Fourierreihen und -transformation
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- Klaudia Gerstle
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1 Kapitel Fourierreihen und -transformation. Fourierreihen 8 postulierte Fourier (ohne stichhaltige Beweise: Jede beliebige Funktion f(x mit Periode, d. h. f(x = f(x +, lässt sich in eine Reihe der Gestalt f(x = a + ( a n cos nx + b n sin nx entwickeln, wo a n = b n = n= f(x cos nx dx n =,,,... f(x sin nx dx n =,,... Analog gilt (siehe Übungen wo f(x = c n = n= c n e in x f(x e in x dx Beweise zu Fouriers Postulat unter welchen Voraussetzungen die Reihe in welchem Sinne konvergiert: Mitte 9. Jhd.: Dirichlet, Riemann Anfang.Jhd.: ebesgue, Riesz, Fischer Beispiel. ( π x f(x = x [, ]
2 π 4 π Abbildung.: f(x = ( π x Offensichtlich gilt f( = f( = π 4 Für n ist a n = b n =... = ( π x cos nxdx =... = n und Damit a = ( π x f(x?!? = π + dx =... = π 6 n= cos nx n Wollen folgenden Satz beweisen: Satz. Sei f(x -periodisch, stetig und stetig differenzierbar. Dann konvergiert die Fourierreihe f N (x = N n= N c ne inx gleichmäßig gegen f (o. B. d. A. =. Beweis in zwei Schritten:. Fourierreihe konvergiert gleichmäßig. Für festes x [, ] konvergiert Fourierreihe punktweise gegen f. Einige Hilfsüberlegungen: wo c R und f(x = f(x +. c+ f(xdx! = c f(xdx f(xdx + wo y = x gesetzt wurde. c+ f(xdx = c f(y + dx = c c f(ydy = c f(xdx
3 Bessel sche Ungleichung c n n= f(x dx (. Beweis. Im folgenden ist c n das komplex Konjugierte von c n. n= = = c n dx ( f dxf(x dxf(x f(x dx n= N n= N n= N N c n e (f inx m= N c n f(xe inx dx c n c n m= N c m c m + c m e imx m= N n= N m= N c m f(xe inx dx + c n c m δ nm n= N m= N c n c m e i(n Riemann-ebesgue emma Beweis. Da muss c n Nullfolge sein! n= lim c n = (. n c n f(x dx < Cauchy-Schwarz sche Ungleichung a n b n N a n N b n (.3 n= n= n= Nun wollen wir zeigen, dass die Fourierreihe gleichmäßig konvergiert, d. h. für alle ɛ existiert ein N unabhängig von x [, ], sodass N, N > N, wo N < N f N (x f N (x < ɛ x [, ] Beweis. Zunächst zeigen wir N N f N (x f N (x = c n e inx + + c n e inx n= N n= N n= N n=n+ = c n e inx N+ n N c n (.4 N+ n N 3
4 Da laut Voraussetzung f stetig differenzierbar ist, können wir die Fourierkoeffizienten d n := f (xe inx dx von f betrachten. Es gilt die Ableitungsformel d n = inc n (.5 Beweis. Partielle Integration ergibt d n = f (xe inx dx = f(xe inx ( in f(xe inx dx = + inc n wobei der erste Term aufgrund der Periodizität verschwindet. Nun setzen wir die Ableitungsformel (.5 in (.4 ein, wenden die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (.3 an und erhalten die erste Zeile der folgenden Ungleichungskette: f N (x f N (x N+ n N N+ n n d n n const N const N N+ n N+ n N n d n N+ n N d n const (f (x dx N Weiters haben wir in der zweiten Zeile die Bessel sche Ungleichung (. für f (x sowie die folgende Überlegung verwendet: N+ n n = n=n+ n < dx N+ (x = x = N+ N Wir zeigen nun, dass für festes x [, ] lim (f N(x f(x = N Definition. Dirichlet-Klassen Bemerkung. Sei x Z. Dann ist D N (x = n N e inx D N (x = D N (x + D N (x = = N + n N 4
5 Nun sei x / Z. Dann gilt unter Verwendung der Summenformel für die geometrische Reihe und mit dem Satz von Hospital inx ei(n+x D N (x = e e ix = ei(n+x e inx e ix = eπix e πix eiπ(n+x e iπ(n+x e iπx e iπx = sin π(n + x sin πx D N (x = sin π(n + x sin πx x [, ] Weiters f N (x = c n e inx = = n N n N dyf(yd N (x y = dyf(ye iny e inx x dy f(x + y D N (y = / x / dyf(x + yd N (y wo y = y x. In der letzten Gleichung wurde die Periodizität des Integranden benutzt (y y +. f N (x f(x = = / / / / Dabei ist der erste Faktor des Integranden stetig in [, ]. dy{f(x + y f(x}d N (y f(x + y f(x dy sin π(n + y sin πy Schließlich gilt, unter Benutzung des Riemann-ebesgue-emmas (. Weitere Verallgemeinerung: lim (f N(x f(x = N Satz. Sei f stetig bis auf endlich viele Unstetigkeitsstellen, die nur Sprungstellen sein sollen. Bis auf die Sprungstellenn und weitere endlich viele Knicke sei f stetig differenzierbar und es sollen überall inksund Rechtsableitungen existieren. Dann. konvergiert f n (x f(x gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Intervall, das keine Sprungstelle enthält.. konvergiert f n (x um die Sprungstelle x gegen (f(x + + f(x den Mittelwert von lim x x f(x =: f(x + und lim x x f(x =: f(x. Bemerkung.. Abgesehen von Knickstellen schon bewiesen; bisheriger Beweis bleibt gültig auch für Knickstellen, da die Bessel sche Ungleichung und das Riemann-ebesgue-emma auch für diesen Fall gültig sind (ohne Beweis, siehe später. 5
6 Gibbs-Phänomen (ohne Beweis f N (x um ca. 8, 9 % der Sprungweite übertroffen, x max = O ( N. In der Nähe einer Sprungstelle wird f(x von den Partialsummen Beispiel. x π f(x = π x ( f N (x max f(x max = O N ( x max = O N. Fourier-Transformation Für die stetige und stetig differenzierbare, -periodische Funktion f(n gilt Intuitiv: wenn f(x = n= = ( / f(y e / ( n= f(x n= n i / / k n dk y dy e i n f(ye dk n i y dy ( dk f(ye iky dy e ikx y e i n y In welchem Sinn gilt nun die Näherung; und für welche f(x existiert f(xe ikx dx? Definition. Sei S die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen R C, sodass f und alle ihre Ableitungen schneller als jede Potenz bei x gegen Null geht; das bedeutet mathematisch sup x p f (q (x < x R p, q N oder: es existiert ein x >, sodass für x > x x p f (q (x const p, q N oder lim x x p f (q (x = p, q N 6
7 Beispiel. e x S + x / S e x / S e x / S Bemerkung. f S f (n S f S p(xf(x S wo p(x Polynom. Definition (Fouriertransformation. Sei f S. Dann lauten die Fouriertransformation Ff und die inverse Fouriertransformation F f (Ff(k = (F f(k = f(xe ikx dx f(ke ikx dk k R x R Satz. Wenn f S, dann existiert Ff. Beweis. (Ff(k = x >x o f(xe ikx dx f(x dx = f(x dx + x x f(x dx x >x o c c dx = < x x Hierbei wurde benutzt, dass der linke Term wegen der Stetigkeit von f endlich ist. Weiters kann man x so wählen, dass für x > x gilt f(x c x. Bemerkung. (Ff(k konvergiert für f S absolut (ist dabei k-unabhängig; und ist somit gleichmäßig konvergent in k. Beispiel. f(x = e x / (Ff(k = e k / Siehe dazu auch die Übungen! Definition (Gleichmäßige Konvergenz. f(x, ydx 7
8 konvergiert gleichmäßig in y [y o, y ] falls es zu jedem ɛ > ein N gibt, sodass für alle N, N > N, y [y o, y ] gilt Die Funktionen N N f(x, ydx < ɛ g(y = g (y = a a f(x, ydx f(x, y dx y stetig nur wenn a f y (x, ydx gleichmäßig konvergent in y... Ableitungsformeln (Ff (k = f (xe ikx dx = [ f(xe ikx + ik ] f(xe ikx dx = ik(ff(k (.6 Dabei wurde partiell integriert (das ist erlaubt, da (Ff (k gleichmäßig konvergent in k ist. Der erste Term fällt dann weg, da f(x S. Iteration führt zu höheren Ableitungen: ( Ff (p (k = (ik p (Ff(k (Ff (k = ( d f(x dx e ikx dx = f(x( ixe ikx dx = (F( ixf(k (.7 Hier ist mit f(x S auch ixf(x S. Da (F( ixf(k gleichmäßig konvergent in k, durfte unter dem Integralzeichen differenziert werden. Iteration: (Ff (q (k = (F( ix (q f(k Insgesamt ( ix p (Ff (q (k = (ik p F (( ix q f (k = F ( (( ix q f (p (k p, q N Satz. Fourierreihe bildet S auf sich selbst ab, d. h. wenn f S, dann auch Ff S. (siehe Übungen Satz (Plancherel-Gleichung. (ohne Beweis. Für f S gilt f(x dx = (Ff(k dk 8
9 Satz (Faltungstheorem. Für f, g S gilt F(f g = Ff Fg (.8 F(f g = Ff Fg (.9 wo Beweis. (f g(x = f(x g(x x dx = (g f(x (. Ff Fg = = = = = F((f g(k e ikx f(x dx dxe ikx e iky g(y dy e ik(x +y f(x g(y dx dy f(x yg(ydy dxe ikx (g f(x = F((g f(k In der dritten Zeile haben wir x = x + y, y = y und dx dy = dxdy verwendet... Anwendungsbeispiel der Fouriertransformation Auffinden spezieller ösungen von Differentialgleichungen, z. B. y y = f bei vorgegebenem f S. Fouriertransformation der Gleichung Fy Fy = Ff k Fy Fy = Ff ( + k Fy = Ff Fy = + k Ff Rücktransfomation und Anwendung des Faltungstheorems.9 ergibt da F ( +k ( F Fy = y = F + k F Ff ( ( y(x = F + k f (x y(x = = π e x (siehe Übungen. e x x f(x dx 9
10 Bemerkung. Vgl. frühere Formel für spezielle ösungen: Homogene ösung y y = y = e x y = e x W = e x e x y spez (x = e x x hängt mit obiger ösung zusammen: e x x f(x dx = = x e x e x c e x = f(x x dx + e x e x+x f(x dx x c e x+x f(x dx + c x x c e x f(x dx e x x f(x dx e x x f(x dx + K e x + K e x Dabei sind K und K endlich, da f(x S...3 Mehrdimensionale Fouriertransformation Definition. Für x R n ist f(x S, wenn f beliebig hohe partielle Ableitungen besitzt und für r = x + x x n sowie für alle k N und für alle p = p + p p n, p i N Beispiel. lim r rk x p p f... = xpn n e r S x e r S Dagegen e x / S, da es mit x = bei r nicht abfällt. Definition (Mehrdimensionale Fouriertransformation. Sei x = x.. Rn, k = k.. Rn. x n (Ff(k = f(xe ikx d n x ( n/ R n (F f(x = f(ke ikx d n k ( n/ R n k n
11 Beispiel. n = 3, x, k R 3 Bei allgemeinen f(x faktorisiert (Ff(k nicht! f(x = e x / = n i= e x i / 3 (Ff(k = e k i / = e k / i=..3. Fouriertransformation einer radialsymmetrischen Funktion Sei n = 3, x = x x x 3, r = x + x + x 3 und f(x = f(r. Denken wir uns k R3 fest, kx = kr cos θ wo k = k, θ π, φ. Dann ist (Ff(k! = (Ff(k = Analog die Rücktransformation Wählen Polarkoordinaten im R 3 (Ff(k = d 3 x = r dr sin θdθdφ = r drd cos θdφ ( 3/ = ( / π k (F f(r = π r dr dr dφ d cos θe ikr cos θ r f(r [ cos θ e ikr ikr ] cos θ= r f(r cos θ= drf(rr sin kr (. dkf(kk sin kr (. x = r sin θ cos φ x = r sin θ sin φ x 3 = r cos θ mit θ π und φ ; weiters d 3 x = dx dx dx 3 r dr sin θdθdφ Wählen x, x, x 3 -Achsen so, dass k x 3 -Achse k = k = k 3 =
12 Außerdem k = k. Beispiel. f(r = e ar a > π k (Ff( k = dr sin k re ar r = Im (Ff( k = = Im a i k = a k (a + k π a k (a + k In der zweiten Zeile wurde dabei partiell integriert. dre (a i k r r dre (a i k r (a + i k r = Im (a i k (a + i k [] Arfken, G.: Mathematical Methods for Physicists. Addison-Wesley, 98.
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hhhhh 8 ( x)/2, <x 0, ( x)/2, 0 <x, , ] hinaus. Diese Funktion ist ungerade, ihre Fourierreihe also eine reine Sinusreihe. Man findet 1 cos nx dx.
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86 5 Fouriertheorie Für gerades f ist f (x) sin nx ungerade, somit b n = f (x) sin nx dx =. Für ungerades f ist dagegen f cos nx ungerade, also a n = f (x) cos nx dx =..Ò Beispiel Die Sägezahnfunktion
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