Geschichte. Ende eines Briefes von Johann Bernoulli an Friedrich den Großen. Mathematik: Schweiz Berlin. Geschichte und Gegenwart.

Transkript

1 Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu 3. November 2008

2 Ende eines Briefes von Johann Bernoulli an Friedrich den Großen

3 18. Jahrhert: Leonhard ( ) Jakob Steiner ( ) 19. Jahrhert: Ferdinand G. Frobenius ( ) Adolf Hurwitz ( ) Heinrich Weber ( ) 20. Jahrhert: Heinz Hopf ( ) Issai Schur ( )

4 Friedrich der Große Ende eines Briefes von Friedrich dem Großen an Voltaire

5 Ju rg Kramer Leonhard Basel (Studium bei Johann Bernoulli) St. Petersburg (St. Petersburger Akademie) (Ko nigl.-preuß. Akad. d. Wiss.) St. Petersburg (St. Petersburger Akademie)

6 Eine Kostprobe von s Mathematik = 1 12???

7 ... ein Mann, mit dem man rechnen kann?

8 ... ein Mann, mit dem man rechnen kann? Auszug eines Briefes von L. an Friedrich den Großen

9 Zurück zu s Mathematik Summen der Kehrwerte von Potenzen natürlicher Zahlen =?

10 Zurück zu s Mathematik Summen der Kehrwerte von Potenzen natürlicher Zahlen =? =?

11 Zurück zu s Mathematik Summen der Kehrwerte von Potenzen natürlicher Zahlen =? =? =?

12 Zurück zu s Mathematik Summen der Kehrwerte von Potenzen natürlicher Zahlen =? =? =? =?

13 Die Zetafunktion ζ(x) = x x 4 + x 1 = n x n=1

14 Die Zetafunktion ζ(x) = x x x + = n=1 1 n x ζ(x) ist für x > 1 eine schöne Funktion (siehe Bild) ζ(x) hat für x = 1 eine Singularität (Pol 1. Ordnung)

15 Die Zetafunktion ζ(x) = x x x + = n=1 1 n x ζ(x) ist für x > 1 eine schöne Funktion (siehe Bild) ζ(x) hat für x = 1 eine Singularität (Pol 1. Ordnung) berechnet die Werte ζ(2), ζ(4), ζ(6),... ζ(2) = π2 6 π4 π6, ζ(4) =, ζ(6) = ,

16 Produktdarstellung der Zetafunktion ζ(x) = x = Beobachtung p Primzahl x 1 1 p x x x...

17 Produktdarstellung der Zetafunktion ζ(x) = x = Beobachtung p Primzahl x 1 1 p x x x... Die sche Produktentwicklung ist gleichbedeutend damit, dass jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen darstellbar ist.

18 Produktdarstellung der Zetafunktion ζ(x) = x = Beobachtung p Primzahl x 1 1 p x x x... Die sche Produktentwicklung ist gleichbedeutend damit, dass jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen darstellbar ist. Der Pol erster Ordnung bei x = 1 ist gleichbedeutend damit, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

19 Funktionalgleichung der Zetafunktion ( x π x/2 Γ ζ(x) = π 2) (1 x)/2 Γ d.h. der Graph der Funktion ( x π x/2 Γ ζ(x) 2) ( 1 x ist spiegelsymmetrisch zur Achse x = 1/2. 2 ) ζ(1 x)

20 Einerseits Setze x = 2 in die Funktionalgleichung ein ζ( 1) = 2 1 π 2 ζ(2) = 1 2π 2 π2 6 = 1 12

21 Einerseits Setze x = 2 in die Funktionalgleichung ein Andererseits ζ( 1) = 2 1 π 2 ζ(2) = 1 2π 2 π2 6 = 1 12 Setze formal x = 1 in die Reihendarstellung ein ζ( 1) = =

22 Einerseits Setze x = 2 in die Funktionalgleichung ein ζ( 1) = 2 1 π 2 ζ(2) = 1 2π π2 2 6 = 1 12 Andererseits Setze formal x = 1 in die Reihendarstellung ein ζ( 1) = = Vergleich = 1 12

23 Komplexwertigkeit Man kann ζ(x) auch als komplexwertige Funktion der komplexen Variablen z = x + iy (x = Re(z), y = Im(z)) auffassen. Sowohl Definitions- als auch Wertebereich sind dann reell 2-dimensional. Im(z) Re(z)

24 Milleniumsproblem Riemannsche Vermutung: Die Nullstellen der Zetafunktion liegen auf der Geraden Re(z) = 1/2 mit Ausnahme von z = 2, 4, 6,...

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26 Internationales Graduiertenkolleg () Arithmetic and Geometry

27 Graduiertenkolleg () Departement Mathematik, ETH Zu rich Ju rg Kramer Mathematisches Institut, Uni Zu rich Institut fu r Mathematik, Humboldt Universita t Institut fu r Mathematik, Freie Universita t

28 Graduiertenkolleg () Forschungsgebiete Arithmetische Geometrie Zahlentheorie Differentialgeometrie Geometrische Analysis Algebraische Geometrie Komplexe Geometrie

29 Graduiertenkolleg () Studienprogramm Spezialvorlesungen Forschungsseminare Kollegseminar Intensivkurse Sommerschulen Soft-Skill-Kurse

30 Graduiertenkolleg () Sommerschulen Ascona (2004): Shimura Varieties, Lattices, Symmetric Spaces Chorin (2005): Arithmetic Geometry and Special Geometries Pleinfeld (2006): Differential, Hyperbolic, and Symplectic Geometry Alpbach (2007): Sato-Tate-Conjecture, Diophantine Geometry, Tropical Geometry Alpbach (2008): Arithmetic Geometry and Tropical Geometry

31 Graduiertenkolleg () Ju rg Kramer Alpbach 2008

32 Graduiertenkolleg () Ju rg Kramer Austausch von Doktoranden Doktoranden aus verbringen ein Semester in Zu rich... umgekehrt

33 Internationales Graduiertenkolleg () Stochastic Models of Complex Processes

34 Graduiertenkolleg () Auszug eines Briefes von L. an Friedrich den Großen zur Lotterie Italienne

35 Graduiertenkolleg () Disentis 2008

36 eine gemeinsame Graduiertenschule von

37 BMS... eine Graduiertenschule für die gesamte er Mathematik vom Bachelor bis zum Doktorat gegründet im Sommer 2006 gefördert im Rahmen der Exzellenzinitiative von B Ländern

38 BMS... strukturiertes Studienprogramm auf Englisch erstklassige Arbeitsumgebung Zugang zu Forschergruppen an FU, HU, TU Zugang zum Programm Stipendien von 4 DFG-Graduiertenkollegs 2 International Max-Planck-Research s DFG-Sonderforschungsbereich Raum, Zeit, Materie DFG-Forschungszentrum MATHEON...

39 Ju rg Kramer... Friday Colloquia/Kovalevskaya Colloquia mit erstklassigen Mathematikerinnen/Mathematikern Unterstu tzung von weiblichen Studierenden Studierenden mit Kindern Mentoring-Programm Soft-Skill-Training

40 Studienstruktur Phase I Phase II basic courses qualifying exam advanced courses thesis research

41 Internationalität

42 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!