HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch

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Gerhardt Baumgartner
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1 HEUTE Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch die Rundungsfunktionen und modulo Beweistechnik: Schubfachprinzip es sind alle Fragen vorher geklärt das Applet ist bereits gestartet der Programmcode steht offen in einem Editor alle Gruppenmitglieder, die an der Abnahme beteiligt sein wollen, sind anwesend die Tutoren können Fragen und Abnahmen trennen Regeln für Übungsaufgaben! die Lösungen sind leserlich geschrieben (Ausdruck nur nötig, wenn verlangt) auf das oberste Blatt gehören deutlich lesbar: eure Gruppennummer alle aktuellen Namen ein Tutorname die Blätter werden pünktlich bis Veranstaltungsbeginn eingereicht die Blätter sind geklammert

04.11.05 5 die Vollständige Induktion 04.11.05 7 Vollständige Induktion: Beispiel 1 wichtiges Beweisverfahren in der Mathematik funktioniert wie eine Dominokette: Behauptung: n Objekte lassen sich in genau n!

2 die Vollständige Induktion Vollständige Induktion: Beispiel 1 wichtiges Beweisverfahren in der Mathematik funktioniert wie eine Dominokette: Behauptung: n Objekte lassen sich in genau n! verschiedenen Reihenfolgen (Permutationen) anordnen. Beweis: per vollständiger Induktion. (IA) n = 1: ein Objekt lässt sich in genau 1! = 1 Reihenfolgen anordnen. (IS) n n + 1: Die Behauptung gelte für alle Anzahlen 1,..., n von Objekten (IV). Wir betrachten nun n + 1 Objekte. Nach (IV) gibt es für die ersten n Objekte n! Reihenfolgen. Für jede davon gibt es genau n + 1 Möglichkeiten, das n + 1. Objekt einzufügen: Obj. 1 Obj. Obj. n für n + 1 Objekte gibt es n! (n + 1) = (n + 1)! Reihenfolgen die Vollständige Induktion Vollständige Induktion: Beispiel der erste Stein muss umfallen: Induktionsanfang (IA) jeder Stein muss einen Nachfolger treffen: Induktionsschluss (IS) die Auftreffstelle genau bezeichnen: Induktionsvoraussetzung (IV) Behauptung: Jede Potenz von 4 ist genau um 1 größer als ein Vielfaches von 3. Beweis: z.z.: 4 k mod 3 = 1 für alle k 0. Durch vollständige Induktion. (IA) k = 0: 4 0 mod 3 = 1 mod 3 = 1 ist korrekt. (IS) k k + 1: es gelte die Beh. für alle Exponenten 0,..., k (IV). Dann gilt: 4 k+1 mod 3 = (4 4 k ) mod 3 = [(4 mod 3) (4 k mod 3)] mod 3 (IV) = ( 1 1 ) mod 3 = 1.

3 Vollständige Induktion: Beispiel Widerspruchsbeweis Wir betrachten die Folge a 0 = 0, a n+1 = 1 + a n für n 0. Behauptung: (a n ) ist nach oben beschränkt durch, streng monoton steigend und konvergiert gegen. Beweis: i) z.z.: a n < für alle n. (IA) n = 0: a 0 = 0 < ist korrekt. (IS) n n + 1: es gelte die Beh. für alle Indizes 0,..., n (IV). Dann gilt: a n+1 = 1 + a (IV) n < 1 + =. ii) z.z.: a n+1 > a n für alle n. Es ist: a n+1 a n = 1 + a n a n = 1 a n i) > 1 = 0. iii) Die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt konvergent. z.z.: a := lim n a n =. ( Es ist: a = lim a n+1 = lim 1 + a ) n = 1 + a n n a =. gebräuchliches Beweisverfahren in der Mathematik tyischer Einsatz: Beweis einer Aussage unter Voraussetzungen Idee: nehme an Voraussetzungen gelten, aber Aussage ist falsch. leite daraus Widerspruch zu Voraussetzungen her. Beispiele: Wieviele Primzahlen gibt es? Existenz und Eindeutigkeit der ganzzahligen Divisionsdarstellung Primzahlen Voraussetzung: Jede natürliche Zahl besitzt eine Primteilerdarstellung. Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: (Euklid) Annahme des Gegenteils: Gebe es genau die endlich vielen Primzahlen p 1,..., p n. Damit bilde die Zahl p := 1 + p 1... p n. p ist nach Konstruktion durch keins der p i teilbar. Dann hätte p aber keine Primteilerdarstellung Widerspruch!

4 Die Rundungsfunktionen Existenz und Eindeutigkeit der ganzzahligen Divisionsdarstellung Um ganzzahlige Division erklären zu können, brauchen wir: für x heißt { x := max { n n x } die Abrundungsfunktion x := min { n n x } die Aufrundungsfunktion. Behauptung: zu zwei ganzen Zahlen n und m > 0 gibt es zwei eindeutige ganze Zahlen q, r mit 0 r < m so, dass gilt: n = q m + r Per Definition gilt: q heißt der Quotient von n modulo m, r heißt der Rest von n modulo m. x 1 < x x x < x + 1 für alle x. Beweis: (i) mindestens eine Darstellung : setze q := n m und r := n q m, so gilt wegen x 1 < x x : x = x x x = x x r = n n m m n n m m = 0 und r = n n m m < n ( n m 1) m = m, also 0 r < m und n = q m + r Die Rundungsfunktionen Existenz und Eindeutigkeit der ganzzahligen Divisionsdarstellung x + 1 > x x x x > x 1 x = x x x = x x x 3 Aufrundung x + 1 x 1 1 Abrundung 1 3 Beweis: (ii) höchstens eine Darstellung : Annahme des Gegenteils: seien ( ) n = q 1 m + r 1 = q m + r zwei verschiedene Darstellungen, also mit (q 1, r 1 ) (q, r ). Fall 1: q 1 = q =: q und r 1 r. Einsetzen in ( ) liefert: q m + r 1 = q m + r r 1 = r Widerspruch! Fall : q 1 q. Sei o.b.d.a. q 1 > q q 1 q 1. Da n.v. r < m und r 1 0, erhalten wir durch Einsetzen in ( ) : m > r = r 1 + (q 1 q ) m m = m Widerspruch!

5 Eigenschaften der ganzzahligen Division Das Schubfachprinzip wir haben eine eindeutige Darstellung n n = q m + r mit q = m und Man schreibt: r = n mod m sprich: n modulo m. In JAVA: q = n / m bzw. r = n % m. Eigenschaften (bitte selbst beweisen): a) 0 n mod m < m b) (n mod m) mod m = n mod m c) (a ± b) mod m = [(a mod m) ± (b mod m)] mod m d) (a b) mod m = [(a mod m) (b mod m)] mod m n r = n m m gebräuchliches Beweisverfahren in der diskreten Mathematik Beispiele: Spiel: die Reise nach Jerusalem von 13 Leuten haben mindestens im selben Monat Geburtstag ein gesunder Mensch hat durchschn Haare. in Berlin (z.z. 3.4 Mio. Einwohner) haben mind. 9 Menschen genau dieselbe Anzahl Haare eine ähnliche höchstens-aussage gibt es nicht Das Schubfachprinzip Allgemein gilt: Teilt man n Objekte in m Klassen auf, so gibt es eine Klasse, die mindestens n m Objekte enthält. Sei n i die Anzahl Objekte in der Klasse i nach dem Aufteilen, so ist die Aussage: Es gibt ein i mit n i n m.

6 Das Schubfachprinzip Schubfachprinzip: Beispiel Beweis: Annahme des Gegenteils: sei n i < n m für alle Klassen i. gegeben: n n Zahlen a1,..., an und gesucht: 0 k < l n so, dass a k a l ein Vielfaches von n ist. Da alle n i ganze Zahlen sind, gilt sogar: n i n m 1 für alle i. wichtig: die Zahlen in den Summen müssen in in der Aufzählung der a i lückenlos hintereinander auftreten! Damit erhalten wir wegen x < x + 1 : n = m n i m n ( 1) < m i=1 i=1 m i=1 n m = m n m = n Beispiel: (a i ) i = 15, 9, 31, 59, 7, 44 n = 6. Tatsächlich gilt: = 10 = = 108 = 18 6 Widerspruch! Schubfachprinzip: Beispiel Schubfachprinzip: Beispiel Voraussetzung: In einer Gruppe von n Personen kennen sich zwei (beliebige) Personen oder nicht. Behauptung: In einer Gruppe von n Personen gibt es immer zwei, die dieselbe Anzahl anderer Personen aus der Gruppe kennen. Beweis: Sei P i die Menge der Personen, die genau i andere aus der Gruppe kennen. Es gibt genau n solche Gruppen: P 0,..., P n 1. Beobachtung: Enthält P 0 eine Person, so ist P n 1 leer und umgekehrt. die n Personen können sich auf höchstens n 1 Mengen verteilen (Schubfachprinzip) eine der Mengen enthält mindestens n n 1 = Personen. gegeben: n n Zahlen a1,..., an und gesucht: 0 k < l n so, dass (a k a l ) mod n = 0. Behauptung: Es gibt immer ein Paar (k, l) mit dieser Eigenschaft. Beweis: Betrachte alle n Summen s(m) := a a m. i) Sei s(m) mod n = 0 für ein m Behauptung gilt mit k = 0 und l = m. ii) Sei s(m) mod n 0 für alle m es gibt nur n 1 mögliche Divisionsreste für die n Summen (Schubfachprinzip) mindestens ein Rest kommt doppelt vor, d.h. s(k) mod n = s(l) mod n für ein Paar (k, l). Behauptung gilt, da (a k a l ) mod n = (s(l) s(k)) mod n = 0.

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