, ν Dabei ist natürlich λ = Sei nun q V durch die Interpolationsbedingungen q(t ) = f(t ) für bestimmt Dann folgt λ (ν) f(t (ν) ) = λ (ν) (f q)(t (ν) ) λ (f q)(t ) = (ν ) Widerspruch zur Annahme λ (ν) f(t (ν) ) c > Satz (911) (Konvergenz des Remez-Algorithmus) Erfüllt eine Folge von Referenzen M ν = {t (ν) < < t (ν) n+1} B, ν N, die Konvergenz erzeugenden Bedingungen (98), so konvergieren die zugehörigen p (ν) V auf B gleichmäßig gegen die Bestapproximation p von f bezüglich V Diese Konvergenzaussage gilt unabhängig von der Startreferenz M Beweis: (i) Nach (99) wächst die Folge der µ ν streng monoton Daher folgt insbesondere λ (ν) f(t (ν) ) = µ ν µ 1 > Nach (91) und dem Beweis zu (99) folgt hiermit µ ν+1 µ ν 1 2 λ(ν+1) (δ ν µ ν ) d 2 (δ ν µ ν ), (912) 15
5 wobei oeda d ], 2[ gewählt werden kann Damit ergibt sich d V (f) µ ν+1 d V (f) µ ν d 2 (δ ν µ ν ) (1 d/2) [ d V (f) µ ν ] Mit q := (1 d/2) ], 1[ liefert die obige Abschätzung (d V (f) µ ν+1 ) q ν (d V (f) µ ) (ν ) und damit lim µ ν = d V (f) (913) k (ii) Aus (912) folgt analog zur obigen Abschätzung δ ν d V (f) 2 d ( µ ν+1 µ ν ) + µ ν d V (f) = 2 d ( µ ν+1 d V (f)) ( 2 d 1) ( µ ν d V (f)) ( 2 d 1) [ d V (f) µ ν ] Hieraus folgt: Es gibt eine Konstante C > mit f p (ν) d V (f) C q ν (914) (iii) Aufgrund der strikten Eindeutigkeit der Bestapproximation, vgl (815), gilt mit einem γ = γ(f) > für alle q V : f q f p + γ q p, wobei p die Bestapproximation von f aus V bezeichnet Setzt man q = p (ν), so folgt mit (914) γ p (ν) p f p (ν) f p C q ν Damit ist gezeigt p (ν) p C γ qν, mit < q < 1 Bemerkung (915) I Allg müssen die Referenzen M ν nicht notwendigerweise konvergieren; sie sind a i Allg auch nicht eindeutig bestimmt Aus Kompaktheitsgründen gibt es edoch stets eine Teilfolge der (M ν ), die gegen eine Alternante konvergiert Der kritische Punkt des Remez-Verfahrens ist es nunmehr, bei vorliegender Referenz M ν, ein Verfahren zur Konstruktion von M ν+1 anzugeben, so dass die Konvergenz 16
6 erzeugenden Eigenschaften (98) erfüllt sind Prinzipiell sind dabei zwei Verfahren in Gebrauch, die als Einzelaustausch bzw Simultanaustausch bezeichnet werden IV Einzelaustausch: Man bestimme einen Punkt τ [a, b] mit (f p (ν) )(τ) 1 2 (δ ν + µ ν ) Hierzu könnte man beispielsweise einen Punkt τ [a, b] bestimmen, an dem (f p (ν) ) näherungsweise maximal wird Dies könnte durch numerische Bestimmung einer Nullstelle der Ableitung (f p (ν) ) mittels Bisektion oder mittels Newton-Verfahren geschehen, oder (einfacher) durch Absuchen auf einem festen, feinen Gitter des Intervalls [a, b] Austauschregeln (916) (e ν := f p (ν) ) (a) Falls t (ν) +1 (b) Falls τ < t (ν) : < τ < t (ν) +1 : := τ, := τ, t(ν+1) := τ, := τ, (c) Falls τ > t (ν) n+1 : n+1 := τ, n+1 := τ, := t (ν) ( ), für sign e ν (t (ν) ) = sign e ν (τ), := t (ν) ( + 1), für sign e ν (t (ν) +1 ) = sign e ν(τ), := t (ν) ( ), für sign e ν (t (ν) ) = sign e ν (τ), := t (ν) 1 ( ), für sign e ν(t (ν) ) sign e ν (τ), := t (ν) ( n), für sign e ν (t (ν) n+1) = sign e ν (τ), := t (ν) +1 ( n), für sign e ν(t (ν) n+1) sign e ν (τ) Beispiel (917) Zu approximieren sei f(t) = sin t, t π/2 t durch ein gerades Polynom p(t) = a + a 1 t 2 + a 2 t 4 + a 3 t 6 In der folgenden Tabelle sind die Referenzen der ersten Iterationsschritte des Algorithmus angegeben 17
7 iter t t 1 t 2 t 3 t 4 1e + 25e + 75e + 1e e e + 25e + 75e + 1e e e + 25e + 75e e e e + 25e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e + 1 Für die Koeffizienten der Bestapproximation erhält die folgenden Näherungen a = 99999e+, a 1 = 16666e +, a 2 = 83132e 2 und a 3 = 18524e 3 Für die Minimalabweichung ergibt sich δ = 75439e 6 1 x x Startreferenz: e(x) = sin(x)/x p(x) Iterierte: e(x) = sin(x)/x p(x) 1 x x Iterierte: e(x) = sin(x)/x p(x) Iterierte: e(x) = sin(x)/x p(x) 18
8 1 x x Iterierte: e(x) = sin(x)/x p(x) Iterierte: e(x) = sin(x)/x p(x) Abb 91: Die ersten Iterationen des Remez-Algorithmus für Beispiel (917) V Simultanaustausch: Hierbei zerlegt man das Intervall [a, b] in mindestens (n + 2) Teilintervalle, in denen die aktuelle Fehlerfunktion e ν = f p (ν) abwechselnd nur nichtnegativ bzw nichtpositiv ist Man bestimmt dann näherungsweise die Maxima bzw Minima der Fehlerfunktion in diesen Teilintervallen und wählt hieraus (n + 2) Punkte als neue Referenz aus Eine Variante dieses Verfahren ergibt sich durch die Bestimmung der lokalen Maxima/Minima der Fehlerfunktion mittels des Newton-Verfahrens für die Ableitung e ν Als Startwerte wählt man die Punkte aus der Referenz M ν und iteriert wie folgt = a, n+1 = b, falls dieses bekannt ist, = t (ν) e ν(t (ν) ) e ν(t (ν) ), = 1,, n (918) Bemerkungen (919) Der Remez-Algorithmus mit Simultanaustausch ist i Allg schneller als der mit Einzelaustausch Allerdings ist die Technik zur Sicherung der globalen Konvergenz mühsamer Beim Einzelaustausch lassen sich zur Lösung des linearen Gleichungssystems (94) so genannte update Techniken verwenden Für den Remez-Algorithmus mit Simultanaustausch lässt sich unter gewissen Zusatzvoraussetzungen (ua die C 2 Eigenschaft von f, h ) die quadratische Konvergenz des Verfahrens zeigen, dh C > : [d V (f) µ ν+1 ] C [d V (f) µ ν ] 2 Die Wahl der Startreferenz M ist wegen der globalen Konvergenz i Allg nicht sehr kritisch; man kann M beispielsweise über eine L 2 Approximation zb eine Tschebyscheff Entwicklung erhalten 19
9 Das Newton Verfahren Als Alternative zum Remez Algorithmus bietet sich an, das nichtlineare Gleichungssystem (82) des Alternantensatzes mit einer geeigneten Variante des Newton- Verfahrens zu lösen Gehören etwa beide Randpunkte des Intervalls [a, b] zur Alternante (ein hinreichendes Kriterium gibt Satz (824) an), so liefert der Alternantensatz das folgende nichtlineare Gleichungssystem a h (t k ) f(t k ) + ( 1) k µ =, k =,, n + 1, a h (t k ) f (t k ) =, k = 1,, n (92) Dies sind (2 n + 2) Gleichungen in den (2 n + 2) Unbekannten (a,, a n, t 1,, t n, µ) Bezeichnet man mit e(t) := f(t) a h (t) wieder die Fehlerfunktion, so lautet die zugehörige Newton-Gleichung, dh das lineare Gleichungssystem zur Berechnung der Newton Korrekturen a, t k und µ: h (t k ) a e (t k ) t k + ( 1) k µ = e(t k ) ( 1) k µ, k =, 1,, n + 1 h (t k ) a e (t k ) t k = e (t k ), k = 1,, n Dabei ist t := t n+1 :=, a (ν+1) µ (ν+1) := µ (ν) + µ := a (ν) + a, k (921) := t (ν) k + t k und Schreibt man dieses lineare Gleichungssystem auf die Unbekannten a (ν+1), t k und µ (ν+1) um (dies sollte man nicht machen, wenn man Dämpfungsstrategien verwenden möchte), so ergibt sich mit t k = t (ν) k h (t k ) a (ν+1) e (t k ) t k + ( 1) k µ (ν+1) = f(t k ), k =, 1,, n + 1 h (t k ) a (ν+1) e (t k ) t k = f (t k ), k = 1,, n (922) Man vergleiche diese Relationen mit den entsprechenden Gleichungen (94) und (918) des Remez-Verfahrens Zusammenhang zur Linearen Optimierung Wir betrachten eine diskrete Approximationsaufgabe im Tschebyscheffschen Sinn Dazu sei B [a, b] eine endliche Menge, B = {t 1,, t m } mit #B = m > n
10 Wir können ferner davon ausgehen, dass i Allg m n gelten wird Wieder sei V = V n ein (n+1) dimensionaler linearer Teilraum von C(B) mit Basis (h,, h n ) Die Approximationsaufgabe lautet: Man bestimme (a,, a n ) R n+1, so dass minimal wird I(a,, a n ) := max{ f(t k ) a h (t k ) : k = 1,, m } (923) Diese Approximationsaufgabe lässt sich nun unmittelbar in eine lineare Optimierungsaufgabe transformieren Dazu definieren wir δ := max{ f(t k ) a h (t k ) : k = 1,, m } (924) (923) ist dann äquivalent zur linearen Optimierungsaufgabe: Bestimme (a,, a n, δ) R n+2, so dass J := δ minimal wird unter den Nebenbedingungen a h (t k ) δ f(t k ) a h (t k ) δ f(t k ), k = 1,, m (925) Um die Standardformulierung einer linearen Optimierungsaufgabe zu erhalten führen wir die folgenden Definitionen ein h (t 1 ) h n (t 1 ) 1 h A T := (t m ) h n (t m ) 1 h (t 1 ) h n (t 1 ) 1 R (2m,n+2) h (t m ) h n (t m ) 1 (926) b T := [f(t 1 ) f(t m ), f(t 1 ) f(t m )] R 2 m z T := [a a n, δ] R n+2 c T := [, 1] R n+2 Damit lautet die lineare Optimierungsaufgabe schließlich Maximiere J D (z) = c T z; Nebenbedingungen: A T z b (927) 111
11 Bemerkungen (928) Die obige Darstellung (927) heißt auch Dualform einer linearen Optimierungsaufgabe (vgl Numerik-Vorlesung bzw Opfer: Numerische Mathematik) Die Zielfunktion J D (z) ist auf der zulässigen Menge Z := {z : A T z b} nach oben beschränkt (durch δ = ) Ferner ist Z nichtleer, da eder Punkt z = (, δ) T mit δ f zulässig ist Nach der Theorie der linearen Optimierungsaufgaben (vgl JWerner: Numerische Mathematik 2; Satz 24) folgt hieraus, dass (927) wenigstens eine Lösung z besitzt Da iallg m n gelten wird, empfiehlt es sich nicht, die Ungleichungen A T z b durch Einführung von Schlupfvariablen in Gleichungen zu transformieren Vielmehr ist es i Allg vorteilhaft, anstelle des dualen Problems (927) das zugehörige primale Problem zu lösen (etwa mit dem Simplexverfahren) Das primale lineare Optimierungsproblem in Normalform lautet Minimiere J P (y) = b T y; Nebenbedingungen: A y = c, y (929) Dabei ist y R 2 m Schreibt man diese lineare Optimierungsaufgabe mittels der Definitionen (926) wieder explizit auf, so ergibt sich das primale Optimierungsproblem Minimiere J P (y) = m f(t k ) (y k y m+k ) (93) unter den Nebenbedingungen m h (t k ) (y k y m+k ) =, =,, n 2 m y k = 1, y k, k = 1,, 2 m (931) Bemerkungen (932) a) Die Normierung y k = 1 lässt sich abschwächen zu y k 1 Gilt nämlich für einen zulässigen Punkt y des relaxierten Problems y k < 1, so erhöhe man irgendein y k und das zugehörige y m+k um den gleichen Wert (1 y k )/2 > Der neue Vektor ỹ ist dann zulässig für (93) bei gleichem Wert der Zielfunktion b) Weiterhin lässt sich für das relaxierte lineare Optimierungsproblem durch den Übergang ( ) ( ) yk yk min{y k, y m+k } y m+k min{y k, y m+k } y m+k erreichen, dass die Komplementaritätsbedingung y k y m+k = erfüllt ist 112
12 Relaxiertes Primales Optimierungsproblem Minimiere J P (y) = m f(t k ) (y k y m+k ) (933) unter den Nebenbedingungen m h (t k ) (y k y m+k ) =, =,, n 2 m y k 1, y k y m+k =, k = 1,, m y k, k = 1,, 2 m (934) Ist y zulässiger Basisvektor des primalen Optimierungsproblems, so gibt es I = {k,, k n+1 } {1,, m} mit y k = y m+k = für alle k / I Unter Beachtung der Komplementaritätsbedingung sei nun Damit findet man λ i := y ki y m+ki, λ i = y ki + y m+ki, i =,, n + 1 J P = f(t ki ) λ i i= h (t ki ) λ i =, =,, n i= n+1 λ i = 1 i= (935) (936) Sei y nun optimale Basislösung, z = (a,, a n, δ) T sei Lösung des dualen Problems (927) Wegen des Dualitätssatzes, vgl Vorlesung über Numerik, gilt dann J D = J P = b T y = c T z Damit folgt = y T (b A T z) = + m y k [ f(t k ) a h (t k ) + δ ] m y m+k [ f(t k ) + a h (t k ) + δ ] 113
13 Hier sind alle Summanden nichtnegativ, so dass sich die folgenden Komplementaritätsbedingungen ergeben y k [ f(t k ) a h (t k ) + δ ] =, y m+k [ f(t k ) + a h (t k ) + δ ] = (937) Zusammen mit (935) und (936) folgt nun k / I y k = y m+k =, k i I, λ i > f(t ki ) k i I, λ i < f(t ki ) a h (t ki ) = δ, a h (t ki ) = δ Damit lässt sich (937) als ein lineares Gleichungssystem zur Berchnung von z = (a,, a n, δ) T ansehen Nach Herleitung ist dieses Gleichungssystem stets lösbar; die Eindeutigkeit der Lösung ist edoch nur für λ k, für alle k I, gewährleistet Wir fassen das Ergebnis zusammen Satz (938) a) p = a h ist genau dann Bestapproximation von f aus V auf B = {t 1,, t m }, wenn es Punkte t k < < t kr+1 B gibt, r n und λ i mit f(t ki ) a h (t ki ) = signλ i f p, i =,, r + 1, r+1 λ i h (t ki ) =, =,, n, i= r+1 λ i = 1 i= b) Ist y optimale Basislösung zu (929), so ist das lineare Gleichungssystem (937) für z = (a,, a n, δ) T lösbar Jede Lösung liefert eine Bestapproximation von f aus V auf B Bemerkung (939) Genügt V der Haarschen Bedingung, so ist ede (zulässige) Basislösung des primalen Problems nichtentartet, dh i =,, n + 1 : y ki Ferner lässt sich analog zum Beweis des Satzes von de la Vallee, Pouissin folgern, dass die λ i nicht verschwinden und alternieren 114
14 Beispiel (94) (aus J Werner: Numerische Mathematik 2) Zu minimieren sei max{ e t p(t ) : } über p Π 4 auf dem Gitter t = ( 1)/1, = 1,, 11 Das zugehörige (primale) lineare Optimierungsproblem hat die folgende Form unter den Nebenbedingungen Dabei ist A T := Minimiere J P = b T y, y R 22 Ay = c, y 1 t 1 t t 11 t t 1 t t 11 t b T := [e t 1 e t 11, e t 1 e t 11 ] R 2 m c T := [, 1] R 6 R (22,6) Die numerische Lösung des primalen Problems mit Hilfe der MATLAB Routine linprog ergibt eine optimale nichtentartete Basislösung mit den Basisindizes J B = (1, 5, 1, 13, 19, 22) Das zugehörige lineare Gleichungssystem (937) mit diesen Indizes liefert schließlich die Lösung a 5177, δ e x Fehlerfunktion e(t)
3 Nichtlineare Gleichungssysteme
3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )
MehrIterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
MehrNewton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme
Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
Mehr11. Folgen und Reihen.
- Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a
Mehr2. Stetige lineare Funktionale
-21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn
MehrNumerische Integration und Differentiation
Einführung Grundlagen Bemerkung (Numerische Mathematik) a) Im engeren Sinn: zahlenmäßige Auswertung mathematischer Zusammenhänge z B Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen Numerische
MehrWenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +
8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
Mehr(Technisch: Setze alle Skalarprodukte der allgemeinen Lösung mit den Basisvektoren des Kerns gleich Null eindeutige leastsqares Lösung)
Lineare Optimierung Unterbestimmte LGS und Optimierung Bei lösbaren unterbestimmten linearen Gleichungssystemen haben wir die Qual der Wahl in Abhängigkeit von den freien Parametern (Anzahl = Anzahl Unbekannte
Mehr17. Penalty- und Barriere-Methoden
H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende
MehrAnalysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
MehrKapitel 5. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298
Kapitel 5 Dualität Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 241 / 298 Inhalt 5 Dualität Dualitätssätze Zweiphasen-Simplexalgorithmus Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrKapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen
Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
Mehr3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)
3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände
MehrLineare Gleichungssysteme
Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
MehrMathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof Dr Patrizio Ne Frank Osterbrink Johannes Lankeit 9503 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8 Übung Hausaufgabe : Beweise den Satz über die Parallelogrammgleichung Sei H
MehrLineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
MehrStetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen
MehrÜbungen zur Vorlesung MATHEMATIK II
Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom
MehrDifferenzengleichungen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Differenzengleichungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführungsbeispiele 2. Definition 3. Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung (Wiederholung)
Mehr35 Stetige lineare Abbildungen
171 35 Stetige lineare Abbildungen Lernziele: Konzepte: Lineare Operatoren und ihre Normen Resultate: Abschätzungen für Matrizennormen Kompetenzen: Abschätzung von Operatornormen 35.1 Lineare Abbildungen.
Mehr8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R
8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.1 Konvergenz monotoner Folgen 8.2 Die Zahl e 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 8.5 Konvergenzkriterium
Mehr4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen
MehrKapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit
Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen
Mehr1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen
3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern
Mehr8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren
09.2.202 8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e - - 2 0 Die gesuchten
MehrSkript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen
Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte
MehrUniversität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla
Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Sätze über Konvexität von Kapitel 4.7 bis 4.10 Theorem 4.7-1. Sei U ein konvexer Unterraum eines normierten Vektorraums. Dann
Mehr8 Tangenten an Quadriken
8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung
MehrKLAUSUR zu Einführung in die Optimierung. Studiengang: Bachelor Master Diplom (bitte ankreuzen)
Mathematisches Institut WS 2012/13 der Heinrich-Heine-Universität 7.02.2013 Düsseldorf Prof. Dr. Achim Schädle KLAUSUR zu Einführung in die Optimierung Bitte folgende Angaben ergänzen und DEUTLICH LESBAR
MehrMathematik für Bauingenieure
Mathematik für Bauingenieure von Kerstin Rjasanowa 1. Auflage Mathematik für Bauingenieure Rjasanowa schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Hanser München 2006 Verlag C.H.
MehrFormale Sprachen. Spezialgebiet für Komplexe Systeme. Yimin Ge. 5ahdvn. 1 Grundlagen 1. 2 Formale Grammatiken 4. 3 Endliche Automaten 5.
Formale Sprachen Spezialgebiet für Komplexe Systeme Yimin Ge 5ahdvn Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 2 Formale Grammatien 4 Endliche Automaten 5 4 Reguläre Sprachen 9 5 Anwendungen bei Abzählproblemen
MehrEinführung in die Analysis
Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die Analysis Christian Schmeiser 1 Vorwort In dieser Vorlesung werden Grundbegriffe der Analysis wie Folgen und Reihen, Konvergenz und Vollständigkeit am Beispiel
MehrEin Beispiel für eine lineare Abbildung
Inhaltsverzeichnis Ein Beispiel für eine lineare Abbildung Lothar Melching Vorbemerkungen 2 Ein Beispiel 2 2 Definition der Abbildung f 2 22 Die Abbildungsmatrix 3 23 Anwendung 3 Eigenwerte 3 Die neue
Mehr4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92
Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene
MehrVorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker
Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme
Mehr3. Schnittebenenverfahren
3. Schnittebenenverfahren Themen 3. Schnittebenenverfahren Ganzzahlige lineare Programmierung Schnittebenenverfahren Konstruktion von Schnittebenen Auswahl von Schnittrestriktionen Operations Research
MehrFunktionsgrenzwerte, Stetigkeit
Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn
MehrÜbungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung
Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung Ein Uhrenhersteller möchte den Preis für sein neues Modell festlegen und führt dazu eine Marktanalyse durch. Das Ergebnis lautet: Bei einem Preis von 60 ist
MehrVertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Barbara Gentz SS 2013 Vertiefung NWI: 13. Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitstheorie Mittwoch, 10.7.2013 13. Markoffketten 13.1 Beispiele 1. Irrfahrt auf dem zweidimensionalen
MehrDualitätssätze der linearen Optimierung
Kapitel 9 Dualitätssätze der linearen Optimierung Definition 91 Duales lineares Programm Sei z = c T x min! Ax = b (91) x 0 mit c,x R n, b R m, A R m n ein lineares Programm Das lineare Programm z = b
MehrInhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31
Inhalt Vorwort... 5 1 Stammfunktionen... 7 1.1 Erklärung der Stammfunktionen........................................... 7 1.2 Eigenschaften der Stammfunktionen.................................... 10 1.3
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrNumerisches Lösen von Gleichungen
Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz:
MehrCaputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen
Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, 25.1.2001 Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory
Mehrx 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass
V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :
MehrAufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
Mehr4.7 Der Taylorsche Satz
288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise
MehrLineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung
Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2010 9. April 2010 Eine Maximumsaufgabe Eine Firma stellt aus
MehrLösungen zum 5. Aufgabenblatt
SS 2012, Lineare Algebra 1 Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com
MehrThema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;
MehrDifferentialgleichungen
Kapitel Differentialgleichungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 05/6 Differentialgleichungen / Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachstumsmodell treffen wir die folgenden Annahmen: () Erhöhung der
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Mehr2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
MehrAufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben Fachbereich Mathematik Vorkurs Mathematik WS 2012/13 Dies ist eine Sammlung von Aufgaben, die hauptsächlich Mittelstufenstoff wiederholen. Dabei
MehrMathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2
Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein
Mehr9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3
MAPLE_Mini_09_V1-0.doc 9-1 9 Gleichungen 9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3 Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung
Mehr3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen
KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an
MehrGleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume
Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Isabella Lukasewitz und Andreas Brack 07.06.2010 Vortrag zum Proseminar zur Analysis Konvergenz und Funktionenräume INHALTSVERZEICHNIS Bereits in den Vorlesungen
MehrApril (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
MehrElemente von S n = Aut([1, n]) heißen Permutationen. Spezielle Permutationen sind Transpositionen und Zyklen. (Vergl. Skript S
Begriffe Faser: Es sei f : M N eine Abbildung von Mengen. Es sei n N. Die Menge f 1 ({n}) M nennt man die Faser in n. (Skript Seite 119). Parallel: Zwei Vektoren v und w heißen parallel, wenn für einen
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
Mehr(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)
3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
Mehr3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.
Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrThema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen
Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.
MehrMathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1. Übungsblatt
Prof Dr M Gerdts Dr A Dreves J Michael Wintertrimester 216 Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1 Übungsblatt Aufgabe 1 : (Schwimmer Ein Schwimmer möchte einen Fluss der Breite b > überqueren,
Mehr3.4 Asymptotische Evaluierung von Sch atzer Konsistenz Konsistenz Definition 3.4.1: konsistente Folge von Sch atzer
3.4 Asymptotische Evaluierung von Schätzer 3.4.1 Konsistenz Bis jetzt haben wir Kriterien basierend auf endlichen Stichproben betrachtet. Konsistenz ist ein asymptotisches Kriterium (n ) und bezieht sich
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
MehrErzeugende Funktionen
Hallo! Erzeugende Funktionen sind ein Mittel um lineare Rekursionen schneller ausrechnen zu können. Es soll die Funktion nicht mehr als Rekursion angeschrieben werden, sondern so, dass man nur n einsetzen
Mehr4. Vektorräume und Gleichungssysteme
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume
Mehr4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen
7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,
Mehr3 Interpolation und Approximation
In dem ersten großen Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, wie eine Reihe von Daten (z.b. aus physikalischen Messungen, experimentelle Beobachtungen, Börse, etc.) durch eine möglichst einfache Funktion
MehrStetigkeit von Funktionen
9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrGewöhnliche Dierentialgleichungen
Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heio Hoffmann WS 2013/14 Höhere Mathemati I für die Fachrichtung Informati Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Aufgabe
MehrMathematik II für Inf und WInf
Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell
Mehrvon und deren Werte in liegen, dabei ist wie bisher immer entweder oder. Verallgemeinerungen, etwa auf Abbildungen
III Stetigkeit, Grenzwerte bei Funktionen Natura non facit saltus (Die Natur macht keine Sprünge), dieser Anspruch von Raoul Fournier (1627) galt lange bei der mathematischen Behandlung von Naturvorgängen
MehrThema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen
Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.
Mehr