Zahlentheorie I. Christoph Egger. 18. Juni Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

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1 Zahlentheorie I Christoph Egger 18. Juni 2010 Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

2 Übersicht 1 Modulare Arithmetik Addition & Subtraktion Multiplikation schnelles Potenzieren 2 Teiler Definition (Größter) gemeinsamer Teiler Euclid Lemma von Bezout 3 Diophantische Gleichungen Definition 4 Primzahlen Definition & Eigenschaften Primzahltests Faktorisieren Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

3 Modulare Arithmetik 1 Modulare Arithmetik Addition & Subtraktion Multiplikation schnelles Potenzieren 2 Teiler 3 Diophantische Gleichungen 4 Primzahlen Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

4 Motivation Rechnen mit Zahlen im Wertebereich eines Wortes deutlich effizienter. Oft ausreichend, wenn nur z. B. die letzten n Stellen des Ergebnisses nötig sind. Anwendbar in Primzahltests BigIntegers in den im ICPC Sprachen nicht vorhanden (C,C++) oder grauenhaft zu bedienen (Java) Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

5 Addition 1 d e f add ( a, b, m) : 2 r e t u r n ( ( a % m) + b % m) ) % m Subtraktion 1 d e f sub ( a, b, m) : 2 r e t u r n add ( a, m ( b % m), m) Verwendbar für Werte von m bis WORT 2 Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

6 Multiplikation 1 d e f mul ( a, b, m) : 2 r e t u r n ( a % m ( b % m) ) % m Verwendbar für Werte von m bis WORT Potenzieren 1 d e f exp ( a, b, m) : 2 r e t u r n ( ( a % m) b ) % m Verwendbar für Werte von m bis b WORT Geht natürlich besser Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

7 Schnelles potenzieren c = 5 21 c = ( ) c = (5 ( ) ( )) c = (5 (( ) ( )) (( ) ( ))) Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

8 Schnelles Potenzieren 1 d e f f a s t e x p ( a, b, m) : 2 i f b == 1 : 3 r e t u r n a % m 4 e l i f b == 2 : 5 r e t u r n mul ( a, a, m) 6 e l s e : 7 tmp = f a s t e x p ( a, b /2, m) 8 tmp = mul ( tmp, tmp, m) 9 i f ( b % 2 == 0 ) : 10 r e t u r n tmp 11 e l s e : 12 r e t u r n mul ( tmp, a, m) Potenzieren für Basen bis zu WORT möglich Durch sukzessives Quadrieren Berechnung in O(l) mit l als Länge der Binärcodierung des Exponenten Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

9 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler Definition (Größter) gemeinsamer Teiler Euclid Lemma von Bezout 3 Diophantische Gleichungen 4 Primzahlen Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

10 Definition Teiler a heißt Teiler von b genau dann, wenn es ein k gibt, so dass a dass k-fache von a ist: a b k : b = k a (nicht) triviale Teiler Jede Zahl a besitzt die trivialen Teiler 1 und a. Nichttriviale, also alle weiteren, Teiler von a werden als Faktoren bezeichnet. Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

11 Gemeinsame Teiler Gemeinsamer Teiler d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, genau dann wenn d ein Teiler von a und d ein Teiler von b ist. größter, gemeinsamer Teiler Der größte gemeinsame Teiler ist das größte Element aus der Menge der gemeinsamen Teiler. Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

12 Algorithmus von Euclid Euklid 1 d e f ggt ( a, b ) : 2 i f b == 0 : 3 r e t u r n a 4 i f a > b : 5 r e t u r n ggt ( a b, b ) 6 e l s e : 7 r e t u r n ggt ( b, a ) Euklid 1 d e f ggt ( a, b ) : 2 r e t u r n ( b!= 0)? ggt ( b, a % b ) : a Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

13 Exkurs: Rationale Zahlen Kürzen 1 d e f r e d u c e ( a, b ) : 2 g = gcd ( a, b ) 3 r e t u r n ( a/g, b/g ) Multiplikation - Naïv 1 d e f mul ( ( a, b ), ( c, d ) ) : 2 reduce ( a c, b d ) Division 1 d e f f r a c d i v ( ( a, b ), ( c, d ) ) : 2 r e t u r n f r a c m u l ( ( a, b ), ( d, c ) ) Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

14 Multiplikation 1 d e f f r a c m u l ( ( a, b ), ( c, d ) ) : 2 g1 = gcd ( a, d ) 3 g2 = gcd ( b, c ) 4 r e t u r n ( ( a/g1 ) ( c /g2 ), ( b/g2 ) ( d/g1 ) ) Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

15 Lemma von Bezout Lemma a, b N x, z Z : ggt(a, b) = x a + y b Die Berechnung von x, y ist über eine Erweiterung der Euklid Formel möglich Erweiterter Euklid 1 d e f e u c l i d ( a, b ) : 2 i f b == 0 : 3 r e t u r n ( a, 1, 0) 4 r e c = e x t e u c l i d ( b, a % b ) 5 r e t u r n ( r e c [ 0 ], r e c [ 2 ], r e c [ 1 ] ( a / b ) r e c [ 2 ] ) Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

16 Diophanische Gleichungen 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Diophantische Gleichungen Definition 4 Primzahlen Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

17 Definition diophantische Gleichungen Diophantische Gleichungen sind Gleichungen der Form f (x 1, x 2, x 3,..., x n ) = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten Leider ist die Lösbarkeit einer generellen, diophantischen Gleichung unentscheidbar. lineare diophantische Gleichungen Lineare diophantische Gleichungen lassen sich in der Form a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n + c = 0 darstellen. Lineare diophantische Gleichungen sind genau dann lösbar, wenn ggt (a 1, a 2, a n ) Teiler von c ist. Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

18 Lösung für 2 Variablen Partikulärlösung a 1 x 1 + a 2 x 2 = c, g = ggt(a 1, a 2 ) a 1 g x 1 + a 2 g x 2 = c g a 1 g und a 2 g haben jetzt den ggt von 1, für die Gleichung a 1 g x 1 + a 2 g x 2 = 1 lässt sich somit mit dem erweiterten Euklid eine Lösung finden. Mit x 1 = c g x 1, x 2 = c g x 2 haben wir eine Lösung für die Gleichung gefunden. Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

19 Weitere Lösungen a 1 x 1 + a 2 x 2 = c a 1 c g x 1 + a 2 c g x 2 = c (a 1 c g x 1 + a 1a 2 k) + (a 2 c g g x 2 a 1a 2 k) = c g a 1 ( c g x 1 + a 2 g k) + a 2( c g x 2 a 1 g k) = c Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

20 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Diophantische Gleichungen 4 Primzahlen Definition & Eigenschaften Primzahltests Faktorisieren Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

21 Motivation Primzahlen für eine Vielzahl von Anwendungen günstig z. B. Hashtables Kryptographische Sicherheit Abhängig von Zerlegung in Primfaktoren... Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

22 Definition Wann ist n eine Primzahl? x, y [2..n) x y = n x < n : ggt (x, n) = 1 Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

23 Eigenschaften von Primzahlen Satz von Fermat Für jede Primzahl gilt, a, ggt(a, p) = 1 : a p 1 1 mod p Achtung! der Umkehrschluss ist nicht zulässig, n : a : a n 1 1 mod n. Solche n nennt man auch Pseudoprimzahlen oder Carmichael Zahlen. π Funktion Die π-funktion π(n) gibt die Anzahl der Primzahlen von 2 bis n einschließlich n an. Als nützliche Näherung gilt log n π(n) Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

24 Eulersche ϕ Funktion ϕ(n) := {1 a n ggt (a, n) = 1} In anderen Worten: Die Anzahl der zu n Teilerfremden Zahlen (kleiner n). Der Wert von ϕ(n) lässt sich näherungsweise festlegen mit ϕ(n) n 3. π 3 Für Primzahlen ist ϕ(n) = n 1 Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

25 einfacher Primzahltest Daraus lässt sich bereits ein einfacher Primtest ableiten: Code 1 d e f prime ( number ) : 2 f o r i i n r a n g e ( 2, s q r t ( number ) ) : 3 i f number % i == 0 : 4 r e t u r n F a l s e 5 r e t u r n True Aber: Der Test läuft in O( n), mit n als zu überprüfende Zahl, in Abhängigkeit von der länge von n somit exponentiell. Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

26 Sieb des Eratosthenes Code Wenn n nicht durch eine Zahl x teilbar ist kann auf den Test mit vielfachen von x verzichtet werden. Überprüfung aller Zahlen bis n ( n) um n auf Primzahl zu prüfen Nach Aufbau der Tabelle sind Tests auf Primzahl in O(1) realisierbar 1 d e f prime ( number ) : 2 s i e v e = [ True f o r i i n 3 r a n g e ( 0, number+1) ] 4 f o r i i n range (2, max ) : 5 i f s i e v e [ i ] : 6 f o r j i n range ( i, max, j = j + i ) : 7 s i e v e [ j ] = F a l s e 8 r e t u r n s i e v e [ number ] Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

27 Miller-Rabin-Test Diese Tests sind natürlich für große Primzahlen inpraktikabel Bessere Laufzeit kann mit Probabilistischen Algorithmen erreicht werden, allerdings können diese nicht beweisen, dass eine Zahl Prim ist. Idee Sammeln von Beweisen (Zeuge), dass die Zahl zusammengesetzt ist Ein solcher Zeuge lässt sich aus dem Satz von Fermat ableiten Carmichael Zahlen werden jetzt noch nicht erkannt Weiteres Lemma: e N : x 2 1 mod p e x = 1 x = 1, daraus lässt sich ein weiterer Zeuge konstruieren Es lässt sich zeigen, das für jedes zusammengesetzte n gibt es höchstens n 1 2 Zahlen, die nicht als Zeugen fungieren können Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

28 Miller-Rabin Test 1 d e f prime ( number ) : 2 t e s t s = 15 3 i f 2 == number or 3 == number : 4 r e t u r n True 5 d = number 1 6 s = 0 7 w h i l e d % 2 == 0 : 8 s += 1 9 d /= 2 10 f o r i i n r a n g e ( 0, t e s t s ) : 11 rnd = randomint ( 2, number 2) 12 x = f a s t e x p ( rnd, d, number ) 13 f o r i i n range ( 1, s +1): 14 n x = mul ( x, x, m) 15 i f 1 == n x and 1!= x and number 1!= x : 16 r e t u r n F a l s e 17 x = n x 18 i f 1!= x : 19 r e t u r n F a l s e 20 r e t u r n True Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

29 Faktorenzerlegung Für alle natürlichen Zahlen größer 1 gibt es genau eine Zerlegung der Form pa l pb m pn d mit allen p als Primzahlen. Man nennt diese p primfaktoren. Wie findet man diese p Testdivision 1 d e f f a c t o r ( n ) : 2 f o r i i n r a n g e ( 2, s q r t ( n ) ) : 3 i f n%i == 0 : 4 r e t u r n i Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

30 Pollard s Rho Wir mocheten n faktorisieren und wissen, dass n zusammengesetzt ist, einer der Faktoren ist d Gilt für 2 (pseudo)zufällige Zahlen a, b: a b mod d, so ist a b ein Vielfaches von d, ggt(n, a b) ein Faktor von n Sobald der Algorithmus in einen Zyklus läuft kann abgebrochen werden, kein Faktor wurde gefunden. Randomisierter Algorithmus, nicht immer muss ein Faktor gefunden werden, selbst wenn einer Existiert. Die Ergebnisse sind Faktoren von n, nicht zwingendermaßen Primfaktoren Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

31 Pollard s Rho 1 d e f p o l l a r d s r h o ( n ) : 2 i = 1 3 y = x = r a n d i n t ( 0, n 1) 4 k = 2 ; 5 w h i l e True : 6 i = i x = mul ( x, x, n ) 8 d = ggt ( y x, n ) 9 i f x == y : 10 r e t u r n 0 11 i f d!= 1 and d!= n : 12 r e t u r n d 13 i f i == k : 14 y = x 15 k = k 2 Beim Ausführen des Tests für (257 * 65537) wurde bei etwa 75 % der Durchläufe ein Faktor gefunden (65537 nur in 0.1 % der Versuche). Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32

32 Literatur Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2 edition, Volker Heun. Grundlegende Algorithmen. vieweg, 1 edition, Donald E. Knuth. The Art Of Computer Programming, volume 2. Christian Kollee. Zahlentheorie. Hallo Welt für Fortgeschrittene, Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32