Indexmengen. Definition. n n n. i=1 A i := A 1... A n

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1 Indexmengen Definition Es sei n N. Für Zahlen a 1,..., a n, Mengen M 1,..., M n und Aussagen A 1,..., A n definieren wir: n i=1 a i := a a n n i=1 a i := a 1... a n n i=1 M i := M 1... M n n i=1 M i := M 1... M n n i=1 A i := A 1... A n n i=1 A i := A 1... A n

2 Indexmengen (Forts.) Verallgemeinerung auf beliebige Indexmengen I. Definition Für jedes i I sei M i eine Menge. Wir definieren i I M i durch x M i : es gibt i I mit x M i. i I Wir definieren i I M i durch x i I M i : für alle i I gilt x M i.

3 Indexmengen (Forts.) Verallgemeinerung des Begriffs paarweise verschieden. Definition Sei I eine Menge und für jedes i I sei x i ein Objekt. Die Objekte x i, i I, heißen paarweise verschieden, wenn für alle i, j I gilt: x i = x j i = j. Beispiele Die Zahlen n 2, n N, sind paarweise verschieden. Die Zahlen n 2, n Z, sind nicht paarweise verschieden.

4 Mengenpartitionen Definition Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn A B =. Sei I eine Menge und für jedes i I sei M i eine Menge. Die M i, i I, heißen paarweise disjunkt, wenn für alle i, j I mit i j gilt: M i M j =. Es sei M eine Menge von Mengen. Die Elemente von M heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei davon disjunkt sind, d.h. wenn für alle M, M M mit M M gilt: M M =.

5 Mengenpartitionen (Forts.) Erinnerung P: Menge der Primzahlen in N. Beispiel Für p P sei M p := {p n n N} (d.h. die Menge aller Potenzen von p). Dann sind die Mengen M p, p P paarweise disjunkt.

6 Mengenpartitionen (Forts.) Es sei M eine Menge. Definition Eine Partition von M ist eine Menge P nicht-leerer, paarweise disjunkter Teilmengen von M mit M = C P C. Die Elemente C P heißen Teile der Partition. Bemerkung Für jede Partition P von M ist P Pot(M) \ { }.

7 Mengenpartitionen (Forts.) Beispiele P = {{n N n gerade}, {n N n ungerade}} ist eine Partition von N mit zwei Teilen. P = {{n N n hat genau k Dezimalstellen} k N} ist eine Partition von N mit unendlich vielen Teilen. Die Menge P = {{p n n N} p P} ist keine Partition von N. Die einzige Partition von ist P =.

8 Mengenpartitionen (Forts.) Bemerkungen Sind M, N endliche, disjunkte Mengen, so gilt M N = M + N. Sind M 1,..., M n endliche, paarweise disjunkte Mengen, so gilt n M i = i=1 n M i. i=1 Ist M eine endliche Menge und P eine Partition von M, dann ist M = C. C P

9 1.3 Beweisprinzipien Direkter Beweis Ziel Zeige die Implikation A B. Methode Finde und verwende Implikationen A 1 A 2 A 2 A 3. A n 1 A n für eine natürliche Zahl n mit A = A 1 B = A n

10 Direkter Beweis (Forts.) Beispiel Für alle z Z gilt: z ungerade z 2 ungerade.

11 Kontraposition Ziel Zeige die Implikation A B. Methode Zeige stattdessen: B A. Beruht auf der Tautologie: (A B) ( B A). Beispiel Für alle z Z gilt: z 2 gerade z gerade.

12 Beweis einer Äquivalenz Beispiel [A B] [(A B) (B A)] Beispiel Für jede ganze Zahl z gilt: Genau dann ist z 2 gerade, wenn z gerade ist.

13 Widerspruchsbeweis Ziel Zeige A B ist wahr. Methode Zeige stattdessen: A (B B) für eine passende Aussage B. Beweis der Methode B B ist falsch. Aus A (B B) folgt (per Definition): A (B B) ist wahr. Aus der Definition von folgt: A ist falsch. Damit ist A wahr.

14 Widerspruchsbeweis (Forts.) Beispiel 2 Q.

15 Vollständige Induktion Ziel Für alle n N gilt A(n). Methode Führe die folgenden Beweisschritte durch: Induktionsanfang: Zeige A(1) ist wahr. Induktionsschritt: Zeige die Implikation A(n) A(n + 1) für alle n N. Dann ist A(n) für alle n N wahr. Man spricht präziser von einer vollständigen Induktion über n. Im Induktionsschritt nennt man die Aussage A(n) die Induktionsvoraussetzung.

16 Vollständige Induktion (Forts.) Beweis des Prinzips Beruht auf der folgenden Eigenschaft von N: Für jede Teilmenge A N gilt: Ist 1 A und ist für jedes n A auch n + 1 A, dann ist A = N. Bei der vollständigen Induktion zeigen wir: Die Menge A := {n N A(n) ist wahr} erfüllt diese Bedingung. Damit ist A = N.

17 Vollständige Induktion (Forts.) Beispiel Für alle n N gilt n i=1 i = n(n+1) 2. Beweis Vollständige Induktion über n. Sei A(n) die Aussageform n i=1 i = n(n+1) 2.

18 Vollständige Induktion (Forts.) Bemerkung Es gibt verschiedene Varianten der Induktion, z.b. Induktionsanfang bei n 0 N statt bei 1. Damit wird die Aussage A(n) für alle n n 0 gezeigt. Induktionsvoraussetzung: A(1)... A(n) anstelle von A(n).