Die Faszination der Primzahlen

Transkript

1 zu Die der Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 27. April 2015

2 zu zu

3 zu zu Die natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3,... }.

4 zu zu Die natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3,... }. Rechenoperationen: Addition + n, m N = n+m N. Multiplikation n, m N = n m N.

5 zu zu Bausteine der natürlichen Zahlen. Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsen darstellen, z.b. 5 =

6 zu zu Bausteine der natürlichen Zahlen. Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsen darstellen, z.b. 5 = Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.

7 zu zu Bausteine der natürlichen Zahlen. Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsen darstellen, z.b. 5 = Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N. Welches sind die multiplikativen Bausteine von N?

8 zu zu Definition. Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist und p nur die Teiler 1 und p besitzt.

9 zu zu Definition. Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist und p nur die Teiler 1 und p besitzt. Fundamentalsatz der Arithmetik. Die sind die multiplikativen Bausteine von N. Mit anderen Worten: Alle natürlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Produkt von darstellen, z.b =

10 zu zu Liste von. Beispiel: Die zwischen 1 und 100: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}. Man erhält also 25. Im Folgenden bezeichne P die Menge der.

11 zu zu Sieb des Eratosthenes

12 zu zu Sieb des Eratosthenes

13 zu zu Sieb des Eratosthenes

14 zu zu Sieb des Eratosthenes

15 zu zu Sieb des Eratosthenes

16 zu zu Sieb des Eratosthenes

17 zu zu Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele. Beweis.

18 zu zu Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele p 1, p 2,..., p n.

19 zu zu Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele p 1, p 2,..., p n. Sei q = p 1 p 2... p n das Produkt dieser.

20 zu zu Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele p 1, p 2,..., p n. Sei q = p 1 p 2... p n das Produkt dieser. Die Zahl q + 1 ist durch keine der p i teilbar, da bei Division durch p i immer der Rest 1 bleibt.

21 zu zu Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele p 1, p 2,..., p n. Sei q = p 1 p 2... p n das Produkt dieser. Die Zahl q + 1 ist durch keine der p i teilbar, da bei Division durch p i immer der Rest 1 bleibt. Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Menge der p 1, p 2,..., p n enthalten.

22 zu zu Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele p 1, p 2,..., p n. Sei q = p 1 p 2... p n das Produkt dieser. Die Zahl q + 1 ist durch keine der p i teilbar, da bei Division durch p i immer der Rest 1 bleibt. Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Menge der p 1, p 2,..., p n enthalten. Dies widerspricht unserer Annahme.

23 zu von

24 von zu und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei: Verwendung von EC-Karten.

25 von zu und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei: Verwendung von EC-Karten. Sicheren Kommunizieren.

26 von zu und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei: Verwendung von EC-Karten. Sicheren Kommunizieren. Verwendung des Internets.

27 von zu und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei: Verwendung von EC-Karten. Sicheren Kommunizieren. Verwendung des Internets....

28 von zu Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat. Es sei p eine Primzahl und es bedeute R p (b) den Rest von b N nach Division durch p. Dann besteht für a N mit p a die Beziehung R p (a p 1 ) = 1 R p (a p ) = a.

29 von zu Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat. Es sei p eine Primzahl und es bedeute R p (b) den Rest von b N nach Division durch p. Dann besteht für a N mit p a die Beziehung R p (a p 1 ) = 1 R p (a p ) = a. Beispiele: p = 5 und a = 2, 3, 4: R 5 (2 1 ) = 2, R 5 (2 2 ) = 4, R 5 (2 3 ) = 3, R 5 (2 4 ) = 1. R 5 (3 1 ) = 3, R 5 (3 2 ) = 4, R 5 (3 3 ) = 2, R 5 (3 4 ) = 1. R 5 (4 1 ) = 4, R 5 (4 2 ) = 1, R 5 (4 3 ) = 4, R 5 (4 4 ) = 1.

30 von zu Die Public Key Cryptography verwendet allgemeiner: Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene und m = p q. Dann besteht für zu m teilerfremde a N die Beziehung R m ( a (p 1)(q 1) ) = 1 R m ( a (p 1)(q 1)+1 ) = a.

31 von zu Die Public Key Cryptography verwendet allgemeiner: Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene und m = p q. Dann besteht für zu m teilerfremde a N die Beziehung R m ( a (p 1)(q 1) ) = 1 R m ( a (p 1)(q 1)+1 ) = a. Sicherheit der Verschlüsselung: Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m in die Primfaktoren p und q, falls p, q jeweils etwa 200-stellig sind.

32 von zu Ein bescheidenes Beispiel: m =

33 von zu Ein bescheidenes Beispiel: m = p = , q =

34 zu

35 zu Mersennesche : p = 2 n 1, wobei notwendigerweise n selbst auch eine Primzahl ist. n = 2: = 3. n = 3: = 7. n = 5: = 31.

36 zu Mersennesche : p = 2 n 1, wobei notwendigerweise n selbst auch eine Primzahl ist. n = 2: = 3. n = 3: = 7. n = 5: = 31. Gegenbeispiel: = 2047 =

37 zu Fermatsche : p = 2 n + 1, wobei n = 2 m mit m N ist. n = 2 0 : p = = 3. n = 2 1 : p = = 5. n = 2 2 : p = = 17. n = 2 3 : p = = 257. n = 2 4 : p = =

38 zu Fermatsche : p = 2 n + 1, wobei n = 2 m mit m N ist. n = 2 0 : p = = 3. n = 2 1 : p = = 5. n = 2 2 : p = = 17. n = 2 3 : p = = 257. n = 2 4 : p = = Gegenbeispiel (Euler): p = = hat den Teiler 641.

39 zu Die Formel von Matjasevich. Wir betrachten das folgende Polynom P = P(A, B,..., Y, Z) mit den 26 Buchstaben des Alphabets als Variablen: (K + 2) ( 1 [WZ + H + J Q] 2 [(GK + 2G + K + 1) (H + J) + H Z] 2 [16(K + 1) 3 (K + 2)(N + 1) F 2 ] 2 [2N + P + Q + Z E] 2 [E 3 (E + 2)(A + 1) O 2 ] 2 [(A 2 1)Y X 2 ] 2 [16R 2 Y 4 (A 2 1) + 1 U 2 ] 2 [N + L + V Y ] 2 [(A 2 1)L M 2 ] 2 [AI + K + 1 L I ] 2 [((A + U 2 (U 2 A)) 2 1)(N + 4DY ) (X + CU) 2 ] 2 [P + L(A N 1) + B(2AN + 2A N 2 2N 2) M] 2 [Q + Y (A P 1) + S(2AP + 2A P 2 2P 2) X ] 2 [Z + PL(A P) + T (2AP P 2 1) PM] 2).

40 zu Satz von Matjasevich. Für jede Primzahl p P gibt es a, b,..., y, z N mit der Eigenschaft p = P(a, b,..., y, z). Das ist natürlich nicht sehr nützlich!

41 zu Die derzeit größte bekannte Primzahl (gefunden: 2013): p = Dies ist eine Zahl mit Stellen. Etwa 4900 eng bedruckte DIN-A4 Seiten, beginnend mit

42 zu

43 zu Die Primzahlfunktion. Für x R >0, definieren wir die Treppenfunktion

44 zu Die Primzahlfunktion. Für x R >0, definieren wir die Treppenfunktion π(x) := Anzahl der kleiner oder gleich x = {p P p x}.

45 zu Die Primzahlfunktion. Für x R >0, definieren wir die Treppenfunktion π(x) := Anzahl der kleiner oder gleich x = {p P p x}. π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.

46 zu Die Primzahlfunktion. Für x R >0, definieren wir die Treppenfunktion π(x) := Anzahl der kleiner oder gleich x = {p P p x}. π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.

47 zu Die Primzahlfunktion. Für x R >0, definieren wir die Treppenfunktion π(x) := Anzahl der kleiner oder gleich x = {p P p x}. π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.

48 zu Primzahllücken: Primzahllücke der Länge 5. Sei q = = 30. Dann sind die 5 Zahlen keine! ,...,

49 zu Primzahllücken: Primzahllücke der Länge 5. Sei q = = 30. Dann sind die 5 Zahlen ,..., keine! Allgemein: Primzahllücke der Länge k N. Sei q das Produkt aller k + 1. Dann sind die k Zahlen q + 2,..., q + k + 1 keine!

50 zu Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten. Kleinste Primzahlzwillinge: (2, 3), (5, 7), (11, 13),...

51 zu Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten. Kleinste Primzahlzwillinge: (2, 3), (5, 7), (11, 13),... Größter bekannter Primzahlzwilling (Stand: Dez. 2011): ( , ).

52 zu Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten. Kleinste Primzahlzwillinge: (2, 3), (5, 7), (11, 13),... Größter bekannter Primzahlzwilling (Stand: Dez. 2011): ( , ). Offene Frage: Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? Yitang Zhang (Mai 2013), James Maynard (Nov. 2013): Es gibt unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand, der höchstens 272 beträgt!

53 zu Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallée-Poussin). Für x 0, d.h. für sehr große x, gilt die Asymptotik: π(x) x ln(x).

54 zu Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallée-Poussin). Für x 0, d.h. für sehr große x, gilt die Asymptotik: y π(x) x ln(x). exp(x) x

55 zu Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallée-Poussin). Für x 0, d.h. für sehr große x, gilt die Asymptotik: π(x) x ln(x). y exp(x) y ln(x) x x

56 zu D.h. es gilt: ( ) π(x) lim = 1. x x/ ln(x)

57 zu D.h. es gilt: ( ) π(x) lim = 1. x x/ ln(x) M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich für x immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an.

58 zu D.h. es gilt: ( ) π(x) lim = 1. x x/ ln(x) M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich für x immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an. D.h. die Funktion π(x) x ln(x) wächst für x von niedriger Ordnung als x/ ln(x).

59 Restgliedabschätzung. zu Vermutung. Es existiert eine Konstante C > 0, so dass die Ungleichung π(x) x ln(x) < C x ln(x) für x besteht.

60 zu Die

61 Die zu Definition. Die ist gegeben durch ζ(s) = n=1 1 n s = s s + ζ(s) definiert eine glatte Funktion für s > 1. ζ(s) wird singulär für s = 1 (harmonische Reihe).

62 Die Ju rg Kramer zu Es besteht die Eulersche Produktentwicklung ζ(s) = Nu tzlichkeit Formeln fu r Y p P = 1 1 s p s 1 3 s 1 5 s 1 7 s Za hlen von Beweisidee. Mit Hilfe der geometrischen Reihenentwicklung X 1 = p ms, 1 p s m=0 erha lt man

63 Die zu p P ( 1 1 p s ) 1 = ( s + 1 )( 2 2s s + 1 ) 3 2s +... = s s + 1 (2 2 ) s s + 1 (2 3) s +... Die Behauptung ergibt sich nun sofort unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Arithmetik.

64 Die Zusammenfassung. Wir haben folgende Äquivalenzen: zu Eulersche Produktentwicklung Fundamentalsatz der Arithmetik

65 Die Zusammenfassung. Wir haben folgende Äquivalenzen: zu Eulersche Produktentwicklung Fundamentalsatz der Arithmetik Da ζ(1) divergiert, haben wir weiter ζ(s) divergiert bei s = 1 Satz von Euklid

66 Die zu Man kann ζ(s) auch als komplexwertige Funktion der komplexen Variablen s = (Re(s), Im(s)) s = Re(s) + i Im(s) auffassen. Sowohl Definitions- als auch Wertebereich sind dann reell 2-dimensional. Im(s) Re(s)

67 Die zu Ein Millenniumsproblem. Die Vermutung. ζ(s) besitzt alle ihre (komplexen) Nullstellen bei s = (1/2, Im(s)), mit Ausnahme der trivialen Nullstellen bei s = 2, 4, 6,... Die Vermutung ist äquivalent mit der Vermutung über die Restgliedabschätzung des Primzahlsatzes! Im(s) 40i 30i 20i 10i -10i -20i -30i -40i Re(s)

68 Die zu Graph des Betrags der n auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2, d.h. der Funktion ζ(1/2 + it) für 0 t 50:

69 zu Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!