Die Riemann'sche Vermutung

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1 Die Riemann'sche Vermutung Julián Cancino (ETH Zürich) 7. Juni 7 Leonhard Euler (77-783) und Bernhard Riemann (86-866) sind sicher die bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten für ihre Beiträge zu verschiedenen Gebiete der Mathematik und der theoretische Physik. Hier wird ein der grösste Rätsel der Mathematik präsentiert. Nähmlich die Riemann'sche Vermutung die aus seinem 859 erschienen 8-seitigen Artikel Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse stammt. Dies war der erste und letzte Einstieg von Riemann in die analytische Zahlentheorie. Vermutung (859) Alle die nicht-triviale Nullstellen der Funktion ζ : C C haben Realteil /. Nach seine Vermutung schreibt er : Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen üchtigen vergeblichen Versuchen vorläug bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. [3] Heute wurde diese Vermutung noch nicht bewiesen... Zetafunktionen Bevor wir uns mit der Vermutung selbst beschäftigen, müssen wir die zugrunde Zetafunktion studieren.. Euler'sche Zetafunktion Euler hat die Zetafunktion wie folgt deniert : ζ(k) := n= n k (N R) Diese ist von einem potitiven ganzzahligen Agrument abhängig und ζ() ist die bekannte divergente harmonische Reihe. Euler konnte auch die folgende Sätze beweisen:

2 . Riemann'sche Zetafunktion Satz (Euler, 75). n N : ζ(n) = ( ) n (π)n B n (n)! Wobei die B n die Bernoulli-Zahlen sind, deren ersten in der Tabelle. gelistet sind. n B n / /6 4 /3 6 /4 8 /3 Tabelle : Die erste zehn Bernoulli-Zahlen [] Im Gegenteil hat man keine geschlossene Formel für die Werte bei ungeraden Argument. Man weiss sogar sehr wenig von diese Zahlen : Erst 978 wurde von Apéry gezeigt, dass ζ(3) irrational ist. Seit weiss man, dass mindestens einer von ζ(5), ζ(7), ζ(9) und ζ() irrational ist. Satz (Produktdarstellung der Zetafunktion, Euler). n N : ζ(n) = p n Die vom Satz induzierte Darstellung der Zeta-Funktion ist interessant, denn sie die folgende Folgerung hat : Satz 3. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Die Aussage ist äquivalent zu s N\{, } : ζ(s) / Q, denn ein endliches Produkt von rationalen Zahlen immer noch rational ist. Aus dem Satz folgt ζ() = π und Adrien-Marie Legendre (75-833) hat 794 gezeigt, dass π irrational ist.. Riemann'sche Zetafunktion.. Einfache Verallgemeinerung Eine sinnvolle Verallgemeinerung der Zetafunktion auf C (und somit auch auf R C) erhählt man, indem man einfach ein komplexen Argument s verwendet: Satz 4. ζ : C C, s n= n s konvergiert absolut falls Re(s) >. Beweis. = n= n s n= e s log(n) = e (Re(s)+i Im(s)) log(n) n= k N gilt B k+ =. Und somit auch π.

3 . Riemann'sche Zetafunktion 3 = e Re(s) log(n) e i Im(s) log(n) = n Re(s) = = ζ(re(s)) nre(s) n= Nun weiss man aus der Analysis, dass n= n= n x u x du Dieses Integral exisitiert genau dann, wenn x > ist. Mit x := Re(s) sind wir fertig. n=.. Gammafunktion Um fortfahren zu können, brauchen wir die Gammafunktion, die gewissermassen die fortsetzung der Fakultät auf C ist (Abbildung ). Sie wird deniert mittels 3 : Γ(s) := x s e x dx (C \ Z C) Abbildung : Γ(s) als Funktion von Re(s) und Im(s) [5]. Es ist möglich die folgenden Identitäten zu zeigen :. Γ(s + ) = s Γ(s),. n N : Γ(n + ) = n!, 3. Γ(s) Γ( s) sin(πs) = π,..3 Zusammenhang zwischen den Zeta- und Gammafunktionen Mit der Substitution x = n u erhielt Riemann Γ(s) = (n u) s e n u ndu = n s u s e n u du Γ(s) n s = u s e n u du 3 Ich konnte nicht in der Literatur verizieren, ob tatsächlich diese Integrals auch für s / R Sinn macht, aber es scheint so. 3

4 4 Γ(s) ζ(s) = Γ(s) n= n s = ( ) u s (e u ) n du In den Klammern steht eine Reihe, die wir "geometrisieren"können : (e u ) n = n= (e u ) n = n= Also haben wir die folgende Formel bewiesen (für Re(s) > ) : n= e u = e u e u = e u ζ(s) Γ(s) = u s e u du..4 Auf der ganze C-Ebene Nun was Riemann geschat hat ist diese Funktion analytisch auf der ganzen komplexen Ebene fortzusetzen. Die ganze Überlegung basiert sich auf die Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen und wir wollen hier nur die Resultate geben. Satz 5 (Analytische Fortsetung der Zetafunktion). Γ( s) u s ζ(s) = πi e u du (C \ {} C) D Wobei D den Weg von unterhalb von und parallel zur reellen Achse um die Ursrung und zurück zu oberhalb und parallel zur reellen Achse entspricht 4. Satz 6 (Funktionalgleichung). s C : ζ( s) = ( πs ) (π) s cos Γ(s) ζ(s) Der Satz 6 ist eine Folgerung des 5 und der Eigenschaft 3 der Gammafunktion. Nullstellen der Zetafunktion Jetzt haben wir die wichtige Eigenschaften der Zetafunktion gezeigt und wir können uns mit deren Nullstellen beschäftigen. Die Frage die wir beantworten wollen lautet : Wo sind die Nullstelle? Wir werden hier die komplexe Ebene in Gebiete teilen und diese separat untersuchen.. Re(s) > Eigentlich gilt den Satz immer für komplexe Werte von s, falls Re(s) >. Und somit auch den Satz 7. s C : Re(s) > ζ(s). 4 Siehe die Abbildung E.3 auf der Seite 5 von []. 4

5 . Re(s) < 5 Abbildung : ζ(s) als Funktion von Re(s) und Im(s) [4]. Beweis. Diese Aussage ist völlig äquivalent mit s C : Re(s) > ζ(s) >, denn ζ(s) = ζ(s) =. Aus dem Satz folgt : ζ(s) = p s = Denn jedes ist strikt grösser als. Also gibt es keine Nullstelle mit Re(s) >. p s + p s = + p Re(s) >. Re(s) < Wegen der Funktionalgleichung (Satz 6) und der Tatsache, dass die Gammafunktion keine Nullstelle hat [, 5], folgt den Satz 8. s C : Re(s) < Im(s) ζ(s). Beweis. Sei t := s. Dann Re(t) = Re(s) > und mit 7 folgt ζ(t) >. Mit 6 : ( ) ζ(s) = ζ( t) = πt (π) t cos Γ(t) ζ(t) = ( ) πt (π) t cos Γ(t) ζ(t) Γ(t) ζ(t) = (π) Re(t) (eiπt/ + e iπt/ ) Γ(t) ζ(t) (π) }{{ Re(t) e iπt/ e iπt/ } :=C> = C e πim(t)/ e πim(t)/ > Falls Im(t) = Im(s). 5

6 .3 Re(s) : Nicht-triviale Nullstellen 6 Also gibt es keine Nullstelle mit Re(s) < Im(s)... s R : Triviale Nullstellen Im Fall Im(s) = ist s reell und man leitet den Satz 9 (Triviale Nullstellen der Zetafunktion). s Z ζ(s) =. Beweis. Sei t := s. Dann Re(t) = Re(s) > und mit 7 folgt ζ(t) >. Mit 6 : ( ) ζ(s) = ζ( t) = πt (π) t cos Γ(t) ζ(t) = ( ) πt (π) t cos Γ(t) ζ(t) ( ) Γ(t) ζ(t) = πt ( (π) }{{ Re(t) cos π ) ( π ) ( π ) = C cos πs = C cos cos(πs) + sin sin(πs) } }{{}}{{ } :=C> = = Falls s Z. = C sin(πs) = Bemerkungswert ist die Tatsache, dass es eine Formel bei allen nicht-positiven ganze Zahlen gibt, in Unterschied zu den positiven, für die wir nur eine Formel bei geraden Argument kennen (Satz ): Satz. k N : ζ( k) = ( ) k B k+ k + Aus diese Formel folgt sofort den Satz 9, indem man merkt, dass die Bernouilli-Zahlen verschwinden bei ungeraden Indizes (Vgl. Tabelle.)..3 Re(s) : Nicht-triviale Nullstellen Jetzt kommen wir zum schwierigsten Teil : der sogenannte kritische Streifen. In ihrem Beweis des Primzahlentheorems haben De La Vallée Poussin und Hadamard gezeigt, dass die Zetafunktion keine Nullstelle mit Realtail hat. Wegen der Funktionalgleichung 6, ist es oensichtlich, dass für jede Nullstelle s auch s eine Nullstelle sein muss. Also sind die Nullstellen auf dem kritischen Streifen symmetrisch um den Punkt / der C-Ebene verteilt. Damit impliziert Hadamards Resultat, dass es keine Nullstelle gibt, die rein Imaginär ist. Also ist jetzt das mögliche Gebiet für die Nullstelle auf {s C < Re(s) < } eingeschränkt. Interessant ist auch die Tatsache, dass ζ(s) = ζ(s). Die Symmetrie der Nullstellen ist dann noch grösser 5. Eine in gewissem Sinne schwächere Version der Riemann'sche Vermutung ist der 5 Siehe die Abbildung 6.4 auf der Seite 95 von []. 6

7 .3 Re(s) : Nicht-triviale Nullstellen 7 Satz (Bohr & Landau, 94). Sei ε >. Dann gibt es ungefähr ( ( ) ) T T log π π Nullstellen der Form s = / + i t mit t C : Re(t) T Im(t) ε. Für T strebt den relativen Fehler der Anzahl gegen Null. Obwohl dieser Satz sehr ähnlich zur Vermutung scheint, ist er nicht äquivalent, denn es nur um eine Abschätzung geht. Es könnte wohl sein, dass es eine (oder sogar endlich viele) Nullstelle(n) mit Realteil nicht gleich / gibt. In diesem Fall wäre der Satz immer noch gültig; die Vermutung aber nicht mehr..3. Re(s) = / : Riemann'sche Vermutung Abbildung 3: ζ(s) als Funktion von Im(s) für Re(s) = [4]. Die Abbildung 3 zeigt die erste Nullstellen auf der kritischen Gerade {s C Re(s) = }. Bis Heute konnte niemand weder beweisen noch widerlegen die Riemann'sche Vermutung (859) s C \ R : ζ(s) = Re(s) = Alle die Nullstellen (.5 9 ), die man bis heute mit numerische Rechnungen gefunden hat, gehören zur kritischen Gerade. Und es gilt den Satz (Hardy, 94). Es gibt unendlich viele Nullstellen auf der kritischen Gerade. Wie für den Satz gibt uns der Satz keine Garantie, dass es keine Nullstelle mit Re(s). Die symmetrische Verteilung um den Punkt / und die Sätze und geben dennoch anscheinend starke Indize über die Gültigkeit der Riemann'sche Vermutung. Ganz bestimmt, wenn jemand diese Vermutung beweisen oder widerlegen schat, ist seine Zukunft gesichert : sie gehört zu den Problemen des Milleniums des Clay Mathematik Institut und wird auf jedem Fall mit eine Fields-Medaille belohnt. 7

8 LITERATUR 8 Literatur [] Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, New York, 974, S. 35. [] Julian Havil, Gamma, Princeton University Press, Princeton, 3, S. 66. [3] Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie, November 859 ( [4] [5] 8