f(t) = a 2 + darstellen lasst Periodische Funktionen.

Transkript

1 7. Fourier-Reihen Viele Prozesse der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlaufen periodisch oder annahernd periodisch, wie die Schwingungen einer Saite, Spannungs- und Stromverlaufe in Wechselstromkreisen oder auch die Planetenbewegungen. Eine wesentliche Eigenschaft solcher Prozesse ist, dass sich jede\ periodische Funktion als eine Uberlagerung (Superposition) von Grundschwingungen sin ωt und cos ωt " und dazugehorigen Oberschwingungen sin(k ω t) und cos(k ω t), k =, 3,..., in der Form einer sogenannten Fourier-Reihe f(t) = a + (a k cos(k ω t) + b k sin(k ω t)) darstellen lasst. 7.. Periodische Funktionen. Definition 7.8. Eine Funktion f : R R (oder auch f : R C) heit periodisch mit der Periode T (oder auch T-periodisch), falls fur alle t R gilt f(t + T ) = f(t). Beispiel sin t, cos t, e it = cos t + i sin t, a k cos(kt) + b k sin(kt) sind alle periodische Funktionen. T Periodische Funktion mit Periode T Bemerkung 7.8. () Sind f(t) und g(t) T -periodisch, so ist auch αf(t) + βg(t) T -periodisch. () Ist f(t) eine T -periodische Funktion, so wird diese durch die Substitution x := T t in eine -periodische Funktion ( ) T f(x) := f x, x R,

2 transformiert. (3) Ist f(t) T -periodisch und integrierbar, so gilt fur beliebige a R : f(t) dt = +a a f(t) dt. T T T a T T+a b T+b Periodische Funktion mit Periode T Ist eine Funktion nur auf einem Intervall [, T ] oder [, T ] gegeben, so kann man die Funktion auf verschiedene Art und Weise auf ganz R fortsetzen. () Direkte Fortsetzung. Es sei g(t) auf [, T ] erklart. Dann ist f(t) := g(t kt ) fur kt t < (k + )T, eine auf ganz R erklarte periodische Funktion. -T T T Direkte Forsetzung einer Funktion zu einer periodischen Funktion () Gerade Fortsetzung. Es sei g(t) auf [, T ] vorgegeben. Um eine gerade Fortsetzung zu erhalten, wird g(t) zunachst an der y-achse gespiegelt. g(t) := g( t) fur T t <.

3 7. FOURIER-REIHEN 3 Auf diese Weise erhalt man eine auf [ T, T ] erklarte Funktion, die nun gema () auf ganz R fortgesetzt wird: f(t) := g(t kt ) fur ( k ) T t < ( k + ) T, k Z. -T/ T/ Gerade Fortsetzung einer Funktion (3) Ungerade Fortsetzung. Es sei g(t) wiederum auf [, T ] vorgeben. Zunachst wird g(t) am Ursprung gespiegelt: g(t) := g( t) fur T t <. Die damit auf [ T, T ] erklarte Funktion wird nun auf ganz R fortgesetzt: ( ) ( ) k k + f(t) := g(t kt ) fur T t < T, k Z. -T/ T/ Ungerade Fortsetzung einer Funktion zu einer periodischen Funktion. Bemerkung 7.9. Bei der ungeraden Fortsetzung erhalt man eine in x = stetige ungerade Funktion nur, wenn bereits g() = gilt, da g() = g( ) = g() impliziert, dass g() = ist.

4 4 7.. Fourier-Reihen. Definition 7.9. Eine Reihe der Form f(t) = a + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = k= c k e i k ω t mit a k, b k, c k R oder C heit trigonometrische Reihe. Dabei sei ω = >. T Die zugehorigen Partialsummen f n (t) = a n n + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = c k e i k ω t heien trigonometrische Polynome. k= n Durch Umformung erhalt man fur die Partialsummen: f n (t) = a n + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = a n [ + ak = a + n [ ak ib k e ikωt + a ] k + ib k e ikωt = n k= n ( e ikωt + e ikωt) + b k ( e ikωt e ikωt)] i γ k e ikωt. Folglich gilt fur k =,,,... c = a, c k = (a k ib k ), c k = (a k + ib k ), a = c, a k = c k + c k, b k = i(c k c k ). Man beachte, dass damit noch nichts uber die Konvergenz der Reihe ausgesagt wird!! Definition 7.. Eine Funktion f : [a, b] C heit stückweise stetig bzw. stückweise stetig differenzierbar, falls f(t) bis auf endlich viele Stellen t < t <... < t m in [a, b] stetig bzw. stetig dierenzierbar ist und in den Ausnahmepunkten die einseitigen Grenzwerte von f(t) bzw. f(t) und f (t) existieren. (Es sind Sprungstellen erlaubt, aber keine Polstellen.)

5 7. FOURIER-REIHEN 5 Definition 7.. Fourier-Reihe. () Fur eine stuckweise stetige Funktion f : [, T ] C werden die Fourier-Koeffizienten von f(t) deniert durch c k := T a k := T f(t) e ikωt dt, k Z, bzw. (7) f(t) cos(kωt) dt, b k := T f(t) sin(kωt) dt, k N. (8) () Die mit den obigen Koezienten gebildete Reihe F f (t) = a + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = c k e i k ω t heit Fourier-Reihe von f(t). k= Dabei ist ω = T die Kreisfrequenz. Beispiel Sägezahlfunktion. {, t =, t =, S(t) := ( t), < t <. Anschlieend wird S(t) periodisch fortgesetzt. Da S(t) eine ungerade Funktion ist, gilt und a k := ( t) cos(kt) dt = (gilt immer fur ungerade Funktionen) b k := ( t) sin(kt) dt = ( t) sin(kt) dt = sin(kt) dt = k cos(kt) t sin(kt) dt t k cos(kt) + cos(kt) dt k }{{} = k cos(k) + k + k cos(k) + = k Damit ist F S (t) = sin(kt) k.

6 6 Der am haugsten auftretende Fall ist der einer -periodischen Funktion, die typischer Weise auf dem Intervall [, ] vergeben ist. In diesem Fall sind Symmetrieeigenschaften besonders einfach zu berucksichtigen. (Wie man leicht nachvollzieht gelten vollig analoge Formeln fur l-periodische Funktionen, die auf [ l, l] vorgegeben sind. Lemma 7.. () Fur eine stuckweise stetige, -periodische Funktion f : [, ] C werden die Fourier-Koeffizienten von f(t) deniert durch a k := f(t) cos(kt) dt, b k := f(t) sin(kt) dt, k N. (9) () Die mit den obigen Koezienten gebildete Reihe F f (t) = a + [a k cos(kt) + b k sin(kt)] ist die Fourier-Reihe von f(t). Weitere Eigenschaften: Lemma 7.. () Ist f(t) eine gerade -periodische Funktion, f( t) = f(t), so ist f(t) = a + a k cos(kt), a k = f(t) cos(kt) dt, k =,,,.... Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion ist eine reine Kosinus-Reihe. () Ist f(t) eine ungerade -periodische Funktion, f( t) = f(t), so ist f(t) = b k sin(kt), b k = f(t) sin(kt) dt, k =,,.... Die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion ist eine reine Sinus-Reihe. Beispiel Es sei f(t) = t, t, mit -periodischer Fortsetzung. Die Funktion f(t) ist gerade; damit folgt b k = f(t) sin(kt) dt = (gilt immer fur gerade Funktionen) und

7 a k = f(t) cos(kt) dt = t cos(kt) dt = [ k t sin(kt) ] sin(kt) t dt k = [ t k cos(kt) k Fur k = erhalt man Da f(t) auf R stetig ist, gilt f(t) = FOURIER-REIHEN 7 ] cos(kt) dt = ( )k 4, fur k, k t dt = 3 3 = 3. ( ) k 4 k cos(kt) fur alle t R. Bemerkung 7.. Mit Hilfe der Fourierreihe der Funktion f(t) = t kann man die Summe der harmonischen und der alternierenden harmonischen Reihe bestimmen: Fur t = ergibt sich: f(t) = t = = 3 + = Fur t = dagegen ist zunachst cos(k) = { ( ) k 4 k cos = 3 + ( ) k+ ( ) k 4 k k = ±..., k = n, k = n + = ( )k und damit f(t) = t = = 3 + ( ) k 4 k cos(k) = = ( ) k 4 k ( ) k = k k =

8 8 Rechenregeln. Sei f(t) eine stuckweise stetige, T -periodische, gerade Funktion, dann gilt a k = 4 f(t) cos(kωt) dt, b k =. T Sei f(t) eine stuckweise stetige, T -periodische, ungerade Funktion, dann gilt a k =, b k = 4 f(t) sin(kωt) dt. T Ableitung: Ist f(t) stetig und stuckweise stetig dierenzierbar, so gilt: f (t) (ikωc k )e ikωt = (kω)(b k cos(kωt) a k sin(kωt)). k= Integration. Gilt a = c = t f(τ) dτ T T f(t) dt =, so gilt: t f(t) dt [ bk kω cos(kωt) a ] k kω sin(kωt). (Berechnung der Koezienten nach Formel (7) mittels partieller Integration, wobei u(t) = t f(τ) dτ und v (t) = e ikωt ist. Was passiert an den Unstetigkeitsstellen von f(t)?? Beispiel 7.4. Rechteckschwingung., t =, t =, t =, R(t) =, < t <,, < t < Wiederum ist R(t) eine ungerade Funktion und somit Man erhalt also a k =, k =,,,..., und b k = {, k gerade, sin(kt) dt = 4, k ungerade. k R(t) 4 ( sin t + sin(3t) + sin(5t) ) Die Reihensumme fur t = k, k Z, ist oensichtlich Null!

9 7. FOURIER-REIHEN 9 Was hat die Fourier-Reihe mit der Funktion zu tun?? Satz 7.5. Konvergenzsatz. Sei f : R C T -periodisch und stuckweise stetig dierenzierbar. Dann gelten folgende Konvergenzaussagen f ur die zugehorige Fourier-Reihe: F f (t) = a + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)]. () Die Reihe konvergiert punktweise fur alle t R und es gilt { f(t), f ist stetig in t, F f (t) = (f(t + ) + f(t )), f ist unstetig in t. () In allen beschrankten und abgeschlossenen Intervallen [a, b], in denen f(t) stetig ist, ist die Konvergenz gleichmaig. (3) In allen Unstetigkeitsstellen uberschwingen die Partialsummen S n (t) = a n + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] fur groe n den Sprung um ca. 7,89 %. (Gibbs-Phänomen) Im Beispiel der Sagezahnfunktion sieht man gut, dass an den Sprungstellen, in diesem Fall s = k, k Z, die wahren Funktionswerte uber- bzw. unterschwungen werden: y x

10 3 Anstelle eines allgemeinen Beweises fur das Gibbs-Phanomen betrachten wir die Aussagen nur fur das Beispiel der Sagezahn-Funktion (siehe auch Beispiel 7.38): {, t =, t =, sin(kt) S(t) := ( t), < t <. mit F S (t) =. k zu. Oensichtlich gilt fur t = k, dass F S (k) = = (S(k ) + S(k + )) ist. Fur < t < folgt aus ) ] t durch Integration R n (t) := S n (t) S(t) = = t + cos t + cos(t) cos(nt) = sin [( n + sin t n sin(kt) k ( t) = sin(t) (t ) + sin t sin(nt) n + cos τ + cos(τ) cos(nτ) dτ = t sin [( ) ] n + τ sin τ dτ partielle Integration mit u = sin τ und v = sin [( ) ] n + τ = cos [( ) ] n + t (n + ) sin t + t cos [( ( ) ) ] n + d τ n + dτ sin τ dτ Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung auf das verbleibende Integral = cos [( ) ] n + t (n + ) sin t + cos [( ) n + ] t t ( ) d n + dτ sin τ dτ = cos [( ) ] n + t (n + ) sin t + cos [( ) n + ] ( ) t n + sin t, und somit (fur t [, ] liegt t in [, ] und es gilt sin t ). R n (t) (n + ) sin t. Fur festes t (, ) ergibt sich damit die Konvergenz: lim n R n (t) =. zu. Die Konvergenz ist auf jedem Intervall [ε, ε], ε >, auch gleichmaig, da dort gilt sin t sin ε >. zu 3. Fur den Fehler gilt nach obigem: d dt R n(t) = sin [( ) ] n + t sin t.

11 Die erste positive Maximalstelle von R n (t) ist daher t n = R n (t n ) := = n tn sin(kt n ) k sin [( n + sin τ 7. FOURIER-REIHEN 3 ( t n) = + tn n+ + sin t + sin(t) ) ] τ dτ = sin u ( (n + ) sin und damit u (n+) sin(nt) n ) du = sin u u sin u u ( ) u sin (n+) u (n+) du du = Si () fur < u < ist, 789 ( sin u (n+) ) < u (n+) : mit dem Integralsinus Si (x). Diese Ungleichung wird fur n zur Gleichung und damit gilt lim n t n = und Weitere Eigenschaften: lim n S n(t n ) S() =, 789 S(+) S(). # () Eindeutigkeit. Haben zwei -periodische, stuckweise stetige Funktionen dieselben Fourier-Koezienten und erfullen beide die Mittelwerteigenschaft: so sind sie identisch. f(t) = (f(t ) + f(t + )) fur alle t, () Parsevalsche Gleichung. Es gilt a + ( a k + b k ) = k= c k = Hieraus folgt insbesondere, das Riemann-Lemma Bemerkung 7.. lim a k = lim b k = lim c k = lim c k =. k k k k f(t) dt. () Die Koezienten a k bzw. b k geben an mit welcher " Starke\ die Grundschwingungen cos kω bzw. sin kω mit der Frequenz kω an einer Schwingung (Signal) beteiligt sind. () Das Riemann-Lemma besagt, dass Grundschwingungen mit hoher Frequenz wenig zur Gesamtschwingung (Signal) beitragen, deshalb gen ugt es naherungsweise endliche Summen zu betrachten.

12 3 Bemerkung 7.. Nur periodische Funktionen gestatten eine Entwicklung in eine Fourier-Reihe. Nicht periodische Funktionen lassen sich aber auch als Uberlagerung von harmonischen Schwingungen darstellen. Dies geschieht mit Hilfe der Fourier-Transformation: ˆf(ω) = e iωt f(t) dt Im Gegensatz zur Fourier-Reihe einer periodischen Funktion f stellt das Integral ˆf(ω) eine " kontinuierliche\ Uberlagerung von harmonischen Schwingungen e iωt = cos(ωt) + i sin(ωt) dar. In diesem Sinne besitzt eine periodische Funktion ein diskretes Spektrum, eine nicht periodische (aperiodische) Funktion dagegen ein kontinuierliches Spektrum Diskrete Fourier-Transformation. Fourierreihen eignen sich im besonderen zur Untersuchung von Signalen. Messen kann man aber nur an diskreten Stellen und deshalb wird ein Signal nicht als f(t) aufgenommen sondern als f(t k ) zu diskreten Zeiten t k = k t, k =,,..., n. Ist die diskrete Funktion f(t k ) noch periodisch und fallen in eine Periode T genau N Funktionswerte (T = N t), so wird die diskrete Funktion eindeutig durch die Werte beschrieben. y := f(), y := f( t),..., y N := f((n ) t) Δt.. Die Funktion f(t)=+sin(3t)+cos(t) ist -periodisch, die diskrete Funktion f(t k ), t k = kδt, k=,,,..., N-, ist auch -periodisch und deshalb durch die blauen Werte in eindeutiger Weise beschrieben. Da die Periode T nicht explizit auftritt und auf die Fourierkoezienten einer Funktion keinen Einuss hat, setzt man T = und bezeichnet als Fourierkoezienten c k := N N j= y j e kj N, k =,,,..., N.

13 Schreibt man abkurzend 7. FOURIER-REIHEN 33 w := e i N fur die erste N-te Einheitswurzel, so gilt c k = N N j= y j w kj, k =,,,..., N. Fasst man die y j im Vektor y, die Fourierkoezienten im Vektor c zusammen, so gilt c = N W n y bzw. y = W n c mit W n :=... w... w n w n... w (n )