1 Übersicht Induktion

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1 Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender (v1.3) 1 Übersicht Induktion 1.1 Allgemeines Unter einem induktiven Vorgehen versteht man im Allgemeinen, das Schließen, von etwas Speziellem auf etwas Allgemeines, d.h. aus einigen Fällen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen leitet man ab, das diese Eigenschaften immer gelten. Beispielsweise könnte man aus der Tatsache, dass man 5 Autos gesehen hat von denen jedes genau 4 Räder hatte folgern, dass jedes Auto 4 Räder hat. Induktion ist ein formelles Beweisverfahren, um zu zeigen, dass für alle Elemente einer Menge eine bestimmte Behauptung gilt, d.h. sei M eine Menge, m M ein beliebiges Element aus M, und p(x) eine Behauptung für x, dann gilt p(m). Voraussetzung ist, dass es eine Relation gibt, die auf M eine wohlfundierte Ordnung definiert. Der Grundgedanke der Induktion beruht auf der Idee, die Behauptung für einen, oder mehrere Startwerte (oft minimale Elemente der Menge im Bezug auf die Ordnung) explizit zu zeigen und dann darauf aufzubauen und das Wissen über die Vorgänger (im Bezug auf die Ordnung) zu nutzen, um zu zeigen, dass die Behauptung auch für das nächste Element gilt. Daraus folgt dann, dass die Behauptung für alle Elemente der Menge gilt.

2 1. Begrifflichkeiten Folgende Begrifflichkeiten sind von Bedeutung für die Induktion: Induktionsbehauptung Die Aussage, die zu beweisen ist. Beispielsweise: die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist gleich n (n+1) ist. Anders geschrieben: p(n) : n k = n k=1 Wir zeigen, dass p(n) für alle n N + gilt. (n + 1). Induktionsbasis (I.B.) (auch Induktionsanfang, Induktionsanker) Die Grundlage der Induktion. Wir zeigen, dass die Behauptung für einen oder mehrere Startwerte gilt. Bei den natürlichen Zahlen handelt es sich dabei oft um den Beweis für n = 1 oder n = 0. Im Allgemeinen, kann man davon ausgehen, dass man bei der Induktionsbasis den Wert für n = l beweist, wenn man zeigen will, dass eine Aussage für alle n l gilt. Nicht alle Arten der Induktion haben genau eine explizite Induktionsbasis. In diesen Fällen ist es Geschmackssache ob man eine Induktionsbasis mit Fallunterscheidungen macht, oder ob man die Startwerte als Fallunterscheidungen im Induktionsschluss aufführt. Sei e ein Element. Induktionsvoraussetzung (I.V.) Wir nehmen an, dass die Behauptung für alle Elemente der Menge gilt, die kleiner (im Bezug auf die Ordnung) als das Element e sind. Induktionsschluss (I.S.) (auch Induktionsschritt) Wir zeigen, mit Hilfe der I.V., dass die Behauptung auch für e gilt. In manchen Fällen kann es nötig sein für den Induktionsschluss mehrere mögliche Fälle getrennt zu betrachten. 1.3 Induktion über die natürlichen Zahlen Bei der Induktion über die natürlichen Zahlen will man zeigen, das die Induktionsbehauptung, für sämtliche natürliche Zahlen (ab einem gewissen Startwert l) gilt. Die Induktion über die natürlichen Zahlen hat eine Induktionsbasis, in der man explizit zeigt, dass die Induktionsbehauptung für den Startwert l gilt. Im Gegensatz zur Verallgemeinerten vollständigen Induktion über die natürlichen Zahlen, bei der man voraussetzt, dass die Behauptung für alle kleineren Werte gilt, wird bei der natürlichen Induktion voraussetzt, dass die Behauptung für genau einen einzelnen Wert n gilt und es wird dann gezeigt, dass die Behauptung für den direkten Nachfolger dieser Zahle, n + 1, gilt.

3 Beispiel: Gaußsche Summenformel p(n) : n k = n k=1 (n + 1). Wir zeigen, dass p(n) für alle n N + gilt. I.B. Wir zeigen, dass p(1) gilt. Die Induktionsbasis gilt. 1 = 1 (1 + 1) = 1 I.V. Wir nehmen an, dass p(n) gilt. I.S. Wir zeigen, dass p(n + 1) gilt. n+1 i=1 n +(n + 1) = i=1 = (n + 1) n(n + 1) ((n + 1) + 1) + (n + 1) Mit der I.V. ( n i=1 = n(n+1) ) gilt diese Gleichung. Damit ist gezeigt, dass die Induktionsbehauptung für alle n N gilt. 1.4 Verallgemeinerte vollständige Induktion über die natürlichen Zahlen Mit der verallgemeinerten vollständigen Induktion über die natürlichen Zahlen kann man all die Eigenschaften beweisen, die man auch mit der Induktion über die natürlichen Zahlen beweisen kann. Zusätzlich kann man Beweise führen, für die es notwendig ist mehrere Basisfälle zu zeigen. Der Hauptunterschied liegt in der Induktionsvoraussetzung: Im Gegensatz zur Induktion über die natürlichen Zahlen, bei der man voraussetzt, dass die Behauptung für n gilt, um dann zu zeigen, dass die Behauptung auch für n + 1 gilt, wird bei der verallgemeinerten vollständigen Induktion über die natürlichen Zahlen angenommen, dass die Behauptung für alle Werte, die kleiner oder gleich n sind gilt und es wird dann gezeigt, dass die Behauptung für n + 1 gilt.

4 Um diese generelleren Fälle zu zeigen, sieht die I.V. und die gesamte Induktion etwas anders aus. Statt lautet sie (p(0) I.B. n N : p(n) I.V. p(n + 1) ) m N : p(m) } {{ } I.S respektive (p(0) I.B ( n N : p(0) p(1)... p(n) I.V. } {{ } I.S. p(n + 1) )) ( m N : p(m)) ( n N : ( k N : (k < n p(k)) p(n) )) ( m N : p(m)). } I.V. {{ } I.S. Im letzten Fall taucht die Induktionsbasis nicht explizit auf, sie wird aber auch implizit betrachtet, da sich für n = 0 Folgendes ergibt: k N : (k < 0 p(k)) p(0) gdw. k N : ( p(k)) p(0) gdw. p(0) gdw. p(0) Daraus folgt, dass man die Behauptung für den/die Startwert(e) auch zeigen muss. Beispiel: Produkt von Primzahlen p(n) : n lässt sich als Produkt von l Primzahlen schreiben mit l N +. Wir zeigen, dass p(n) für alle n N mit n gilt. Sei n N mit n. I.V. Wir nehmen an, dass p(k) für alle k < n gilt. I.S. Wir zeigen, dass p(n) gilt. Es ist leicht zu sehen, dass Fälle betrachtet werden müssen: n ist eine Primzahl: Wenn n eine Primzahl ist, folgt trivial, dass sie als Produkt von Primzahlen darstellbar ist. In diesem Fall als n. n ist keine Primzahl: In dem Fall ist n = k 1 k mit k i N und 1 < k i < n für i {1, }. Aus k i < n für i {1, } folgt mit der I.V., dass die Behauptung für k 1 und k gilt, und somit dann auch für n gilt. Damit ist gezeigt, dass die Induktionsbehauptung für alle n N mit n gilt.

5 1.5 Wohlfundierte Induktion Bei der wohlfundierten Induktion handelt es sich um eine Verallgemeinerung der vollständigen Induktion über die natürlichen Zahlen. Sei (A, ) eine beliebige partiell geordnete Menge, wobei wohlfundiert (noethersch) ist, d.h. es gibt keine unendlich absteigende Ketten (a 0 > a 1 > a >... > a n >... ) für a i A. Anstatt nun über die Eigenschaften von n N zu sprechen, sprechen wir bei der wohlfundierten Induktion über die Eigenschaften von a A. p(a) : Eigenschaft von a. Wir zeigen, dass p(a) für alle a A gilt. I.B. Wir zeigen, dass p(a) für alle minimalen Elemente in A gilt, d.h. Elemente für die es keine kleineren Elemente gibt. Sei a A und a nicht minimal. I.V. Wir nehmen an, dass p(b) für alle b < a gilt. I.S. Wir zeigen, dass p(a) gilt. 1.6 Strukturelle Induktion Bei der strukturellen Induktion handelt es sich um einen Sonderfall der wohlfundierten Induktion. Sie wird verwendet um Eigenschaften von rekursiv definierten Gebilden zu beweisen. Ein Beispiel für ein Gebilde sind Programme, mit der Relation Teilprogramm oder auch aussagenlogischen Formeln, mit der Relation echtes Teilformel. 1.7 Strukturelle Induktion über den Aufbau aussagenlogischer Formel Diese Art der Induktion ist ein spezieller Fall der Strukturellen Induktion, bei dem die Induktion über den Aufbau der aussagenlogischen Formeln erfolgt. Die wohlfundierte Ordnungsrelation ist in diesem Fall die Relation echte Teilformel. Zur Erinnerung die Definition der Menge For Π der wohlgeformten aussagenlogischen Formeln für die Menge Π von Aussagenvariablen:, For Π Π For Π Wenn F For Π, dann F For Π Wenn F, G For Π, dann F G, F G, F G, F G For Π Alternative Schreibweise für den letzten Punkt: Wenn F, G For Π, dann F G For Π für {,,, } Der generelle Ablauf einer Induktion über den Aufbau von wohlgeformten aussagenlogischen Formeln sieht entsprechend wie folgt aus:

6 p(f ) : Eigenschaft von F. Wir zeigen, dass p(f ) für jede wohlgeformte aussagenlogische Formel F For Π gilt. Induktionsbasis(I.B.): Wir zeigen, dass p(f ) für alle Formeln F Π {, } gilt. Sei F For Π eine Formel, mit F Π {, }. Induktionsvoraussetzung (I.V.): Wir nehmen an, dass p(g) für alle Formeln G, die echte Teilformeln von F sind gilt. Induktionsschluss (I.S.): Wir zeigen, mit Verwendung der I.V., dass p(f ) gilt. F kann 5 verschieden Formen annehmen, was dazu führt, dass wir 5 Fälle betrachten müssen: 1. F = G. F = G H 3. F = G H 4. F = G H 5. F = G H Beispiel: Jede wohlgeformte aussagenlogische Formel lässt sich auch nur mit und darstellen Beispiel aus der Wikipedia 1 p(f ) : Es gibt eine Formel F mit F F und F besteht nur aus,, p Π,,. Für jede wohlgeformte aussagenlogische Formel F gilt die Aussage p(f ). I.B.: Zu zeigen: p(f ) gilt für alle Formeln F Π {, }. Die Korrektheit der Induktionsbasis folgt direkt aus der Definition von F. Sei F eine Formel, mit F Π {, }. I.V.: Wir nehmen an, dass p(g) gilt für alle Formeln G, die echte Teilformeln von F sind. I.S.: Wir zeigen, mit Verwendung der I.V., dass p(f ) gilt. Anhand der rekursiven Definition der aussagenlogischen Formeln ist leicht zu sehen, dass 5 Fälle betrachtet werden müssen: 1. Wenn F = G, dann F = G. Wenn F = G H, dann F = G H 3. Wenn F = G H, dann F = ( G H) 4. Wenn F = G H, dann F = (G H) 5. Wenn F = G H, dann F = ( G H) (G H) Da G, H echte Teilformeln von F sind, gilt laut I.V. p(g) und p(h) und somit dann auch p(f ). Somit ist gezeigt, dass p(f ) für beliebige F gilt, die Induktionsbehauptung gilt also. 1