Differenzengleichungen

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1 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Differenzengleichungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführungsbeispiele 2. Definition 3. Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung (Wiederholung) 4. Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung

2 Teil 1 Einführungsbeispiel

3 Vermögenswachstum gegeben: Anfangsvermögen V 0 Zinsrate p Konsumausgaben (pro Jahr) C gesucht: Vermögen V t im Jahr t für alle t = 1,2,... Lösung 1 (rekursiv, Differenzengleichung): V t+1 = (1 + p) V t C Lösung 2 (direkt): ( V t = (1 + p) t V 0 C ) p + C p

4 Normales Bevölkerungswachstum gegeben: Anfangsbevölkerung N 0 Geburtenrate α Sterberate β gesucht: Anzahl Individuen N t im Jahr t für alle t = 1,2,... Lösung (rekursiv, Differenzengleichung): N t = N t 1 Todesfälle + Geburten N t 1 + αn t 1 βn t 1 = N t 1 + } (α {{ β) } N t 1 =:r

5 Aufgabe 1: Wie lautet die direkte Lösung dieser Rekursion (Differenzengleichung)?

6 Beschränktes (Bevölkerungs)wachstum Modellansatz N t = N t 1 + R(N t 1 ) N t 1 Forderungen an R = R(N t 1 ) ( ) mit steigendem N t 1 (Überbevölkerung) soll R(N t 1 ) abnehmen ist ein Sättigungsgrad K erreicht (d.h. gilt N t 1 = K), so soll R(N t 1 ) = 0 gelten (Bevölkerung im Gleichgewicht) für N t 1 0 (Überbevölkerungseffekte nehmen ab) nähert sich die Wachstumsrate R(N t 1 ) einem festen Wert r, der unbeschränkten Wachstumsrate an lim R(N t 1) = R(0) = r N t 1 0

7 Die logistische Gleichung Ein einfaches Modell R(N t 1 ) = r K N t 1 + r = r ( 1 1 ) K N t 1 führt zur so genannten diskreten logistischen Differenzengleichung N t = N t 1 + r N t 1 (1 1 K N t 1 )

8 Aufgabe 2: Zeigen Sie, dass die Funktion R(N t 1 ) = r }{{} K N }{{ t 1 } x x +r = r die drei Forderungen ( ) erfüllt. ( 1 1 K N t 1 }{{} x ) Hinweis: Der Einfachheit halber schreiben wir x statt N t 1.

9 Teil 2 Definitionen

10 Eine Differenzengleichung gibt Gesetzmässigkeiten in der zeitlichen Entwicklung einer (unbekannten) Funktion y t an: Die Zeit wird dabei als diskret betrachtet (t = 0,1,2,...) d.h. y t wird nur an regelmässig aufeinanderfolgenden Zeitpunkten betrachtet. Bezeichnung: k statt t Die Differenzengleichung verk nupft die Werte der Funktion an zwei, drei oder mehr Zeitpunkten. y k = f(y k 1,y k 2,y k 3,...)

11 Beispiele: y k+1 = 3 y k 5 y k+2 + 5y k+1 7y k = 9 y k k(y k 1 ) 3 + y k 2 = 3 k sin(y k ) k y k 1 + ln(y k 4 ) = 3 k

12 Einteilung von Differenzengleichungen Die Ordnung Eine Differenzengleichung heisst von n-ter Ordnung wenn sie die unbekannte Funktion y k an (n + 1) aufeinanderfolgenden Zeitpunkten verknüpft, d.h. y k = f(y k 1,y k 2,...,y k n ) Beispiele: 1. Ordnung: y k = 3y k Ordnung: y k = y k 1 + y k 1 y k 2 3. Ordnung: y k = y k 1 y k 2 y k 3

13 Linear-Nichtlinear Eine lineare Differenzengleichung (mit konstanten Koeffizienten) ist von der Form y k = A y k 1 + B y k 2 + C y k 3... mit reellen Zahlen A,B,C,... Beispiele: Linear: y k = y k 1 + 6y k 2 Nichtlinear: y k = y k 1 y k 2 y k 3

14 Die Lösung einer Differenzengleichung 1. Die allgemeine Lösung einer Differenzengleichung ist die Menge aller Funktionen (Folgen), die die angegebene Gesetzmässigkeit erfüllt. Beispiel: Allgemeine Lösung von y k+1 = 2y k sind alle Folgen y k = C 2 k mit C R. 2. Die Lösung eines Anfangswertproblems (AWP) ist das Element aus der allgemeinen Lösung, das eine (oder zwei,...) Anfangsbedingung(en) erfüllt d.h. das Element, das zu einem festgelegten Zeitpunkt einen gegebenen Wert annimmt. Beispiel: Das AWP y k+1 = 2y k, y 0 = 3 hat die Lösung y k = 3 2 k.

15 Teil 3 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

16 Normalform einer linearen Differenzengleichung 1. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten) y k+1 = A y k + B mit reellen Zahlen A,B mit A 0. Allgemeine Lösung y k = A k y 0 + B 1 Ak A 1 1 A y 0 + Bk A = 1

17 oder auch y k = A k (y 0 y ) + y mit y = B 1 A, A 1

18 Untersuchung des Lösungsverhaltens Fall 1: A 1 und y k y = A k (y 0 y ) Fall y k y y k A > 0 y k y monoton A < 0 y k y alternierend y k monoton y k oszillierend A > 1 y k y = A k y 0 y y k lim A k = + explosiv A < 1 y k y = A k y 0 y y k lim A k = 0 gedämpft limy k = y

19 A 1 A explosiv monoton 1 0 gedämpft oszillierend 1 explosiv

20 Fall 2: A = 1 lim y k = lim (y 0 + Bk) k k = y 0 + B lim = k k { + B > 0 B < 0

21 Teil 4 Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

22 Eine Differenzengleichung der Gestalt y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = 0 heisst homogene, eine solche der Gestalt y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = r heisst inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten). Die reelle Zahl r heisst Störglied.

23 Teil 4.1 Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten) Lösung der homogenen Gleichung

24 y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = 0 Ansatz: y k = m k, m 0 Einsetzen: 0 = y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = m k+2 + a 1 m k+1 + a 2 m k = m 2 + a 1 m + a 2 m Lösung der charakteristischen Gleichung: m 1,2 = a 1 ± a 2 1 4a 2 2

25 Fall 1 a 2 1 4a 2 > 0 Die charakteristische Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen m 1 und m 2. y (1) k = m k 1 und y (2) k = m k 2 sind zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen Differenzengleichung. Allgemeine Lösung: y k = c 1 m k 1 + c 2 m k 2 Beispiel: y k+2 + y k+1 6y k = 0 y 0 = 1, y 1 = 7

26 Fall 2 a 2 1 4a 2 = 0 Die charakteristische Gleichung hat eine reelle Lösung m 1 = m 2 = m = a 1 2 und y (1) k = m k ist eine Lösung der homogenen Differenzengleichung. Behauptung: Auch y (2) k = k m k ist eine Lösung der homogenen Differenzengleichung. Allgemeine Lösung: y k = c 1 m k + c 2 k m k = (c 1 + c 2 k) m k Beispiel: 4y k+2 + 4y k+1 + y k = 0 y 0 = 1, y 1 = 0

27 Beweis der Behauptung: Sei y (2) k = k mk wobei m = a 1 2 die charakteristische Gleichung m 2 +a 1 m+a 2 m = 0 erfüllt. Dann gilt y (2) k+2 + a 1 y (2) k+1 + a 2 y (2) k = (k + 2) m k+2 + a 1 (k + 1) m k+1 + a 2 k m k = k m k m k+2 + a 1 k m k+1 + a 1 m k+1 +a 2 k m k = k m k (m 2 + a 1 m + a 2 m) }{{} = 0 =0 +m k+1 (2m + a 1 ) }{{} =0

28 Fall 3 a 2 1 4a 2 < 0 Die charakteristische Gleichung hat keine reelle Lösungen. Allgemeine Lösung: wobei y k = R k (c 1 sin(kφ) + c 2 cos(kφ)) R = a 2 cos(φ) = a 1 2 a 2, 0 φ < π Beispiel: y k+2 y k y k = 0 y 0 = 2, y 1 = 0

29 Teil 4.2 Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten) Lösung der inhomogenen Gleichung

30 Superpositionsprinzip Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = r ist gleich der Summe aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = 0 und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung: y k = c 1 y (1) k + c 2 y (2) k + y k y (1) k, y(2) k zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung yk eine Lösung der inhomogenen Gleichung

31 Bestimmung einer (speziellen) Lösung y k der inhomogenen Gleichung y k+2 + a 1 y k+1 + a 2 y k = r Fall 1: 1 + a 1 + a 2 0 Spezielle Lösung: yk = r = konstant 1 + a 1 + a 2 Fall 2: 1 + a 1 + a 2 = 0, a 1 2 Spezielle Lösung: y k = r 2 + a 1 k Fall 3: 1 + a 1 + a 2 = 0, a 1 = 2 Spezielle Lösung: y k = r 2 k2

32 Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden inhomogenen linearen Differenzengleichungen 2. Ordnung: y k+2 3 y k y k = 6 y k+2 + y k+1 2 y k = 12 y k+2 2 y k+1 + y k = 12 Bestimmen Sie eine spezielle Lösung jeder Differenzengleichung. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung jeder Differenzengleichung.