Primzahlen Christoph & Dieter Küntzel, 2013

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1 Primzahlen Christoph & Dieter Küntzel,

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Definition der natürlichen Zahlen, die Peano Axiome Beweistechniken Vollständige Induktion Direkter Beweis Beweis durch Widerspruch Definition der Primzahlen und grundlegende Sätze Primzahlzerlegung von natürlichen Zahlen Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung Anzahl der Primzahlen Lücken in der Folge der Primzahlen Existenz beliebig großer Lücken Obere Schranke für die Lücken Real auftretenden Lücken Ermitteln / erzeugen von Primzahlen Sieb des Eratosthenes Funktionen die Primzahlen erzeugen Verteilung der Primzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen Primzahlzwillinge Die Goldbachsche Vermutung Primzahlen in arithmetischen Folgen Anwendung der Primzahltheorie in der Biologie Zusammenfassung Literaturverzeichnis

3 1. Einleitung Die Grundidee zu dieser Arbeit ist der Maturaarbeit [19] von einem der Autoren entnommen Es wird hier eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die Primzahlen untersucht. Vorab aber einige Bemerkungen zur Menge der natürlichen Zahlen. Vom Zählen kennt jeder die natürlichen Zahlen und nach einem Wort von Leopold Kronecker (geboren 7. Dezember 1823 in Liegnitz/Schlesien, gestorben 29. Dezember 1891 in Berlin) hat sie der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk. Trotzdem können wir die Menge der natürlichen Zahlen definieren. Dies werden wir im ersten Kapitel tun. Anschließend werden einige Beweismethoden vorgestellt, die in der Arbeit benutzt werden. 1.1 Definition der natürlichen Zahlen, die Peano Axiome Die Menge der natürlichen Zahlen N wird durch 5 Axiome, also festgelegte Prinzipien, definiert [3]: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl. 4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich. 5. Enthält die Menge M die Zahl 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von M. Dieses Axiom heißt Induktionsaxiom. Das heißt, dass die natürlichen Zahlen durch das natürliche Zählen bestimmt sind. Zählen heißt, von einem Startwert hier 1 - ausgehend, nach und nach einen Schritt weiter zu zählen. 1. Die erste und dritte Eigenschaft legt den Rahmen für den Start fest. 2. Die zweite Eigenschaft sichert, dass man endlos / unendlich weiter zählen kann. Das Weiter -Zählen ist damit Bestandteil der Definition. 3. Die vierte Eigenschaft besagt (negativ formuliert), dass wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann auch die beiden jeweiligen Nachfolger verschieden sind. Damit gibt es keine Verzweigungen, sondern die natürlichen Zahlen bilden eine Kette. 4. Die fünfte Eigenschaft besagt, dass wenn man bei 1 anfängt und keinen einzelnen Zählvorgang auslässt, man dann vollständig alle natürlichen Zahlen abzählt. Darauf basiert die Beweismethode der vollständigen Induktion. Darüber hinaus wird festgelegt, dass eine Menge die diese Eigenschaft hat, die natürlichen Zahlen enthält. Die Menge der natürlichen Zahlen ist damit die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und in diesem Sinne einmalig. Die natürlichen Zahlen einschließlich der 0 wird als N₀ = N {0} bezeichnet. Auf der Menge N werden die Operationen Addition und Multiplikation sowie eine Ordnungsrelation eingeführt. Damit ist 1 die kleinste Zahl in N, d.h für alle n N gilt 1 n. 3

4 Es ergibt sich dann für die jeweiligen Nachfolger von n, m: n = n + 1, n + m =(n + m) = (n + m) + 1, n * m = n * m + n Die Umkehroperationen zu Addition und Multiplikation führt aus den natürlichen Zahlen heraus: 1. die Subtraktion führt auf die Menge der ganzen Zahlen, Z, 2. die Division führt auf die Menge der rationalen Zahlen (Brüche), Q. Aus den Axiomen folgt das Minimalprinzip, ist also ein beweisbarer Satz: Satz: Jede nichtleere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes Element (Minimum), Beweis: s. Kapitel 1.2.1, Beispiel 2 Dieser Satz wird später häufig benutzt, wenn vorausgesetzt wird, dass ein kleinstes Element in einer vorher definierten Menge existiert. Das ist übrigens nicht so selbstverständlich. Betrachtet man z. B. das offene Intervall in der Menge der reellen Zahlen, (0, 1), so ist das eine nicht leere Menge die kein kleinstes Element hat. Schauen wir uns 2 Teilmengen der natürlichen Zahlen an. Dazu definieren wir zuerst gerade und ungerade Zahlen: eine Zahl g heißt gerade, falls es eine Zahl n gibt mit g = 2 n eine Zahl u heißt ungerade, falls es eine Zahl n 0 gibt mit u = 2 n + 1 Satz: Durch - die Menge der geraden Zahlen und - die Menge der ungeraden Zahlen wird die Menge in zwei disjunkte 1 Mengen geteilt: Beweis: s. Kapitel Die ungeraden Zahlen können auch noch anders dargestellt wenden, z. B.: 4 n + 1, 4 n + 3 mit n 0 6 n + 1, 6 n + 3, 6 n + 5 mit n 0 Dass das auch tatsächlich ungerade Zahlen sind ist leicht zu erkennen, z. B.: 4 n + 1 = 2 (2 n) n + 3 = 6 n = 2 (3 n + 1) Mengen heißen disjunkt, wenn kein Element existiert, das in beiden Mengen enthalten ist. 4

5 1.2 Beweistechniken In der Mathematik müssen alle Behauptungen aus Axiomen die als wahr vorausgesetzt werden - oder anderen daraus bewiesenen Behauptungen hergeleitet werden. Im Folgenden werden einige Beweismethoden vorgestellt Vollständige Induktion Aus dem oben erklärten Induktionsaxiom folgt die Beweistechnik der vollständigen Induktion. Um zu beweisen, dass ein Satz für alle natürlichen Zahlen n m 1 gilt, genügt es zu zeigen, dass 1. er für ein spezielles n gilt, hier m genannt, also somit für n = m gilt und 2. aus der Gültigkeit des Satzes für eine gegebene Zahl n m stets seine Gültigkeit auch für die folgende Zahl n+1 folgt, Konkret wird der Beweis dann in den drei folgenden Schritten durchgeführt: Induktionsanfang: Die Behauptung wird für die kleinste natürliche Zahl m 1, für die die Behauptung gilt, gezeigt Induktionsvoraussetzung Die Behauptung wird für ein allgemeines n formuliert Induktionsschluss Der Beweis der Behauptung für (n + 1) erfolgt nun unter Benutzung der Behauptung der Induktionsvoraussetzung, also der Behauptung für n Beispiel 1 Satz: Für eine beliebige natürliche Zahl n gilt: (n 3 n) ist ein Vielfaches von 3. Beweis: 3 (n n ) ist ein Vielfaches von 3, also 3 es existiert ein k 0 mit (n n ) 3 k Induktionsanfang : n (n n ) (1 1 ) 0 für k 0 gilt: 3 k Induktionsvoraussetzung : 3 für ein n existiert ein k 0 mit (n n ) 3 k 5

6 Induktionsschluss : (n 1) (n 1) (n 3 n 3 n 1) (n 1) Also ist auch (n n 3 n 3 n 1 n n 3 n 3 n n umsortieren der Summanden 3 2 n n 3 n 3 n 3 2 (n n) 3 n 3 n Induktionsvoraussetzung liefert: 2 3 k 3 n 3 n 2 3 (k n n) 3 (n n ) 3 k 3 1) (n 1) ein Vielfaches von 3 Beispiel 2 Satz: Jede nicht leere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum. Beweis: Da jede nichtleere Teilmenge von mindestens eine natürliche Zahl n besitzt können wir zum Beweis des Satzes auch die Aussage Alle Teilmengen von, die die natürliche Zahl n enthalten, besitzen ein Minimum beweisen. Sei A eine solche Teilmenge, die die natürliche Zahl k enthält k Induktionsanfang: jede nichtleere Menge A1, die die 1 enthält, enthält auch ein Minimum. Das ist aber klar, da die 1 per Definition die kleinste natürliche Zahl, und mithin das Minimum für alle A 1 ist. Induktionsvoraussetzung: Für alle k n gelte, dass alle Ak das Minimum k besitzen. Induktionsschluss: Sei also nun B mit (n+1) B Gilt nun k B mit k < (n+1), so gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein Minimum Andernfalls besitzt die Menge B nur Zahlen k für die gelten: k B, k (n+1) Damit ist aber (n+1) per Definition das Minimum von B, also ein A n

7 1.2.2 Direkter Beweis Bei einem direkten Beweis wird die Behauptung durch logische Schlüsse aus Axiomen oder bereits abgeleiteten Aussagen bewiesen. Beispiel Behauptung: Das Produkt zweier ungerader natürlicher Zahlen ist selbst wieder ungerade, alle anderen Produkte zweier natürlicher Zahlen sind gerade. Beweis: 1. Seien 2 ungerade Zahlen gegeben durch a = 2 n + 1 b = 2 m + 1 dann folgt: a * b = (2 n + 1) (2 m + 1) = 4 n m + 2 n + 2 m + 1 = 2 (2 n m + n + m) + 1 also ist a * b ungerade 2. Seien 2 Zahlen gegeben, wobei mindestens eine gerade ist a = 2 n b beliebig dann folgt: a * b = (2 n) b = 2 (n b) also ist a * b gerade +++ Folgerung: Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade 7

8 1.2.3 Beweis durch Widerspruch Der Beweis durch Widerspruch beruht auf dem Axiom, dass eine Aussage und ihr Gegenteil nicht gleichzeitig gelten können Weiter beruht diese Beweismethode auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Dieser Satz ist ebenfalls ein Axiom das besagt, dass für eine beliebige Aussage mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten muss. Eine dritte Möglichkeit, also etwas Dazwischenliegendes, (z. B. nicht entscheidbar ) das weder die Aussage, noch ihr Gegenteil ist, gibt es nicht. Konkret wird der Beweis dann in den folgenden Schritten durchgeführt: 1. Beweisanfang: Behauptung Die Behauptung wird aufgestellt. 2. Annahme: Gegenteil der Behauptung ist wahr Die Behauptung wird negiert (Gegenteil wird ermittelt). Hier einige Beispiele für Negationen: 1) = ist 2) < ist Anmerkung: Gegenteil ist nicht > 3) > ist Anmerkung: Gegenteil ist nicht < 4) (für alle gilt...) ist (es existiert ein für das gilt nicht ) 5) (A oder B) ist (nicht A und nicht B) 3. Konstruktion eines Widerspruchs Durch logische Schlüsse aus dem unter 2 aufgestellten Gegenteil der Behauptung oder einer Folgerung daraus wird ein Widerspruch abgeleitet. Damit ist die Annahme falsch, dass das Gegenteil der Behauptung richtig sei, und somit ist die ursprüngliche Behauptung richtig. Zu dieser Beweistechnik hier ein sehr einfaches Beispiel als Folgerung aus dem im vorherigen Abschnitts gewählten Beispiel. Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden Zahl eine natürliche Zahl, so ist diese gerade. Beweis: Annahme: Ist die Wurzel aus einer geraden Zahl eine natürliche Zahl, so ist diese ungerade Quadrat der Wurzel ungerade, s. Beh. in d. i. Widerspruch zur Annahme, dass die Wurzel aus einer geraden Zahl gezogen wird Wurzel ist gerade 8

9 Nun können wir auch den obigen Satz beweisen nach dem jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade, aber nicht beides ist Satz: Durch - die Menge der geraden Zahlen und - die Menge der ungeraden Zahlen wird die Menge in zwei disjunkte Mengen geteilt. Beweis: 1 ist eine ungerade Zahl, da 1 = 2 * ist eine gerade Zahl, da 2 = 2 * 1 3 ist eine ungerade Zahl, da 3 = 2 * Alle Zahlen sind verschieden, und die Darstellungen sind eindeutig Annahme: es gibt mindestens eine Zahl v > 3, die sowohl ungerade als auch gerade ist wir wählen die kleinste Zahl z, die diese Eigenschaft hat, dann gilt z = 2 n = 2 m + 1 mit n, m > 1 also ist z > 3 Betrachten wir nun w = z 2 < z dann gilt w = 2 n 2 = 2 (n 1) also ist w gerade und w = (2 m + 1) 2 = (2 m 2) + 1 = 2 (m 1) + 1 also ist w ungerade das ist aber ein Widerspruch dazu, dass z die kleinste Zahl ist, die sowohl ungerade als auch gerade ist +++ 9

10 2. Definition der Primzahlen und grundlegende Sätze Viele natürlichen Zahlen lassen sich in kleinere Faktoren zerlegen, z.b. 21 3* * 4*8* * = 12 * 13 * 47 * 331 Diejenigen natürlichen Zahlen, die sich nicht weiter in Faktoren zerlegen lassen heißen Primzahlen. Präziser wird das folgendermaßen formuliert in der Definition: Eine natürliche Zahl p größer als 1 ist eine Primzahl, wenn sie 1) keine anderen Faktoren 2 enthält als sich selbst und die 1 oder auch 2) wenn sie keinen Teiler 2 d mit 1 < d < p besitzt. Eine natürliche Zahl die größer als 1 ist und die keine Primzahl ist heißt zusammengesetzte Zahl. Beispiele für Primzahlen sind 2, 3, 5, 31, 97, , für zusammengesetzte Zahlen s. oben. Die Menge aller Primzahlen schreiben wir als P = {p p Primzahl} 2.1 Primzahlzerlegung von natürlichen Zahlen Als erstes soll die Frage geklärt werden, ob es natürliche Zahlen > 1 gibt, die nicht als Produkt von Primzahlen geschrieben werden können. Die Anschauung (s. o. Beispiele) legt nahe, dass das nicht der Fall ist, aber es ist zu beweisen. Satz 1: Jede natürliche Zahl > 1 kann als ein Produkt von Primzahlen dargestellt werden oder ist selbst eine Primzahl [1]. Beweis: Sei nun m eine natürliche Zahl, die selbst keine Primzahl ist. Dann kann sie in andere natürliche Zahlen m 1, m 2 > 1 zerlegt werden sonst wäre sie selbst eine Primzahl - also etwa m = m 1 * m 2 mit 1 < m 1 < m, 1 < m 2 < m 1.1.1) ist m 1 Primzahl brauchen wir nicht mehr weitermachen 1.1.2) ist m 1 keine Primzahl, so wird sie in weitere Faktoren zerlegt: m 1 = m 11 * m 12 mit 1 < m 11 < m 1, 1 < m 12 < m ) entsprechend 1.1.1), 1.1.2) wird mit m 11 und m 12 verfahren Da die Faktoren immer kleiner werden, aber größer als 1 sind, muss das Verfahren nach endlich vielen Schritten abbrechen und wir erhalten k Faktoren, die allesamt Primzahlen sind: 2 Eine natürliche Zahl a heißt Faktor/Teiler einer natürlichen Zahl b, wenn es eine natürliche Zahl c gibt, so dass b = a c 10

11 m 1 = p 1 * p 2 * * p k mit p i Primzahlen 2.1.1) ist m 2 Primzahl brauchen wir nicht mehr weitermachen 2.1.2) ist m 2 keine Primzahl, so wird sie in weitere Faktoren zerlegt: m 2 = m 21 * m 22 mit 1 < m 21 < m 2, 1 < m 22 < m ) entsprechend 2.1.1), 2.1.2) wird mit m 21 und m 22 verfahren analog oben erhalten wir l Faktoren, die allesamt Primzahlen sind: m 2 = q 1 * q 2 * * q l mit q i Primzahlen also kann jede Zahl m, die selbst keine Primzahl ist als endliches Produkt von Primzahlen geschrieben werden: m = p 1 * p 2 * * p k * q 1 * q 2 * * q l mit k + l endlich Da manche Primzahlen möglicherweise mehrfach vorkommen, kann man das Produkt auch in folgender Form schreiben: j1 j j 2 n 1 2 n 1 n 1 n m r * r * * r mit r,..., r Primzahlen und j,..., j, n endlich Diese Produktdarstellung nennt man Primzahlzerlegung von m. 2.2 Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung Nun stellt sich aber die Frage, ob die oben angegebene Primzahlzerlegung eindeutig ist oder nicht. Klar ist, dass jede Primzahlzerlegung nur bis auf Vertauschung der Primfaktoren eindeutig sein kann, da das Produkt natürlicher Zahlen kommutativ ist, d.h. a * b = b * a für alle a, b gilt. Im Folgenden wird nun gezeigt, dass aber darüber hinaus die Primzahlzerlegung eindeutig ist Satz 2: Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie - ZPE-Satz 4 Für alle natürlichen Zahlen n > 1 ist die Zerlegung in Primzahlen bis auf die Anordnung der Primzahlfaktoren eindeutig [1]. Beweis: Der Beweis wird indirekt erbracht, Dazu wird das Gegenteil der Behauptung angenommen und zu einem Widerspruch geführt. Daraus folgt dann, dass die ursprüngliche Behauptung richtig ist. Annahme: Es existiert mindestens eine natürliche Zahl deren Zerlegungen in Primzahlen wesentlich verschieden sind, d.h. sich nicht nur in der Reihenfolge der Faktoren unterscheiden 3 Mit +++ kennzeichnen wir das Ende eines Beweises 4 ZPE = Zerlegung in Primzahlen ist Eindeutig 11

12 Wählt man nun die kleinste dieser Primzahlen p (die es immer gibt) (#), dann gilt: p = p 1 * p 2 * * p n = q 1 * q 2 * * q m mit n, m > 1 Weiter gilt, dass keines der p i ein Vielfaches irgendeines der q j oder gleich irgendeinem der q j ist. Andernfalls könnte man den Faktor heraus kürzen und man hätte eine kleinere Primzahl als p gefunden, deren Zerlegung in Primzahlen wesentlich verschieden ist. Aber p ist nach Voraussetzung die kleinste dieser Art. Weiter können die Faktoren so angeordnet werden, das gilt: p 1 p 2 p n und q 1 q 2 q m mit p 1 < q 1 sollte nun aber p 1 > q 1 gelten, vertauschen wir die Bezeichnungen von den p i und q i und damit ist dann die Bedingung p 1 < q 1 erfüllt. Wir untersuchen: p' = p - p 1 * q 2 * * q m > 0 weil p 1 < q 1 1) p' = p - p 1 * q 2 * * q m = q 1 * q 2 * * q m - p 1 * q 2 * * q m = (q 1 - p 1 ) q 2 * * q m 2) p' = p - p 1 * q 2 * * q m = p 1 * p 2 * * p n - p 1 * q 2 * * q m = p 1 * (p 2 * * p n - q 2 * * q m ) da gilt p 1 < q 1, folgt aus 1) p' < p und damit p' eindeutig in Primzahlen zerlegbar p ist nach Voraussetzung die kleinste der nicht eindeutig zerlegbaren Zahlen (#) aus 2) folgt, dass p 1 Teiler von p' ist wegen der eindeutigen Zerlegbarkeit von p' ist damit p 1 Teiler von (q 1 - p 1 ) oder von (q 2 * * q m ) A) Nach Voraussetzung kann p 1 nicht (q 2 * * q m ) teilen, da keines der p i ein Vielfaches irgendeines der q j ist (s. oben) B) teilt nun p 1 die Differenz (q 1 p 1 ), so gibt es eine natürliche Zahl k, so dass gilt: q 1 p 1 = p 1 k und damit q 1 = p 1 (k +1) das steht aber im Widerspruch dazu, dass q 1 Primzahl ist und somit teilt p 1 auch nicht (q 1 p 1 ) Also ist p 1 weder Teiler von (q 1 - p 1 ) noch von (q 2 * * q m ) und dass steht im Widerspruch zur Annahme p 1 ist Teiler von (q 1 - p 1 ) oder von (q 2 * * q m ). Damit hat die Annahme auf einen Widerspruch geführt und mithin gilt der ZPE Satz

13 Aus diesem zentralen Satz leiten wir eine wichtige Folgerung ab Satz 3: Wenn eine Primzahl p Teiler eines Produkts a * b ist, so teilt diese Primzahl auch a oder b [1]. Beweis: Nach Voraussetzung ist p Teiler des Produkt (a * b) Damit kann man also schreiben a * b = t * p mit t t habe folgende eindeutige Primzahlzerlegung t = t 1 * t 2 * * t k analog haben a und b jeweils folgende eindeutige Primzahlzerlegung a = a 1 * a 2 * * a l und b = b 1 * b 2 * * b m Damit kann man auch schreiben a * b = a 1 * a 2 * * a l * b 1 * b 2 * * b m = t 1 * t 2 * * t k * p = t * p Nach Satz 2 ist die Zerlegung aber eindeutig, und damit p also einem der a s oder einem der b t gleich sein. Damit ist p auch Teiler entweder von a oder b (oder beiden). +++ Bemerkung: 2 ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen sind ungerade Der ZPE Satz wirkt aber über die natürlichen Zahlen hinaus. Dies zeigt der folgende Satz: Satz 4: Die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder eine irrationale Zahl. Beweis: Annahme: die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist eine rationale Zahl. Sei n gegeben und sei weiter n keine Quadratzahl p nun gelte n mit p, q, p, q teilerfremd q n, p, q haben die eindeutige Primzahlzerlegung: k1 k2 k3 kn l1 l2 l3 lm i1 i2 i3 iu p p p p... p, q q q q... q, n r r r... r und damit gilt n n m u p p p... p k1 k2 k3 ks s l1 l2 l3 lt q1 q2 q 3... qt p p p... p damit gilt n mit alle p, q paarweise verschieden 2k1 2k2 2k3 2ks s 2l1 2l2 2l3 2lt q1 q2 q 3... qt i i1 i2 i3 iu 2l1 2l2 2l3 2lt 2k1 2k2 2k3 2ks und somit: r r r... r * q q q... q p p p... p j u t s wobei nicht alle i j gerade sein können, da nach Voraussetzung n keine Quadratzahl ist 13

14 nun sind alle Exponenten auf der rechten Seite der Gleichung gerade, auf der linken Seite ist aber mindestens ein Exponent ungerade nach dem ZPE Satz ist die Primzahlzerlegung einer natürlichen Zahl eindeutig und somit haben wir einen Widerspruch erhalten. Also ist die Annahme falsch und es folgt: die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist keine rationale Zahl und somit gilt die Behauptung von Satz Anzahl der Primzahlen Schauen wir weiter wie viele Primzahlen es gibt. Betrachten wir Ausschnitte der Länge 100 aus der Menge der natürlichen Zahlen. Bereich Anzahl der Primzahlen Primzahlen , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, , 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, , 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, , 10009, 10037, 10039, 10061, 10067, 10069, 10079, 10091, 10093, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabelle 1: Anzahl der Primzahlen in Intervallen der Länge 100 Da in jedem Intervall 5 Primzahlen liegen, liegt es nahe zu vermuten, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. In diesem Kapitel soll dies nun bewiesen werden. Der erste Beweis wurde von dem Griechen Euklid (geboren ca. 360 v. Chr. vermutlich in Athen, gestorben ca. 280 v. Chr., lehrte u. a. in Alexandria) erbracht. Satz 5: Es gibt unendlich viele Primzahlen [1]. Beweis: Wie in Satz 2 wird der Beweis indirekt erbracht, Annahme: Es gibt nur endlich (n > 1) viele Primzahlen p 1, p 2, p n. Jede andere natürliche Zahl muss also durch mindestens eine der Zahlen p i mit 1 i n teilbar sein. 5 Die Liste wurde mit der Kalkulationstabelle auf der Mathematik-Seiten von Arndt Brünner s. berechnet 14

15 Betrachten wir nun die Zahl p = p 1 * p 2 * * p n + 1 es gilt nun p > p i für alle i damit muss p eine zusammengesetzte Zahl sein Division von p durch jedes der p i liefert aber immer den Rest 1 daraus folgt, dass keines der p i Teiler von p ist also ist p selbst eine Primzahl (das wäre die (n+1). Primzahl) oder p hat eine Primzahlzerlegung, die mindestens eine weitere von p 1, p 2, p n verschiedene Primzahl q enthält, was auch die (n+1). Primzahl wäre. damit hätten wir nun mindestens (n + 1) Primzahlen, aber das steht im Widerspruch zu Annahme, dass es nur n verschiedene Primzahlen gibt also ist die Annahme falsch und es ist gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt Lücken in der Folge der Primzahlen Existenz beliebig großer Lücken In der Tabelle 1 in 2.3 sieht man, dass zwischen 2 aufeinander folgenden Primzahlen p n, p n+1 verschieden große Lücken (engl. gaps) g(n) = p n+1 p n 6 auftreten, aber immer wieder trifft man auch auf Primzahlzwillinge, das sind Primzahlen p n, p n+1 für die gilt: g(n) = p n+1 p n = 2 oder äquivalent p n+1 = p n + 2. Weiter gilt, dass g(n) = 1 nur für n = 1 (p 1 = 2, p 2 = 3) gilt, da alle p n, n > 1 ungerade (s. Bem. Satz 3) sind. Somit gilt für alle n > 1: g(n) 2 und g(n) ist, als Differenz zweier ungerader Zahlen 7, eine gerade Zahl. Für die Größe der Lücken gilt, dass für jedes beliebig k zwei aufeinanderfolgende Primzahlen existieren, zwischen denen mindestens k aufeinanderfolgende, zusammengesetzte natürliche Zahlen existieren. Präzisieren wir das im folgenden Satz 6: Ist k, k 1, eine beliebige natürliche Zahl, dann gibt es k aufeinander folgende, zusammengesetzte Zahlen [16]. Anders formuliert: Für jedes k existieren n, p n, p n+1 P, sodass g(n) = p n+1 p n k +1 gilt. Beweis: Der Beweis ist diesmal direkt. Dazu konstruieren wir eine Folge von k aufeinander folgenden Zahlen. (k+1)! +2, (k+1)! +3, (k+1)! +4,, (k+1)! +k, (k+1)! +(k+1) 8 Jede dieser Zahlen ist zusammengesetzt, denn jedes m mit 1 < m k+1 teilt [(k+1)! + m] : 6 In manchen Dokumentationen ist die Lücke definiert durch g*(n) = p n+1 p n 1, d. i. die Anzahl der Zahlen zwischen 2 aufeinander folgenden Primzahlen, z. B.: g*(1) = 0 und bei Primzahlzwillingen g*(n) = 1. Es gilt also g*(n) = g(n) 1 7 g(n) = p n+1 p n = (2 l + 1) (2 k + 1) = 2 (l k) mit l > k 8 Definition: n! = 1 * 2 * 3* * (n-2) * (n-1) * n, gesprochen n Fakultät 15

16 (k+1)! + m = 1 * 2 * * m *... * k * (k + 1) + m = [1 * 2 * * (m-1) * (m+1) *... * k * (k + 1) + 1] * m +++ Wir haben damit eine beliebig große, endliche Lücke zwischen zwei natürlichen Zahlen konstruiert, die nur aus zusammengesetzten Zahlen besteht. Es sei in Ergänzung noch darauf hingewiesen, dass dabei aber weder ((k+1)! + 1) noch ((k+1)! + (k+1) + 1) eine Primzahl sein muss 9, z. B.: k = 4: 5! + 1 = 121 = 11 * 11, 5! = 126 = 2 * 3 * 3 * 7 Betrachten wir einige Beispiel dazu: k = 2: 3!+2, 3!+ 3: 8, 9 die gefundene Folge ist sogar Teil einer längeren: 8, 9, 10 (Länge 3) zwischen den Primzahlen 7 und 11 k = 3: 4!+2, 4!+ 3, 4!+4: 26, 27, 28: es gibt eine 3er Folge kleinerer Zahlen: 8, 9, 10 und die ermittelte Folge ist Teil einer längeren Folge zwischen den Primzahlen 23 und 29 (Länge 5) k = 4: 5!+2, 5!+ 3, 5!+4, 5!+5: 122, 123, 124, 125 es gibt eine 4er Folge kleinerer Zahlen: 24, 25, 26, 27, 28 ; die gefundene Folge ist sogar Teil einer längeren zwischen 113 und 127 (Länge 13) Der Algorithmus sichert also nur, dass es entsprechend lange Folgen zusammengesetzter Zahlen gibt, sagt aber nichts darüber aus, wo die Folge mit dem kleinsten Folgenbeginn liegt. Schauen wir uns die Werte einiger Fakultäten an: 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = ! = ! = ! = ! = Man erkennt, dass man unter Umständen (siehe Bemerkung oben) schon sehr große Zahlen anschauen muss um entsprechend große Lücken zwischen Primzahlen zu finden. 9 In Satz 6 haben wir nur g(n) = p n+1 p n k gefordert und nicht g(n) = p n+1 p n = k 16

17 2.4.2 Obere Schranke für die Lücken Nun ist es allerdings so, dass es für die Lücke zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen eine obere Schranke gibt. Über diese gibt das Bertrandsche Postulat Auskunft (das ist aber kein Postulat, sondern ein beweisbarer Satz) [17]: Satz: Zu jedem n > 2 gibt es mindestens eine Primzahl p mit n < p < 2 n. Bemerkung: Eine spezielle Aussage des Satzes ist, dass die Lücke von einer Primzahl n = p m bis zur nächsten Primzahl p m+1 nicht größer sein kann als die erste Primzahl p m selbst, also es gilt: 0 < p m+1 p m < p m (nach p m < p m+1 < 2 p m ). Der Beweis des Bertrandsche Postulats ist zwar elementar, aber durchaus trickreich und länglich, da es einiges an Vorbereitungen braucht. Nach der bis heute unbewiesenen Vermutung von Adrien-Marie Legendre (geboren in Paris, gestorben 10. Januar 1833 in Paris) gilt sogar ( ): Vermutung: Zu jedem n > 2 gibt es mindestens eine Primzahl p mit n 2 < p < (n + 1) 2. Bemerkung: Für n > 2 gilt: 2n +1 < n 2 (vollständige Induktion) und damit folgt: (n + 1) 2 = n 2 + 2n +1 < n 2 + n 2 = 2 n 2, d. h. die Abschätzung ist stärker als die im Bertrandschen Postulat: n 2 < p < (n + 1) 2 < 2 n 2. Eine noch stärkere Vermutung von Andrica ( ) lautet: Vermutung: Sei p n die n-te Primzahl. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen n: p p 1 n 1 n Real auftretenden Lücken Über die real auftretenden Lücken gibt Thomas R. Nicely [4,5] Auskunft. Danach ist schon bei der Untersuchung des Zahlenbereichs von bis 3*10 15 eine Lücke von größer als 1000 aufgetreten: Primzahl: , Lücke zur nächsten Primzahl: 1132 Auch das zeigt nochmals, dass der Beweisansatz von Satz 6 vermutlich nicht für das Auffinden der kleinsten Primzahl geeignet ist, nach der dann die Lücke auftritt: 1.) Primzahl ,7603 * 17!, 2.) 1132! ist eine 2968-stellige Zahl ist, die ausgeschrieben in der hier genutzten Schriftgröße fast 3/4 dieser Seite füllen würde. 17

18 In der Tabelle 2 unten ist die Übersicht der erstmals in dem Zahlenbereich von bis 5*10 16 [13] gefundenen Lücken gegeben. In den abgebildeten Daten der Tabelle 2 erkennt man, dass für den untersuchten Bereich die Länge der Lücken nicht kontinuierlich mit der Primzahl am Beginn der Lücke wächst. So tritt erstmalig die Lücke der Länge 1004 nach einer wesentlich größeren Primzahl auf ( ), als die Primzahl mit der erstmalig die größere Lücke der Länge 1132 beginnt ( ). Tabelle 2: Lücken im Zahlenbereich von bis 5*10 16 In einer anderen Veröffentlichung [10] wird auch erwähnt, dass eine Lücke der Größe gefunden wurde, die einer 385-stelligen Primzahl folgt. Selbst diese Zahl ist noch wesentlich kleiner als 1132!. 18

19 3. Ermitteln / erzeugen von Primzahlen Lange hat man versucht eine geschlossene Formel zu finden, die alle Primzahlen liefert. Es hat lange gedauert bis man verstanden hat, dass es eine geschlossene, einfache Formel nicht gegeben wird. Aber bereits Eratosthenes von Kyrene (geboren zwischen 276 und 273 v. Chr. in Kyrene, gestorben um 194 v. Chr. in Alexandria) entwickelte eine Methode wie man Primzahlen aus den natürlichen Zahlen herausfiltern kann. 3.1 Sieb des Eratosthenes Dazu schreibt man eine Liste der zu untersuchenden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge beginnend mit 2 auf und führt folgende Prozedur durch 1. Wähle 2 (kleinste Primzahl) 2. Markiere gewählte Zahl 3. Streiche alle Vielfachen der markierten Zahl in der Liste 4. Gehe zum Anfang der Liste 5. Wähle nächste Zahl die weder gestrichen noch markiert ist 6. Falls das Quadrat der Zahl kleiner als die maximale Zahl n max der Tabelle ist gehe zu 2., andernfalls markiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Tabelle 7. Ende Alle markierten, nicht gestrichenen Zahlen sind die gesuchten Primzahlen in der gegebenen Liste. Man braucht nicht weiter als bis k n zu rechnen, da für jede Zahl m > k das max Produkt (k * m) größer als die Obergrenze der Tabelle sind. Produkte mit m k wurde schon vorher bei den Vielfachen von m abgehandelt. Ein Beispiel ist in der nächsten Tabelle unten dargestellt. Die Bezeichnung Sieb ist auch klar, da schrittweise die natürlichen Zahlen mit unterschiedlichen Korngrößen durchgesiebt werden: 1. es fallen nur die gerade Zahlen >2 durch, 2. aus den im Sieb verbliebenen Zahlen fallen bei dem nächsten Siebvorgang die Vielfachen von 3 durch, 3. aus den im Sieb verbliebenen Zahlen fallen bei dem nächsten Siebvorgang die Vielfachen von 5 durch, 4. Abstrakt ausgedrückt ist ein Sieb ein Algorithmus zum Auffinden von Primzahlen. Das Sieb des Eratosthenes ist der älteste Algorithmus dieser Art. Heute gibt es sehr viel schnellere und damit effektivere Algorithmen, die allerdings auch sehr viel komplexer sind. 19

20 Tabelle 3: Sieb des Eratosthenes Primzahlen sind die großen, fett und kursiv gedruckten Zahlen. 3.2 Funktionen die Primzahlen erzeugen Es gibt einfache Funktionen, die eine ganze Reihe von Primzahlen liefert. 1) f(n) = n 2 n + 41 liefert für n = 1,, 40 Primzahlen, für n = 41 aber nicht mehr n n*n n n n*n n = 41 * 41 Tabelle 4: Werte von f(n) = n 2 n + 41 für n = 1,, 41 f(n) = n 2 n + 41 liefert auch nur 40 der 263 Primzahlen zwischen 1 und

21 2) g(n) = n 2 79 n liefert für n = 1,, 79 Primzahlen, für n = 80 aber nicht mehr n n*n 79 n n n*n 79 n n n*n 79 n n n*n 79 n = 41 * 41 Tabelle 5: Werte von g(n) = n 2 79 n für n = 1,, 80 Aus den Tabellen erkennt man, dass die Funktionen die gleichen Primzahlen liefern, Der Grund dafür ist, dass sich die beiden Funktionen f(m) = m 2 m + 41 und g(n) = n 2 79 n ineinander transformieren lassen, also nicht wesentlich verschieden sind: g(n) = n 2 79 n = n 2 79 n = n 2 79 n = n n + 1 = n n n + 80 n + 1 = (n - 40) 2 + n + 1 = (n - 40) 2 + n = (n - 40) 2 + (n 40) + 41 = (n - 40) 2 + (n 40) + 41 = (-(-n + 40)) 2 - (-n + 40) + 41 = (40 - n) 2 - (40 n) + 41 = (40 - n) 2 - (40 n) + 41 = f(40-n) Also ist: g(n) = f(40-n) Alle Versuche Polynomfunktionen f(n): zu finden, die für alle n Primzahlen liefern waren nicht erfolgreich. Schließlich konnte man folgenden Satz beweisen: Satz: Ist f(n) eine Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten vom Grad 1, so gibt es zu jedem n ein m mit m > n, für das f(m) keine Primzahlen ist [16]. Es gibt tatsächlich eine Formel, die 26 Variable hat, und die unter bestimmten Rahmenbedingungen sämtliche Primzahlen liefert [21]. Leider ist die Formel praktisch nicht anwendbar, da die Handhabung sehr komplex ist. 21

22 4. Verteilung der Primzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen Es ist eine der frühen Vermutungen von Carl Friedrich Gauss (geboren in Braunschweig, gest in Göttingen) aus dem Jahr 1792, dass der Quotient von n und dem natürlichen Logarithmus von n, ln(n), gegen die Anzahl der Primzahlen im Intervall 1 bis n strebt, wenn n gegen unendlich strebt. Gauss kam zu dieser Vermutung, indem er Primzahlen in Tausenderblöcken abzählte. Formulieren wir somit: Satz: Primzahlsatz Bezeichne π(n) die Anzahl der Primzahlen im Intervall 1 bis n. Dann gilt: n n : (n), falls n ln(n) Die Funktion π(n) bezeichnet man als Primzahlfunktion Der Beweis dieses Satzes erfordert Hilfsmittel, die selbst Gauss noch nicht zur Verfügung standen. Es dauerte mehr als 100 Jahre bis dieser Satz 1896 von Jacques Hadamard (geboren in Versailles, gest in Paris) in Paris und Charles-Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin (geboren in Löwen, gest in Brüssel) in Löwen unabhängig voneinander bewiesen wurde. Aber trotz aller Bemühungen ist bis heute noch kein Beweis bekannt, der mit einfachen Mitteln auskommt. Mit Hilfe des Primzahlsatzes kann man nun Lösungen abschätzen für Fragestellungen wie etwa: Wie viele Primzahlen < 2 k gibt es? k n 2 (n) k ln(n) ln(2 ) k 2 k ln(2) k 2 0,69315 k Diese Art Fragen kommt etwa aus der Kryptologie (Wissenschaft der Informationssicherheit), da man damit die Anzahl von Primzahlen in vorgegebenen Intervallen abschätzen kann, z. B. zwischen k 1 = 511 und k 2 = 512 liegen ungefähr 1,88531* Primzahlen. Angesichts von Atomen im Weltall also eine riesige Anzahl von derart großen Primzahlen [20]. 22

23 n Die Funktion unterschätzt die Primzahlfunktion π(n). Über die Verbesserung ln(n) n der Qualität der Näherung der Funktion an π(n) durch Ergänzung eines ln(n) Korrekturfaktors gibt es viele theoretische und empirische Ergebnisse, zum Beispiel eine einfache Formel von Rosser und Schoenfeld [7]: n 1 n 3 n und n 59 : (1 ) (n) (1 ) ln(n) 2 ln(n) ln(n) 2 ln(n) In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse basierend auf der Funktion n/ln(n) und, zum Vergleich, der Formel von Rosser und Schoenfeld aufgelistet: n π(n) [23] gerundet n / ln(n) (n / ln(n)) (1 + 1 / (2 ln(n))) (n / ln(n)) (1 + 3 / (2 ln(n) )) Fehler zu π(n) gerundet Fehler zu π(n) gerundet ,80% 16-3,27% 20 16,78% ,14% 24-3,71% 29 15,30% ,66% ,86% ,24% ,79% ,45% ,77% ,78% ,22% ,39% ,56% ,49% ,65% ,77% ,03% ,73% ,21% ,71% ,73% ,79% ,48% ,68% ,48% ,30% ,62% ,22% ,16% ,54% ,02% ,05% ,47% ,84% ,96% ,39% Fehler zu π(n) Tabelle 6: Abschätzung der Anzahl der Primzahlen Aus der Tabelle 3 Sieb des Eratosthenes kann man ablesen: für n = 60 sind es 17 Primzahlen, also (60) 17, für n = 100 sind es 25 Primzahlen, also (100) 25. Die von Gauß vermutete und von Hadamard und de la Vallée Poussin (s. o.) bewiesene deutlich bessere Näherung der Verteilung der Primzahlen ist durch den x 1 Integrallogarithmus gegeben: Li(x) d, und es gilt: ln 2 n : Li(n) (n), falls n. Dabei ist die Näherung durch Li(x) sehr viel besser, als die der im obigen Satz gegebenen Funktion n. Eine quantitative Aussage über die Güte der ln(n) Abschätzungen findet man z. B. in der Diplomarbeit von Mohamed Naji, Juli 1999 [ x π(x) Li(x) (gerundet) x/ln(x) (gerundet) Li(x) - π(x) x/ln(x) - π(x) Abweichung: 0, % -2,47568% 23

24 5. Primzahlzwillinge Abschließend soll noch eine Klasse von Primzahlen betrachtet werden über die bisher wenig bekannt ist. Primzahlen > 2 haben als ungerade Zahlen einen Mindestabstand von 2. Nun folgt zwar aus dem Primzahlsatz, dass die Dichte der Primzahlen nach oben hin abnimmt, aber trotzdem findet man immer wieder Primzahlen die genau den Abstand 2 haben. Diese Paare nennt man Primzahlzwillinge. Definition: Unter Primzahlzwillingen versteht man Paare (p, p+2) von Primzahlen. Bereich Anzahl der Primzahl - Zwillinge (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109) (137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199) (227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313) (347, 349) (419,421) (431, 433) (461, 463) (521,523) (569, 571) (599, 601) (617, 619) (641, 643) (659, 661) (809, 811) (821, 823) (827, 829) (857, 859) (881, 883) Primzahlzwillinge (1019,1021) (1031,1033) (1049,1051) (1061,1063) (1091,1093) Tabelle 7: Die ersten 40 Primzahlzwilling Über Primzahlzwillinge weiß man nicht sehr viel. Einige elementare Eigenschaften sind leicht zu erkennen [18]. Mindestens kann man leicht beweisen, dass es nur genau ein Primzahltripel (3, 5, 7) gibt. Satz 7: 3 aufeinander folgende ungerade Zahlen 5: (2 k + 1, 2 k + 3, 2 k + 5), k 2 können nicht alle Primzahlen sein Beweis: a) k = 2: für das Tripel (5, 7, 9) gilt die Behauptung, denn 9 ist keine Primzahl b) k > 2: Alle ungeraden Zahlen 7 lassen sich darstellen als: 2 * l + 1 oder 4 * m + 1, 4 m + 3 oder 6 * n + 1, 6 * n + 3, 6 * n + 5 mit l, k, n 24

25 wählen wir nun für die Darstellung für 3 aufeinander folgende ungerade Zahlen: 6 * n + 1, 6 * n + 3, 6 * n + 5 Es gilt, dass 6 * n + 3 = 3 * (2 * n + 1) zerlegbar ist und somit keine Primzahl sein kann. Damit folgt für n > 0, m= n * (m 1) + 1, 6 * (m 1) + 3, 6 * (m 1) + 5, 6 * m + 1, 6 * m + 3, 6 * m + 5, 6 * (m + 1) + 1, 6 * (m + 1) + 3, 6 * (m + 1) + 5, 6 * (m + 2) + 1, wobei die farbig markierten Zahlen potentielle Primzahlzwillinge sind. Also kann es außer (3, 5, 7) keine Primzahltripel geben, da mindestens jede dritte ungerade Zahl zerlegbar ist. +++ Hinweis: Die meisten Paare der Form (6 * m + 5, 6 * (m + 1) + 1) sind keine Primzahlzwillinge z. B. m = 5: (35, 37), m = 7: (47, 49) Satz 8: Die Zahl zwischen den Primzahlen jedes Primzahlzwillings außer (3, 5) ist durch 6 teilbar Beweis: Aufbauend auf Satz 7 gilt, dass die Primzahlzwillinge als Paare der Form (6 * n + 5, 6 * (n + 1) + 1) mit n 0, bzw. (3, 5) geschrieben werden können. (3, 5) hatten wir aber ausgeschlossen. Die Zahl zwischen den anderen Paaren ist: (6 * n + 5) + 1 = (6 * (n + 1) + 1) 1 und damit 6 * n + 6 = 6 * (n + 1) also ein Vielfaches von 6 und damit durch 6 teilbar +++ Tatsächlich weiß man nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Es gibt immer wieder Beweisversuche allerdings wurden bisher immer Fehler gefunden und zwar derart schwere, dass sie bisher nicht repariert werden konnten. Immerhin weiß man jedoch, dass Primzahlzwillinge wesentlich seltener vorkommen als Primzahlen. Schaut man auf kleine Zahlen - wie etwa in Tabelle 7 so ist das offensichtlich, aber tatsächlich ist das bewiesen für die Menge der natürlichen Zahlen. Bei der Suche nach großen Primzahlzwillingen hat man gewaltige Höhen erreicht. 1. [24]: ± 1 sind Primzahlzwillinge. 2. [11] : bis 2 * gibt es Primzahlzwillinge 25

26 6. Die Goldbachsche Vermutung Eine der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik wurde von Christian Goldbach (geboren 18. März 1690 in Königsberg, gestorben 20 November 1764 in Moskau) in einem Brief an Leonhard Euler (geboren 15. April 1707 in Basel, gestorben 7. September 1783 in St. Petersburg) erstmals erwähnt schrieb Goldbach in einem Brief an Euler, ihm sei aufgefallen, dass gerade Zahlen ungleich 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden könnten. Er fragte dann Euler ob er dies beweisen, oder ein Gegenbeispiel nennen könne. Euler hat darauf geantwortet: Dass... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe necht demonstriren kann [6]. Schauen wir uns einige Beispiele an: Zerlegung 1 Zerlegung 2 Zerlegung 3 Zerlegung 4 Zerlegung 5 n p q p q p q p q p q Tabelle 8: Gerade Zahlen 50 als Summe von Primzahlen Dieser kleine Ausschnitt legt schon die Goldbachsche Vermutung nahe, insbesondere da es sogar so aussieht, als wenn die Anzahl der unterschiedlichen Zerlegungen pro gerader Zahl tendenziell zunimmt. 26

27 Das zeigt auch beispielsweise die folgende Grafik aus [6], die das Ergebnis für alle geraden Zahlen aus den Bereich 4 n darstellt Anzahl der additiven Zerlegungen gerader Zahlen n in 2 Primzahlen mit (4 n ) Auf den aktuellen Stand der statistischen Untersuchungen kommen wir etwas später wieder zurück. Zuvor aber noch eine kurze Übersicht über die erreichten Fortschritte in Richtung des Beweises der Vermutung. Bis heute ist das weiterhin eine unbewiesene Vermutung. Ein Grund für die Schwierigkeit einen Beweis zu finden, liegt darin, dass Primzahlen über eine Multiplikation definiert werden, während hier ein Problem in der Addition von natürlichen Zahlen vorliegt. Fast 200 Jahre gab es keinen Ansatz diese Hypothese zu beweisen oder zu widerlegen. Dann veröffentlichte 1931 der russische Mathematiker Lew G. Schnirelman (geboren in Gomel gestorben in Moskau) eine Arbeit in der er bewies, dass jede gerade natürliche Zahl als Summe von nicht mehr als Primzahlen dargestellt werden kann. Zwar eine grobe Annäherung an das ursprüngliche Problem, aber es zeigt wenigstens, dass eine Summe nur von Primzahlen alle geraden Zahlen liefert und dass die Anzahl der Summanden beschränkt ist. Ihm gelang es die Zahl auf 20 zu reduzieren. Seinem Landsmann Iwan M. Winogradow (geboren gestorben in Moskau) gelang es wenig später, 1937, die Zahl der Summanden auf 4 zu reduzieren, wenn die gerade Zahl nur hinreichend groß ist. Das heißt es könnte durchaus gerade Zahlen geben, die als Summe von mehr als 4 Primzahlen also beispielsweise 20 dargestellt werden müssen, aber es gibt eine Grenze ab der für alle größeren natürliche Zahlen man mit einer Summe bestehend aus maximal 4 Primzahlen auskommt [1]. 27

28 Die aktuellen Ergebnisse von Olivier Ramare (Dozent an der Université de Lille, Frankreich) aus dem Jahre 1995 zeigen aber, dass 6 Primzahlen für alle geraden Zahlen 4 ausreichen [6]. Terence Tao bewies 2012, dass jede ungerade Zahl größer als 1 als Summe von fünf oder weniger Primzahlen dargestellt werden kann [6, dt.]. Chen Jingrun (geboren in Fuzhou, China, gestorben ) zeigte 1973 wiederum für hinreichend große gerade Zahlen, dass diese entweder als Summe zweier Primzahlen oder als Summe einer Primzahl und einer Semiprimzahl d. i. das Produkt zweier Primzahlen geschrieben werden kann, also beispielsweise 100 = * 11 [6], 20 = * 3. Kommen wir nochmals auf den aktuellen Stand der statistischen Untersuchungen zurück: Tomás Oliveira e Silva vom Departamento de Electrónica, Telecomunicações e Informática an der Universidade de Aveiro in Portugal hat ein Programm entwickelt, dass die minimale Goldbachsche Zerlegung der Zahlen größer als 4 errechnet. Die minimale Zerlegung einer geraden Zahl wird dadurch ermittelt, dass die beiden Summanden der Zerlegungen so geordnet werden, dass der kleinere Summand als erster geschrieben wird. Diese Darstellung entspricht der Spalte Zerlegung 1 in der Tabelle 8: Gerade Zahlen 50 als Summe von Primzahlen. Der aktuelle Stand der Kalkulation ist nach [14]: 13. September 2011: 2, erreicht. 30. November 2011: Entdeckung der minimalen Goldbach schen Zerlegung von Januar 2012: Entdeckung der minimalen Goldbach schen Zerlegung von April 2012: Gesetzte, vordefinierte Grenze der Überprüfung von erreicht. 07. September 2012 Doppelte Überprüfung bis durchgeführt. 26. Mai 2013 Doppelte Überprüfung bis durchgeführt. Die doppelte Überprüfung wurde damit bis auf weiteres eingestellt. Es wurde kein Gegenbeispiel zur Goldbachschen Vermutung gefunden. 28

29 7. Primzahlen in arithmetischen Folgen Wir können nun auch für Teilmengen der natürlichen Zahlen untersuchen ob und ggf. wie viele Primzahlen diese Teilmengen enthalten. Einfach ist das für die Teilmengen der geraden / ungeraden Zahlen zu bestimmen: 1. Gerade natürliche Zahlen: enthält nur die Ungerade natürliche Zahlen: enthält nur die 2 nicht, aber alle anderen Primzahlen. Viel schwieriger ist folgender Satz zu beweisen: Satz: Alle arithmetischen Folgen f a,d (n) = a n + d mit a,d, a,d haben keinen gemeinsamen Teiler 1, enthalten unendlich viele Primzahlen. Anmerkung: die ungeraden Zahlen > 1 entsprechen der Folge f 2,1 (n) = 2 n + 1 Zum Beweis dieses allgemeinen Satzes sind Mittel der höheren Mathematik erforderlich. Die Tabellen unten zeigen einen kleinen Ausschnitt für einige Beispielfolgen bei n 1,...,10, 1001,...,1010, ,..., verschiedenen Bereichen mit Dabei sind die Zahlen in den grün eingefärbten Zellen Primzahlen, ermittelt mit Hilfe von [22] Anzahl ' n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Summe 109 n = 1 10: 109 Primzahlen Tabelle 9.1: Primzahlen in Segmenten einiger arithmetischen Folgen. 29

30 Anzahl n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Summe 47 n = : 47 Primzahlen n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Summe 31 n = : 31 Primzahlen Tabellen 9.2: Primzahlen in Segmenten einiger arithmetischen Folgen. Anzahl

31 Anzahl n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Summe 18 n = : 18 Primzahlen Tabelle 9.3: Primzahlen in Segmenten einiger arithmetischen Folgen. Zählbereich für n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Summe Tabelle 9.4: Anzahl der Primzahlen in Segmenten (Zählbereichen) einiger arithmetischen Folgen Aus den Tabellen lässt sich vermuten, dass sich die Primzahlen für größere n ausdünnen, aber nach dem obigen Satz gibt es unendlich viele Priemzahlen in den Folgen. 31

32 Wie bereits oben erwähnt sind zum Beweis dieses allgemeinen Satzes über die Anzahl der Primzahlen in arithmetischen Folgen Mittel der höheren Mathematik erforderlich. Allerdings lässt sich der Satz für Spezialfälle mit einfachen Mitteln beweisen, indem die Verfahrensweise vom Beweis des Satzes 5 erweitert wird. Satz 9: Die arithmetischen Folgen f 4,3 (n) = 4 n + 3 und f 6,5 (n) = 6 n + 5 enthalten unendlich viele Primzahlen. Beweis: 1. f 4,3 (n) = 4 n + 3 a) Die ungeraden Zahlen > 2 haben die Formen 4 n + 1 oder 4 n + 3, n 0 b) (4 n + 1) (4 m + 1) = 16 n m + 4 n + 4 m + 1 = 4 (4 n m + n +m) + 1 d.h. Multiplikation zweier Zahlen der Form (4 n + 1) liefert eine Zahl, die wieder in dieser Form dargestellt werden kann Betrachten wir nun die Zahl p, die wie folgt definiert ist: p = 4 (p 1 * p 2 * * p n ) 1 dann gilt: c) Division von p durch jedes der p i liefert immer den Rest (p i 1) 1 p = 4 (p 1 * p 2 * * p n ) p i + p i 1 für ein beliebiges i mit 1 i n = p i * (4 * p 1 * p 2 * * p i-1 * p i+1 * * p n - 1) + (p i 1) und daraus folgt, dass keines der p i Teiler von p ist. d) p kann nun auch noch anders dargestellt werden: p = 4 (p 1 * p 2 * * p n ) = 4 (p 1 * p 2 * * p n 1) + 3 Annahme: Es gibt nur endlich (n > 1) viele Primzahlen p 1, p 2, p n der Form 4 m + 3 Nun gilt: - wegen a) haben alle Teiler von p die Form (4 n + 1) oder (4 n + 3), - wegen b) können nicht alle Teiler von p die Form (4 n + 1) haben, da p selbst nicht diese Form hat, - also muss mindestens ein Faktor die Form p* = 4 n + 3 haben, - dieser Faktor kann aber keiner der Primfaktoren p 1,, p n sein, da bei Division von p durch einen der p i wegen c) den Rest (p i 1) 1 bleibt, - wir haben also einen weiteren Primfaktor p* = 4 n + 3, der verschieden ist von p 1, p 2,, p n, - das kann aber nicht sein, da die oben angegebenen p i alle Primfaktoren Form (4 n i + 3) sind, aber kein Teiler von p sind, also ist die Annahme falsch und es ist gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen in der Folge f 4,3 (n) = 4 n + 3 gibt

33 2. f 6,5 (n) = 6 n + 5 wie bei 1. mit a) Die ungeraden Zahlen > 2 haben die Formen 6 n + 1, 6 n + 3 oder 6 n + 5, n 0 Primzahlen haben die Form 6 n + 1, 6 n + 5, da 6 n + 3 = 3 (2 n +1) eine zusammengesetzte Zahl ist b) (6 n + 1) (6 m + 1) = 6 (6 n m + n + m) + 1 und dann völlig analog weiter wie bei 1. liefert die 2. Behauptung +++ Leider lässt sich die Beweismethode nicht auf alle Folgen f a,d (n) = a n + d mit a,d, ggt(a, d) = 1 erweitert werden. Der zuerst von Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (geboren in Düren, gestorben in Göttingen) im Jahre 1837 erbrachte Beweis des allgemeinen Satzes gilt auch unter Mathematikern als schwierig. 33

34 8. Anwendung der Primzahltheorie in der Biologie Tatsächlich gibt es sogar Anwendungen der Ergebnisse der Primzahltheorie, die doch eher nach einer rein mathematischen Disziplin aussieht, außerhalb der Mathematik. Am 29. April 2002 veröffentliche die Max-Planck-Gesellschaft folgende Presse-Information [8]: Im Zikadenleben zählen Zahlen Max-Planck-Forscher kommen dem Paarungszyklus der Insekten auf die Spur / Neue Ausgabe der Max Planck Forschung erschienen Foto: Lee Jenkins / Leon Higley, Department of Entomology, University of Missouri / Department of Entomology, University of Nebraska In weiten Teilen Nordamerikas treten Zikaden auf, die sich alle 13 oder 17 Jahre über der Erde massenhaft vermehren, danach leben sie als Larven wieder 13) 10 oder 17 Jahre unter der Erde. Wissenschaftler des Max-Planck-Instituts für molekulare Physiologie in Dortmund und der Universidad de Chile haben jetzt vermutlich das Rätsel gelöst, warum der Lebenszyklus dieser Insekten so ungewöhnlich ist: Die Forscher um Prof. Mario Markus haben ein Jäger-Beute-Modell entwickelt, in dem nur Lebenszyklen, deren Länge eine Primzahl von Jahren ist, stabil sind. Die Forscher nutzen das Modell auch, um beliebig hohe Primzahlen zu erzeugen. Damit wurde erstmals eine Brücke zwischen zwei sonst weit auseinander liegenden Disziplinen, der Zahlentheorie und der Biologie, geschlagen. Etwas ausführlicher verläuft der Lebenszyklus also in folgender weise: Eine Zikadennymphe entwickelt sich mehrere Jahre im Boden des Waldes aus der Larve. Im 13. bzw. 17. Jahr kommt sie dann auf die Oberfläche, lebt einen Sommer, zeugt Nachwuchs, legt die Eier ab (aus denen sich die Larven entwickeln) und stirbt noch im selben Jahr. Die Larven durchlaufen wieder den gleich Zyklus. Für viele Vögel, Reptilien und kleine Säugetiere ist dieses Insekt Nahrung. Ihre Feinde leben in der Regel in 2-, 4- oder 6-Jahres-Rhythmen. Die Frage ist, wann treffen Zikade und ihre Fressfeinde zusammen, nachdem sie alle in einem Jahr aufeinander getroffen sind. Die Antwort - für den 17 jährigen Zyklus, der 13 jährige wird analog behandelt - ergibt sich aus dem ZPE Satz (Satz 2): 10 Gemeint ist hier, dass die Zikaden im 13. bzw. 17. Jahr ihren Lebensraum unter der Erde verlassen, da sonst die vorherige Aussage alle 13 oder 17 Jahre und die weiteren Ableitungen mit Hinweis auf Primzahlen nicht passen 34