Hallo Welt für Fortgeschrittene

Transkript

1 Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II Benjamin Fischer Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

2 Gliederung Lineare Rekursion BigInteger Chinesischer Restsatz Diophantische Gleichungen Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 2

3 Lineare Rekursion - Fibonacci Wir betrachten die Fibonacci-Folge mit der Differenzengleichung: Wir wissen bereits Naiver Ansatz : rekursive Berechnung stößt schnell an seine Grenzen... Dynamische Programmierung hoher Speicheraufwand Formel von Moivre/Binet ungenau für große n Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 3

4 Lineare Rekursion Für viele Folgen exisitiert eine lineare Differenzengleichung der Form: mit k Konstanten c i und k Startwerten a i Diese treten bei fast allen linear rekursiven Problemen auf Wie berechnet man diese effizient? Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 4

5 Lineare Rekursion - Fibonacci Berechnung mit der Fibonacci Q-Matrix: Satz von Cassini Fibonacci rekursiv Herleitung an der Tafel... Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 5

6 Herleitung zusammengefasst ;) Schreibe (2) als Ergibt mit den Startwerten Also Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 6

7 Lineare Rekursion - Fibonacci Was bringt uns das? Matrix-Multiplikation ist assoziativ Potenzgesetze ausnutzen Gesamtlaufzeit für n x n Matrix Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 7

8 Fibonacci Vergleich Laufzeiten Rekursiv Dynamische Programmierung Q-Matrix Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 8

9 Lineare Rekursion Fibonacci (Beispiel) Berechnung von Fib(42) Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 9

10 Lineare Rekursion Weiteres Beispiel Gegegeben sei die lineare Differenzengleichung Mit den Startwerten In Matrixform Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 10

11 Lineare Rekursion Weiteres Beispiel (2) Lösung Beispiel für n = 4 Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 11

12 BigInteger Motivation Primitive Datentypen (int/float, long/double, usw.) für viele numerische Berechnungen nicht ausreichend Maximal int128 mit 16 Byte, Wertebereich: -1,7*10 38 bis 1,7*10 38 (signed), 0 bis 3,4 *10 38 (unsigned) Zum Beispiel in der Kryptografie, Finanzmathematik, numerischen Algebra,... Übersicht für Programmiersprachen (Beispiel in Java): C/C++ : gmp-library Haskell/Python : implizit, aufgrund eines anderen Paradigma Java : BigInteger Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 12

13 BigInteger Die Klasse java.math.biginteger Ermöglicht das Rechnen mit Ganzzahlen beliebiger Größe Bietet weitere Funktionalitäten wie Bestimmung des ggt Modulare Arithmetik Erzeugung von Pseudo-Primzahlen Analog für Gleitkommazahlen mit java.math.bigdecimal Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 13

14 BigInteger Übersicht einiger Methoden Konstruktoren // erzeugt BigInteger-Objekt mit Ziffern-String BigInteger ( String val ) ; // erzeugt BigInteger-Objekt mit Ziffern-String zur Basis radix BigInteger ( String val, int radix ) ; // erzeugt BigInteger-Objekt mit Byte-Array im Zweierkomplement BigInteger ( byte[] val ) ; // BigInteger konstant 1 final BigInteger ONE ; // BigInteger konstant 10 final BigInteger TEN ; Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 14

15 BigInteger Arithmetische Operatoren // Addition BigInteger add ( BigInteger val ) ; // Multiplikation BigInteger multiply ( BigInteger val ) ; // Subtraktion BigInteger subtract ( BigInteger val ) ; // usw... // Bestimmung des ggt BigInteger gcd ( BigInteger val ) ; // Primzahl-Test boolean isprobableprime ( int certainty ) ; Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 15

16 BigInteger mit Fibonacci-Q-Matrix import java.math.biginteger ; public class BigInt { public static BigInteger[][] Q = new BigInteger[2][2]; public static BigInteger[][] res = new BigInteger[2][2]; public static void main ( String[] args ) { initq(q); inite(res); ComputeFibQ(10000); } public static void computefibq ( long n ) { pow(q,n,res); System.out.println( "Fib(" + n + ") = " + res[0][1].tostring()); } Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 16

17 BigInteger mit Fibonacci-Q-Matrix (2) public static void initq ( BigInteger[][] m ) { m[0][0] = m[0][1] = m[1][0] = BigInteger.ONE; m[1][1] = BigInteger.ZERO; } public static void inite ( BigInteger[][] m ) { m[0][0] = m[1][1] = BigInteger.ONE; m[0][1] = m[1][0] = BigInteger.ZERO; } public static void copy ( BigInteger[][] m1, BigInteger[][] m2 ) { m1[0][0] = m2[0][0]; m1[0][1] = m2[0][1]; m1[1][0] = m2[1][0]; m1[1][1] = m2[1][1]; } Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 17

18 BigInteger mit Fibonacci-Q-Matrix (3) public static void multiply ( BigInteger[][] m1, BigInteger[][] m2 ) { BigInteger[][] cur = new BigInteger[2][2]; cur[0][0] = (m1[0][0].multiply(m2[0][0])).add(m1[0][1].multiply(m2[1][0])) ; cur[0][1] = (m1[0][0].multiply(m2[0][1])).add(m1[0][1].multiply(m2[1][1])) ; cur[1][0] = (m1[1][0].multiply(m2[0][0])).add(m1[1][1].multiply(m2[1][0])) ; cur[1][1] = (m1[1][0].multiply(m2[0][1])).add(m1[1][1].multiply(m2[1][1])) ; copy(m1,cur); } public static void pow ( BigInteger[][] Q, long n, BigInteger[][] cur ) { while (n > 0) { if (n % 2 == 0) { multiply (Q,Q) ; n /= 2 ; } else { multiply(cur,q) ; n-- ; } } } Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 18

19 Chinesischer Restsatz Historisches erste Version des Satzes von Sun Zi (chinesischer Mathematiker) ca. im 3. Jhdt v.chr. In dieser Form wurde der Satz von Ch in Chiu-Shao im Jahre 1247 bewiesen Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 19

20 Chinesischer Restsatz Problem Dies ist ein System linearer Kongruenzen (sogenannte simultane Kongruenz) Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 20

21 Chinesischer Restsatz In diesem Sinne sind 4 Fragen zu beantworten Wann exisitiert eine Lösung? Ist diese Lösung eindeutig? Wie berechnet man diese? Wo findet der chinesische Restsatz Anwendung? Bemerkung: Zunächst Analyse von Systemen bestehend aus 2 Kongruenzen Anschließend Rückführung auf den allgemeinen Fall (formal per Induktion über die Länge des Systems) Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 21

22 Chinesischer Restsatz Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 22

23 Beweis Eindeutigkeit Annahme : Daraus folgt : Das impliziert : Also : Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 23

24 Chinesischer Restsatz Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 24

25 Problem Keine Lösung (I) Lösung (II) Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 25

26 Chinesischer Restsatz (Zusammenfassung) Vorteil: m 1 und m 2 müssen nicht teilerfremd sein! Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 26

27 Chinesischer Restsatz Lösung 1. Erhalte simultange Kongruenz als Eingabe 2. solange mehr als eine Gleichung vorhanden ist 2.1 Fasse zwei Gleichungen mit dem Verfahren von vorheriger Folie zusammen 2.2 Entferne die zwei Ausgangsgleichungen und füge Ergebnis hinzu 3. verbleibende Gleichung ist Lösung Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 27

28 Chinesischer Restsatz Beispiel 1. Schritt: (I) und (II) Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 28

29 Chinesischer Restsatz 2. Schritt: (I') und (III) Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 29

30 Chinesischer Restsatz Lösung gefunden! Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 30

31 Diophantische Gleichungen Allgemeine diophantische Gleichung mit f Polynomfunktion und ganzzahligen Koeffizienten Beispiele Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 31

32 Diophantische Gleichungen Problem Lösbarkeit einer allgemeinen diophantischen Gleichung unentscheidbar Hilberts zehntes Problem, Beweis Matijassewitsch, 1970 Betrachtung von linearen diophantischen Gleichungen Algorithmen zur Bestimmung einer Lösung Anwendung beispielsweiße in der Produktverteilung Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 32

33 Lineare Diophantische Gleichungen In diesem Sinne stellen sich wieder die Frage Wann exisitiert eine Lösung? Ist diese Lösung eindeutig? Wie berechnet man diese Lösung? Ausgehend von 2 Unbekannten, Ruckführung auf allgemeinen Fall Von Interesse sind nur ganzzahlige Lösungen Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 33

34 Lineare Diophantische Gleichungen Allgemeine Form Lösbarkeit Bemerkung : für c = 0 exisitert offensichtlich x 1 = x 2 = 0 als Lösung Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 34

35 Lineare Diophantische Gleichungen Bestimmung einer Lösung Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 35

36 Lineare Diophantische Gleichungen Bestimmung aller Lösungen Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 36

37 Lineare Diophantische Gleichungen Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 37

38 Lineare Diophantische Gleichungen Beweis Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 38

39 Lineare Diophantische Gleichungen Allgemeiner Fall Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 39

40 Lineare Diophantische Gleichungen Algorithmus 1. Reduziere Ausgangsgleichung auf zwei Unbekannte 2. Löse diese mit bekanntem Verfahren 3. Löse in k-2 Schritten die substituierten Gleichungen, pro Schritt wird eine Lösung von x i erhalten 4. Lösung für alle x i gefunden Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 40

41 Lineare Diophantische Gleichungen - Beispiel Ausgangsgleichung Exisitieren Lösungen? Reduktion auf 2 Unbekannte 1. Schritt 2. Schritt Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 41

42 Lösungsverfahren 1. Schritt Partikuläre Lösungen für x 1 und y 2 Allgemeine Lösungen für x 1 und y 2 Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 42

43 Lösungsverfahren 2. Schritt Partikuläre Lösungen für x 2 und y 1 Allgemeine Lösungen für x 2 und y 1 Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 43

44 Lösungsverfahren 3. Schritt Partikuläre Lösungen für x 3 und x 4 Allgemeine Lösungen für x 3 und x 4 Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 44

45 Lösungsverfahren Lösung Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 45

46 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Noch Fragen? Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 46

47 Quellen Lineare Rekursion BigInteger Chinesischer Restsatz /docs/crt.pdf Diophantische Gleichungen Hallo-Welt-Folien Hallo Welt für Fortgeschritten ZAA2 Benjamin Fischer Folie 47