Systemanalyse und Modellbildung

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1 Systemanalyse und Modellbildung Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes(Lehrbeauftragter)

2 7. Zeitdiskrete Modelle 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Differenzengleichung und die numerische Lösung von Differentialgleichungen Iterative Gleichungen sind scheinbar leichter als Differentialgleichungen zu lösen, was in der Regel aber nicht zutrifft. Der primitivste Integrationsalgorithmus beruht auf der Idee, den kontinuierlichen Gang der Zeit durch endliche Intervallsprüngen der Größe Δt zu approximieren. Man definiert = + und führt eine sogenannte Differenzengleichung ein: =() () = ()

3 7. Zeitdiskrete Modelle 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Differenzengleichung und die numerische Lösung von Differentialgleichungen Wenn man nach () auflöst und zudem vom Ausgangswert mehrmals hintereinander ausgeht, erhält man: () = 1+ (). () = 1+ () Im Grenzfall ist 0. Mit dem Grenzwert lim 1+ = erhalten wir für = lim 1+ das Ergebnis: = () ()

4 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Lineare diskrete Modelle erster Ordnung Die inhomogene, lineare, zeitdiskrete Gleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form: () =+ Treten mehrere Terme auf, dann spricht von Gleichungen zweiter, dritter, usw. Ordnung. Wie sieht die lineare Differentialgleichung aus, die mit der zeitdiskreten linearen Differenzengleichung verwandt ist? Aus () =+ 1+ erhalten wir durch Division mit : () () =+ () =, = 1 Bekanntlich hat die Differentialgleichung den stationären Zustand = falls <0.

5 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Lineare diskrete Modelle erster Ordnung Die Differenzengleichung hat den stationären Zustand Beweis: Wird die Gleichung () =+ mehrfach hintereinander mit () ausgeführt, () =+ () =+ () =+ + = 1+ + () =+ () = = erkennt man die allgemeine Regel: () = + = lim () = 1, 1< <1

6 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Lineare diskrete Modelle erster Ordnung Mit der Formel zur Berechnung geometrischer Summen, = 1 1 folgt schließlich: 1 () = = Falls <1, verschwindet der zweite Term für, d.h. = lim () = 1

7 7.1 Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen Lineare, diskrete Modelle erster Ordnung: Mögliche Fälle Für kleine Werte oszilliert das System zwischen den Extremwerten hin und her.

8 7.1 Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen Lineare diskrete Modelle höherer Ordnung Zeitdiskrete Modelle höherer Ordnung, z.b. q-ter Ordnung, werden durch eine Iterationsgleichung beschrieben, in der q hintereinander liegende Parameterwerte (), (),, () zueinander in Beziehung gesetzt werden. Ist das System linear, kann man die Gleichung in folgende Form bringen: + () + () + + =0. Diese inhomogene Gleichung kann durch Wahl einer neuen Variablen: () = () +, =1,2, in eine homogene Gleichung umgewandelt werden.

9 7.1 Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen Lineare diskrete Modelle höherer Ordnung Falls 0ist und =, entsteht die obige Form bis auf den Term I, deren die Lösung die Angabe von q Anfangswerten voraussetzt. Für die Transformation () + () + + ( =0 ist die Funktion () =λ eine Lösung. Hier eingesetzt erhalten wir nämlich: λ + λ + + λ =0. Durch Division mit λ n erhält man die vom Iterationsschritt unabhängige, so genannte charakteristische Gleichung: λ + λ + + =0, Im Allgemeinen hat diese charakteristische Gleichung q (reelle oder komplexe) Lösungen λ =1,,.

10 7.1 Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen Lineare diskrete Modelle höherer Ordnung Die allgemeine Lösung der transformierten Differenzengleichung ist eine lineare Kombinationen aller λ j Potenzen: () = λ, wobei die A j aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Falls die Wurzeln der charakteristischen Gleichung reell sind, unterscheidet man zwischen zwei Fälle: a) Ist der Betrag aller λ j kleiner eins, konvergiert die transformierte Differenzengleichung gegen null für n. b) Ist eine Wurzel betragsmäßig größer 1, dann folgt V() ±.

11 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle Ob ein lineares Differenzenmodell einem stationären Zustand zustrebt, ist nicht einfach zu beantworten. Dennoch gibt es einfache Rezepte, um das Langzeitverhalten zu analysieren. Komplexer wird die Sache für den Fall nichtlinearer Modelle, so schon bei den hier betrachteten Modellen erster Ordnung: () = wobei die Funktion g eine logistische Wachstumsfunktion sei: = () (),,>0 Die Nullstellen dieser Funktion g sind offensichtlich Fixpunkte des Modells, für die gilt: () =.

12 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle Wir untersuchen wieder das Verhalten des Systems beim Fixpunkt, indem eine neue diskrete Variable eingeführt wird: () = () Mit ihr erhält die Differenzgleichung die Form: () = = + () Falls die Abweichung vom Fixpunkt ( () ) sehr klein ist, kann man g in eine Taylor-Reihe entwickeln und nach dem linearen Term abbrechen: + () = + () +

13 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Fortsetzung) Da ein Fixpunkt ist, ist definitionsgemäß =0. Wir erhalten eine lineare Differenzengleichung für () bzw. hierfür eine einfache Umformung: () =. = 1+ = ()

14 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Fortsetzung) Die Gleichung konvergiert gegen den Fixpunkt, wenn gilt: = 1+ <1.0> Der Fixpunkt ist jedoch instabil, wenn gilt: >1 > 2

15 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Beispiel logistisches Wachstumsmodell) Die Modellfunktion = () (),,>0hat die Ableitung: = 2 + Für die beiden Fixpunkte ergibt sich: =+, =,,>0 Solange bk< 2 ist der zweite Fixpunkt stabil, während der erste Fixpunkt immer instabil ist.

16 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Beispiel logistisches Wachstumsmodell) Zur Diskussion wird die neue Variable = eingeführt, womit sich die transformierte Gleichung ergibt: = 1, 1+ Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel x=1/2, welche die x-achse bei x=0 und x=1 schneidet. Das Modell hat dann ein Gleichgewicht erreicht, wenn gilt: = = 1 Hieraus ergibt sich neben der trivialen Lösung =0 die Lösung: = -.

17 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Beispiel logistisches Wachstumsmodell) Grafisch erhält man die Lösung als Schnittpunkt der Parabel mit der Geraden y=x. Die folgende Abbildung suggeriert, dass sich das System notwendigerweise auf den Fixpunkt zubewegt. Das ist aber nicht der Fall. Für µ=3.2 endet das System oszillierend zwischen den zwei Werten. Wenn wir jedoch nur jeden zweiten Wert betrachten, erreichen diese Folgen wiederum einen Fixpunkt. In diesem Fall müssen wir aus der Iterationsgleichung eine neue Vorschrift konstruieren, welche uns von x (n) nach x (n+2) bringt und den Zwischenschritt x (n+1) überspringt.

18 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Beispiel logistisches Wachstumsmodell) Diese Doppelsprungfunktion erhält man aus, indem man = 1 in die Funktion = 1 einsetzt: = Die stationären Lösungen dieses Polynom vierten Grades ergeben sich wieder aus der Gleichung = bzw. grafisch aus dem Schnittpunkt von = mit der Geraden y=x. Die Punkte, wo eine Verdopplung auftritt, nennt man Bifurkationspunkte. Um weitere Bifurkationspunkte zu erhalten, untersucht man Viersprung- oder höhere Sprungfunktionen.

19 7.1 Zeitdiskrete Modell mit einer Variablen Nichtlineare Modelle (Beispiel logistisches Wachstumsmodell) Um weitere Bifurkationspunkte zu erhalten, untersucht man Viersprung- oder höhere Sprungfunktionen. Oberhalb =3,8284treten Situationen ohne periodische Lösungen auf, welche als deterministisches Chaos bezeichnet werden.

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24 7.2 Zeitdiskrete Modell mit mehreren Variablen Lineare Modelle Ein q-dimensionales lineares Differenzenmodell hat die algebraische Form: () = + (), =1,,. Als Matrixform, wobei Peine (q, q) Matrix und (), () q-dimensionale Vektoren sind: () =+ () Formell kann man die analoge Lösung erhalten aus: () = +

25 7.2 Zeitdiskrete Modell mit mehreren Variablen Lineare Modelle Die Berechnung von Potenzen von Matrizen sind jedoch äußerst kompliziert. Nur wenn die Matrix P eine diagonale Form hat, zerfällt das ursprüngliche Gleichungssystem in q disjunkte Gleichungen, welche isoliert, d.h. unabhängig voneinander gelöst werden können. Systeme mit zwei Variable sind noch gut zu bearbeiten (siehe S.183ff).