5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion

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1 5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion 5.. Satz (Poissonsche Summenformel. Sei f : R C eine stetig differenzierbare Funktion mit und sei f(x O( x und f (x O( x für x ˆf(t : f(xe πixt dx. die Fourier-Transformierte von f. Dann gilt f(n n n ˆf(n. Bemerkung. Der Satz gilt auch unter schwächeren Voraussetzungen über die Funktion f. Diese Form genügt uns aber. Die Bedingung f(x O( x garantiert die Existenz des Fourier-Integrals und der unendlichen Summe f(n. Beweis. Wir definieren eine Funktion F : R C durch F (x : n Z f(x + n. Nach der Voraussetzung über f konvergiert diese Reihe gleichmäßig auf R, ebenso (wegen f (x O( x die Reihe der Ableitungen. Daher ist F eine stetig differenzierbare Funktion. Außerdem gilt offensichtlich F (x + F (x, d.h. F ist periodisch mit der Periode. Wir können deshalb F in eine Fourier-Reihe F (x n Z c n e πinx entwickeln. Da F stetig differenzierbar ist, konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig gegen F.Für die Fourier-Koeffizienten gilt c n k Z F (xe πinx dx f(x + ke πinx dx k Z f(xe πinx dx ˆf(n. k+ k f(xe πinx dx Kap. 5 zuletzt geändert am:

2 5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion Es gilt also F (x n Z f(x + n n Z ˆf(ne πinx. Die Reihen konvergieren sogar gleichmäßig auf R. Setzt man hierin x, erhält man die Behauptung. 5.. Beispiele a Wir wollen die Fourier-Transformierte der Funktion f : R R, x f(x : e πx berechnen. Behauptung. f ist seine eigene Fourier-Transformierte, d.h. ( ˆf(t e πt für alle t R. Beweis. Es ist ˆf(t Speziell für t ist ˆf( Für t ist ˆf(t Wir zeigen jetzt ( π e πx e πixt dx e πx dx e πx dx [Substitution u πx ] u / e u du π Γ(. e πx πixt dx e πt e π(x+it dx. e π(x+it dx e πx dx. Daraus folgt dann unmittelbar die Behauptung (. Um ( zu beweisen, wählen wir ein R> und integrieren die holomorphe Funktion f(z : e πz über den Rand des Rechtecks mit den Ecken R, R, R+it, R+it, siehe Figur 5.. Da der Integrand f(z auf ganz C holomorph ist, ist das gesamte Randintegral gleich, d.h. (3 R f(zdz R+it f(zdz R+it f(zdz + R+it R R+it R R f(zdz 5.

3 R + it R + it R Figur 5. R Man sieht unmittelbar, dass ±R+ia ±R f(zdz für R Da R+it f(zdz R R+it R e (x+it dx folgt aus (3 durch Grenzübergang R die Gleichung ( und damit die Behauptung (. b Für eine reelle Zahl λ> betrachten wir die Funktion f λ : R R, x f λ (x : e πλx Behauptung. Für die Fourier-Transformierte gilt f λ (t e πt /λ λ. Beweis hierfür. Nach Definition der Fourier-Transformation gilt f λ (t e πλx e πixt dx. Mit den Substitutionen ξ λx und τ t/ λ kann man dies auf a zurückführen und erhält man f λ (t /λ e πξ πiξτ dξ e e πτ e πt, q.e.d. λ λ λ 5.3

4 5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion 5.3. Satz (Funktionalgleichung der Theta-Reihe. Die Theta-Reihe ist für reelles x> definiert durch θ(x : n Z e πnx. Sie genügt der folgenden Funktionalgleichung: ( θ x xθ(x für alle x>, d.h. e πnx e πn /x. x n Z n Z Bemerkung. Die Theta-Reihe und ihre sämtlichen Ableitungen konvergieren gleichmäßig auf jedem Intervall [ε, [, ε> ; daher ist θ eine C -Funktion auf ], [. Beweis. Wir wenden die Poissonsche Summenformel auf die Funktion f λ : R R, x f λ (x : e πλx an. Dabei ist λ> ein reeller Parameter. Da f λ (t λ e πt /λ, folgt n Z e πλn n Z e πn /λ λ. Schreibt man x statt λ, ergibt sich die Behauptung des Satzes Corollar. Die Theta-Reihe θ(x n Z e πnx genügt der Abschätzung ( θ(x O x für x Wir stellen jetzt einen Zusammenhang zwischen der Theta-Reihe und der Zetafunktion her. Dazu betrachten wir für x> die Funktion Es gilt g(x : n e πn x θ(x + g(x, d.h. g(x (θ(x. Für x konvergiert g(x exponentiell gegen, genauer gilt g(x O(e πx. Aus Corollar 5.4 folgt 5.4

5 ( (4 g(x O x für x. Die Funktionalgleichung der Theta-Reihe θ(/x x / θ(x liefert ( (5 g x x / g(x+ (x/ Lemma. Für alle s C mit Re(s > gilt ( s ( Γ π ζ(s s/ x s/ e x dx πn x. n Bemerkung. Aus der Abschätzung (4 folgt, dass das Integral für Re(s > existiert. Beweis. Wir gehen aus vom der Eulerschen Integral-Darstellung für Γ(s/, Γ x s/ e x dx, (Re(s >, x und machen die Substitution x πn x mit einer einer natürlichen Zahl n N. Da d x/ x dx/x, erhalten wir (nachdem wir wieder x statt x schreiben ( s Γ n s π s/ x s/ e πn x dx x. Für Re(s > gilt dann Γ ζ(s Γ n π s/ x s/ e πn x dx s x n n ( π s/ x s/ e x dx πn x. n Die Vertauschung von Summation und Integration ist wegen des Satzes von der majorisierten Konvergenz erlaubt Satz (Funktionalgleichung der Zetafunktion. a Die Funktion ξ(s : π s/ Γ(s/ ζ(s, ist holomorph auf ganz C bis auf zwei Pole erster Ordnung an den Stellen s, s. Sie genügt der Funktionalgleichung ξ( s ξ(s. 5.5

6 5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion b Die Zetafunktion selbst genügt der Funktionalgleichung ζ( s s π s Γ(s cos( πs ζ(s. Beweis. a Nach Lemma 5.6 gilt für Re(s > mit g(x (6 ξ(s n e πn x x s/ g(x dx x x s/ g(x dx x + x s/ g(x dx x. Im Integral von nach machen wir die Substitution x /x und verwenden die Funktionalgleichung (5. x s/ g(x dx x x s/ g(/x dx x x ( s/ g(x dx x + x ( s/ g(x dx x + ( s s Dabei haben benutzt, dass x α dx für Re(α >. x α Damit ergibt sich aus (6 (7 ξ(s (x ( s/ + x s/ g(x dx ( x + s. s ( x ( s/ x s/ dx x Dies wurde für Re(s > abgeleitet. Da g(x für x exponentiell gegen geht, konvergiert das Integral auf der rechten Seite gegen eine auf ganz C holomorphe Funktion h(s. Somit liefert (7 eine auf ganz C gültige Darstellung von ξ(s als meromorphe Funktion mit Polen. Ordnung an den Stellen s und s. Da die rechte Seite von (7 invariant unter der Abbildung s s ist, folgt ξ( s ξ(s, d.h. Teil a des Satzes ist bewiesen. b Wir verwenden folgende Formeln aus der Theorie der Gamma-Funktion: (i (ii Γ(zΓ( z sin(πz π (Euler ( z ( z + Γ Γ πγ(z (Legendre Die Funktionalgleichung der Funktion ξ(s aus Teil a bedeutet ( s π ( s/ Γ ζ( s π s/ Γ ζ(s, woraus folgt ( s ζ(s. (8 ζ( s π / s Γ Γ 5.6

7 Aus (i ergibt sich ( s Γ Γ ( +s Damit lässt sich (8 umformen zu ζ( s π / s Γ Γ sin(π +s π ( +s woraus unter Benutzung von (ii folgt cos( πs π cos( πs ζ(s, ζ( s s π s Γ(s cos( πs ζ(s, q.e.d Corollar. a Für jede ganze Zahl k> gilt ζ( k. Dies sind die einzigen Nullstellem der Zetafunktion in der Halbebene Re(s. Man nennt diese Nullstellen die trivialen Nullstellen der Zetafunktion. b ζ(. c Für jede ganze Zahl k> gilt ζ( k B k k. Beweis. a Wir benutzen die Funktionalgleichung ζ( s s π s Γ(s cos πs ζ(s Re( s ist gleichbedeutend mit Re(s. Da ζ(s für Re(s, kommen die einzigen Nullstellen der rechten Seite in der Halbebene Re(s > von der Cosinus- Funktion. Nun ist cos πs s + k mit k Z Daraus folgt Behauptung a. b Wir schreiben die Funktionalgleichung in der Form ζ( s f (sf (s mit f (s : s π s Γ(s und f (s : cos πs ζ(s. f ist holomorph in einer Umgebung von s und f ( /π. Die Funktion f ist ebenfalls holomorph in einer Umgebung von s, da der Pol der Zetafunktion von 5.7

8 5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion der Nullstelle des Cosinus aufgehoben wird. Um f ( zu berechnen, bestimmen wir die ersten Glieder der Taylor- bzw. Laurent-Entwicklung der Faktoren. cos πs cos ( π (s + π sin ( π (s π (s + O((s 3, ζ(s + (holomorphe Funktion. s Multipliziert man beide Ausdrücke, erhält man f (s π +O(s, d.h. f ( π. Daher gilt ζ( f (f (, q.e.d. c Wir benutzen zum Beweis die Eulerschen Formeln ζ(k n Die Funktionalgleichung liefert (πk ( k nk (k! B k für alle k. ζ( k k π k Γ(k cos(πkζ(k (π (k! k ( k ζ(k. Setzt man darin die Eulerschen Formeln ein, erhält man ζ( k B k k Die nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion Nach Corollar 5.8 besitzt die Riemannsche Zetafunktion außer den trivialen Nullstellen bei s k, k N,höchstens noch Nullstellen mit < Re(s <. Man nennt {s C :< Re(s < } den kritischen Streifen. Wir werden sehen, dass die Zetafunktion im kritischen Streifen unendlich viele Nullstellen besitzt. Aufgrund der Funktionalgleichung weisen die Nullstellen ein gewisses Symmetrie-Verhalten bzgl. der kritischen Geraden {s C : Re(s } auf, das wir jetzt diskutieren. Wir betrachten die schon in Satz 5.7 definierte Funktion ξ(s π s/ Γ(s/ζ(s. Da der Faktor π s/ Γ(s/ für < Re(s < holomorph und ungleich null ist, haben ζ(s und ξ(s in dem Streifen diesselben Nullstellen. Da ξ(s für s R reell ist, gilt nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip (i ξ(s ξ(s; außerdem haben wir die Funktionalgleichung 5.8

9 (ii ξ( s ξ(s. Aus (i und (ii ergibt sich: Falls ξ( + x + it mit < x <, dann ist auch ξ( ξ( ξ( + x it, x + it, x it. Die nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion liegen also sowohl symmetrisch zur reellen Achse, als auch zur Geraden {Re(s }, siehe Figur 5.. Wahrscheinlich kann der Fall x gar nicht auftreten, denn nach der berühmten Riemannschen Vermutung aus dem Jahre 859 liegen alle nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion sogar auf der Spiegelungs-Geraden {Re(s }. Diese Vermutung ist noch unbewiesen, aber alle bis heute durch numerische Rechnungen gefundenen nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion liegen tatsächlich auf der kritischen Geraden {Re(s }. Figur