Arithmetik. Bemerkungen zu Primzahlen

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1 Arithmetik Bemerkungen zu Primzahlen

2 Die Suche nach Mustern und Tendenzen spielt bei der Erforschung der Verteilung der Primzahlen eine wichtige Rolle. Es gibt unendlich viele Primzahlen. (Beweis von Euklid) Der Abstand zwischen den Primzahlen wird im Mittel immer länger.

3 Der Primzahlsatz gibt eine Formel an, die besagt, dass der durchschnittliche Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen in der Nähe der Zahl n nahe beim natürlichen Logarithmus von n liegt. z.b. Liegt n in der Nähe von 100, so hat der natürliche Logarithmus von n ungefähr den Wert 4,6. Also: Etwa jede fünfte Zahl sollte in diesem Bereich eine Primzahl sein.

4 Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen kann beliebig groß werden.

5 Satz von Green-Tao, 2004 (Teilaussage): Die Primzahlen enthalten beliebig lange arithmetische Progressionen, d.h. für jede natürliche Zahl k>2 gibt es eine Folge p 1,..., p k von Primzahlen mit p 2 -p 1 =p 3 - p 2 =...=p k -p k-1. Z. B. ist 7, 37, 67, 97, 127, 157 eine arithmetische Progression der Länge k=6 aus Primzahlen. Man beachte: Der Satz garantiert zwar beliebig lange Progressionen aus Primzahlen, unendlich lange gibt es jedoch nicht, denn n+jd ist für j=n sicher nicht prim.

6 Muster 7, 37, 337, 3337, 33337, sind Primzahlen. Aber: ist nicht Primzahl. Formeln, die viele Primzahlen liefern: x 2 x 17 2 x x 41 (liefert eine Folge von 40 Primzahlen, wobei mit x=0 begonnen wird.)

7 Spiralförmige Anordnung der Primzahlen zwischen 41 und 439. Die Zahlen in der Hauptdiagonalen genügen der Formel: x 2 x 41

8 Mersennesche Zahlen sind Zahlen der Form M k =2 k -1, wobei k eine Primzahl ist. Unter den Mersenneschen Zahlen gibt es Primzahlen, die sog. Mersenneschen Primzahlen. Primzahl-Rekord 2006: Die Mersenne-Zahlen und wurden als 43te bzw. 44te Mersenne-Primzahlen nachgewiesen. Sie haben bzw Stellen. Primzahl-Rekord 2008: Die Mersenne-Zahlen und wurden als 45te bzw. 46te Mersenne-Primzahlen nachgewiesen. Sie haben bzw Stellen. Für eine Mersenne-Primzahl mit mind. 10 Millionen Stellen wurde eine Belohnung von Dollar ausgeschrieben. (Siehe und : Die Mersenne-Zahlen wurden als 49te Mersenne-Primzahl nachgewiesen. Sie hat Stellen.

9 Primzahlzwillinge: Zwei Primzahlen mit dem Abstand 2 bilden einen Primzahlzwilling. z.b.: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59, 61), (71,73), (101,103) Primzahldrillinge: I. A. spricht man von Primzahldrillingen, wenn unter vier aufeinander folgenden ungeraden Zahlen drei Primzahlen sind. (Vgl. hiervon abweichende Def. in den Übungen.) z. B.: (5,7,11), (7,11,13), (11,13,17), (13,17,19), (17,19,23), (37,41,43) Primzahlvierlinge: Man spricht von Primzahlvierlingen, wenn unter fünf aufeinander folgenden ungeraden Zahlen die ersten beiden und die letzten beiden jeweils ein Primzahlzwilling sind. z.b.: (5,7,11,13), (11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199) Bis heute unbewiesene Vermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, unendlich viele Primzahldrillinge und unendlich viele Primzahlvierlinge.

10 Erster gigantischer Primzahldrilling im Oktober 2008 (wahrscheinlich) gefunden Norman Luhn fand ein Primzahldrilling (wahrscheinlich) mit genau Stellen. Das Primzahlentupel lautet p= * 2^ , p+2,p+6. Mit freundlicher Unterstützung von Francois Morain aus Frankreich, wird für die dritte Zahl p+6 ein Echtheitszertifikat mittels ECPP berechnet, da es sich im Moment nur um ein wahrscheinliche Primzahl handelt. Stand: Februar 2009

11 Weiteres aus neuerer Forschung: Yitang Zhang (ausgezeichnet mit Preisen in 2013, 2014) hat mit trickreichen Ideen gezeigt, dass es unendlich viele Primzahl-Paare gibt, die den Abstand kleiner gleich haben ein bedeutender Schritt in Richtung Beweis der Primzahlzwillingsvermutung. Inzwischen wurde die Schranke noch weiter nach unten gedrückt. (Quelle: MDMV 22/2014, S. 13)

12 Goldbachsche Vermutungen Schwache Goldbachsche Vermutung: Jede ungerade Zahl größer als 5 lässt sich als Summe von drei Primzahlen schreiben. (Noch unbewiesen, Stand 2012) Starke Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe von zwei Primzahlen schreiben. (Noch unbewiesen, Stand 2012) Weitere Vermutung von Goldbach ( ) später als falsch erkannt Jede ungerade Zahl lässt sich als Summe aus einer Primzahl und dem Doppelten einer Quadratzahl schreiben. Z. B. 11 = oder 23 = Für die ersten 2500 Zahlen wurde die Behauptung durch Euler überprüft und bestätigt. Erst ein Jahrhundert später wurde die Behauptung widerlegt. Gegenbeispiele: 5777 und 5993 lassen sich nicht als solch eine Summe schreiben. (Quelle: MDMV 18/2010, S )

13 Magisches Quadrat aus Primzahlen Magische Zahl: 240 Sie realisiert sich in Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen, zudem in allen 2x2 Unterquadraten. (Quelle: MDMV 20/2012, S. 198)