Logik für Informatiker
|
|
|
- Hanna Hartmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1
2 Bis jetzt Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive und Disjunktive Normalform Ablesen von DNF und KNF aus Wahrheitstafeln Umformen in KNF/DNF Mengenschreibweise Subsumption SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) SAT Erfüllbarkeitsproblem für DNF Formeln k-sat; 3-SAT vs. SAT 2-SAT: heute Horn-Formeln Erfüllbarkeitstest für Hornformeln 2
3 Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. Lemma. Sei F Hornformel die keine Fakten enthält. Dann ist F erfüllbar. Beweis: Sei A : Π {0,1} mit A(P) = 0 für alle P Π. Dann A(F) = 1. 3
4 Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. Beweis: (Idee) Ziel: A : Π {0,1} mit A(F) = 1. Falls keine Fakten in F: F erfüllbar. Sonst: Für alle Fakten P in F: A(P) := 1; Wiederhole das Verfahren für F, entstanden aus F durch Ersetzung von P mit. Idee: Markiere die Atome, die den Wert 1 bekommen 4
5 Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln Eingabe: F = D 1 D n eine Hornformel (die Klausel D i enthält höchstens ein positives Literal) Ein Atom in F zu markieren, bedeutet, es an allen Stellen seines Auftretens in F zu markieren 5
6 Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln 0: IF keine Fakten (Klausel A ) vorhanden THEN Ausgabe: erfüllbar ELSE markiere alle Fakten in F (Atome A mit A in F) 1: IF keine Klausel A 1 A n B in F, so dass alle Atome in A 1,...,A n markiert aber B nicht THEN Ausgabe: erfüllbar ELSE wähle die erste solche Klausel IF B leer THEN Ausgabe: unerfüllbar ELSE markiere überall B in F GOTO 1 6
7 Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln Theorem Die Erfüllbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar. Beweis: (Idee) Ziel: A : Π {0,1} mit A(F) = 1. Falls keine Fakten in F: F erfüllbar. Sonst: Für alle Fakten P in F: A(P) := 1; Wiederhole das Verfahren für F, entstanden aus F durch Ersetzung von P mit. Komplexität: F F 7
8 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 8
9 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln) Resolution 9
10 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln) Resolution 2. Formelmengen Semantische Tableaux 10
11 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln) Resolution 2. Formelmengen Semantische Tableaux 11
12 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Klauseln P {Q} initialer Fakt wegen Q Q Q Q P R P R Q S Q S W T W T S U S U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W Q S U W 12
13 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Klauseln P {Q} initialer Fakt wegen Q Q Q Q P R P R Q S S W T W T S U S U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W S U W 13
14 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q Klauseln P Q {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S Q S P R P R Q S S W T W T S U S U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W S U W 14
15 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q Klauseln P Q {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S Q S P R P R Q S S W T W T S U U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W U W 15
16 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Klauseln P Q P R {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U Q S U Q S S W T W T S U U U,T,Z P U T Z P Q,S,U W U W 16
17 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Klauseln P Q P R {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U Q S U Q S S W T W T S U U U,T,Z P T Z P Q,S,U W W 17
18 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Q S Klauseln P Q P R S {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U {Q,S,U,W} wegen Q,S,U W Q S U W W T T S U U U,T,Z P T Z P Q,S,U W W 18
19 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Markierte Atome und Erklärung: Implikationen P Q P R Q S W T Klauseln P Q P R S T {Q} initialer Fakt wegen Q {Q,S} wegen Q S {Q,S,U} wegen S U {Q,S,U,W} wegen Q,S,U W {Q,S,U,W,T} wegen W T Q S U W T S U U U,T,Z P Z P Q,S,U W W 19
20 Motivation ( P) (Q) ( P R) ( Q S) (T W) ( S U) ( U T P Z) ( Q S U W) Implikationen Klauseln Markierte Atome und Erklärung: {Q} initialer Fakt wegen Q Q P P {Q,S} wegen Q S S Q Q {Q,S,U} wegen S U U P R P R {Q,S,U,W} wegen Q,S,U W W Q S S {Q,S,U,W,T} wegen W T T W T T S U U Modell: U,T,Z P Z P A(Q) = A(S) = A(U) = A(W) = A(T) = 1 Q,S,U W W A(P) = A(R) = A(Z) = 0 Markierte Atome: wahr; nicht markierte Atome: falsch. 20
21 Bemerkung Horn Klauseln: P P,P 1...P n Q P 1...P n Q Klauselschreibweise: P P P 1... P n Q P 1 P n Q Mengenschreibweise: {P} { P, P 1, P n,q} { P 1,..., P n,q} 21
22 Verallgemeinerung? Syllogismus (in der ersten Vorlesung erwähnt): P P C C Mengenschreibweise: 1-Resolution (unit resolution) {P} { P} C C { P} {P} C C 22
23 Verallgemeinerung? Nicht geeignet für Erfüllbarkeitsüberprüfung beliebiger Klauselmengen: Die Klauselmenge M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} ist nicht erfüllbar, aber mit 1-Resolution ist aus M nichts ableitbar, also auch nicht. 23
24 Verallgemeinerung? Nicht geeignet für Erfüllbarkeitsüberprüfung beliebiger Klauselmengen: Die Klauselmenge M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} ist nicht erfüllbar, aber mit 1-Resolution ist aus M nichts ableitbar, also auch nicht. Ziel: Kalkül mit der Eigenschaft dass: (1) falls M unerfüllbar ist aus M ableitbar (2) falls aus M ableitbar, M unerfüllbar. Das Resolutionkalkül 24
25 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit 25
26 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform 26
27 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform Eine einzige Regel 27
28 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche Eigenschaften Widerlegungskalkül: Testet auf Unerfüllbarkeit Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform Eine einzige Regel Operiert auf Klauseln (in Mengenschreibweise) 28
29 Resolutionskalkül Definition: Resolutionsregel (einzige Regel des Kalküls) wobei C 1 {P} { P} C 2 C 1 C 2 P eine aussagenlogische Variable C 1,C 2 Klauseln (können leer sein) Definition: C 1 C 2 heißt Resolvente von C 1 {P},C 2 { P} 29
30 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} 30
31 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } 31
32 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } 32
33 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } 33
34 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } 34
35 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } 35
36 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } Insgesamt: M Res also: M unerfüllbar 36
37 Resolution: Weiteres Beispiel Zu zeigen: (P Q) ((Q R) (P R)) ist allgemeingültig 37
38 Resolution: Weiteres Beispiel Zu zeigen: (P Q) ((Q R) (P R)) ist allgemeingültig Dazu zeigen wir, dass unerfüllbar ist. [(P Q) ((Q R) (P R))] 38
39 Resolution: Weiteres Beispiel Zu zeigen: ist allgemeingültig (P Q) ((Q R) (P R)) Dazu zeigen wir, dass unerfüllbar ist. [(P Q) ((Q R) (P R))] Klauselnormalform: {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} 39
40 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben 40
41 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) 41
42 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) 42
43 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} Ableitung der leeren Klausel aus M: (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) (7) aus (4) und (6) 43
44 Resolution: Bemerkungen Vorsicht bei Klauseln mit mehreren Resolutionsmöglichkeiten Zwei Klauseln können mehr als eine Resolvente haben z.b.: {A,B} und { A, B} {A,B,C} und { A, B,D} haben NICHT {C,D} als Resolvente 44
45 Resolution: Bemerkungen Vorsicht bei Klauseln mit mehreren Resolutionsmöglichkeiten Zwei Klauseln können mehr als eine Resolvente haben z.b.: {A,B} und { A, B} {A,B,C} und { A, B,D} haben NICHT {C,D} als Resolvente Heuristik: Immer möglichst kleine Klauseln ableiten 45
46 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge ist unerfüllbar. E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } 46
47 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } ist unerfüllbar. Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (ohne Mengenschreibweise) P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 47
48 Notwendigkeit der Mengenschreibweise Die Menge E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } ist unerfüllbar. Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (ohne Mengenschreibweise) P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 Auf diese Weise ist nicht herleitbar 48
49 Ohne Mengenschreibweise Resolutionsregel: C 1 P P C 2 C 1 C 2 Faktorisieren: C L L C L 49
50 Resolution mit Faktorisierung Die Menge ist unerfüllbar. E = {P 1 P 2, P 1 P 2, P 1 P 2,P 1 P 2 } Es gibt folgende Resolutionsmöglichkeiten (mit Faktorisieren) P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 1 P 2 P 1 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 P 1 P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 1 P 1 50
51 Resolution: Beispiel Gegeben die Klauselmenge: M = {{P 1,P 2 },{P 1, P 2 },{ P 1,P 2 },{ P 1, P 2 }} Resolution: {P 1,P 2 } {P 1, P 2 } {P 1 } { P 1,P 2 } { P 1, P 2 } { P 1 } {P 1 } { P 1 } Insgesamt: M Res also: M unerfüllbar 51
52 Resolution Ziele: Formalisieren, was M Res bedeutet Zeigen, dass M Res gdw. M unerfüllbar. 52
53 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} 53
54 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) 54
55 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) Notation: Falls C Res (F), so schreiben wir F Res C. 55
56 Resolution Sei F eine Klauselmenge und Res(F) = F {R R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F} Res 0 (F) = F Res n+1 (F) = Res(Res n (F)) Res (F) = n N Resn (F) (bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller möglichen Resolutionsschritte auf F) Notation: Falls C Res (F), so schreiben wir F Res C. Definition: Beweis für C (aus F): C 1,...C n, wobei: C n = C und für alle 1 i n: (C i F oder C i Resolvente für C j 1 C j2 C i j 1,j 2 <i). mit 56
57 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) Beweis für {R} aus M 57
58 Resolution: Weiteres Beispiel Klauselnormalform: M = {{ P,Q},{ Q,R},{P},{ R}} (1) { P, Q} gegeben (2) { Q, R} gegeben (3) {P} gegeben (4) { R} gegeben (5) {Q} aus (1) und (3) (6) {R} aus (2) und (5) (7) aus (4) und (6) Beweis für aus M (Widerspruch) 58
59 Resolution: Korrektheit und Vollständigkeit Theorem (Korrektheit) Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. Theorem (Vollständigkeit) Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M unerfüllbar, so M Res. 59
60 Resolution: Korrektheit Theorem (Korrektheit) Für eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M Res, so M unerfüllbar. Beweis: Wir werden zeigen, dass falls C Res (M), so M M {C}. (Theorem auf Seite 61). (NB: M {C} Notation für M C.) Dann, falls M Res, so Res (M), d.h. M M { }. Aber M { } ist unerfüllbar, deshalb ist auch M unerfüllbar. Erklärung 1: Falls M = {C 1,...,C n } so M { } ist eine Notation für C 1 C n. Aber C 1 C n, so ist C 1 C n unerfüllbar (also auch M { }). Da M M { }, ist auch M unerfüllbar. Erklärung 2: Es gibt keine Wertebelegung A die alle Klauseln in M { } wahr macht (d.h. so dass: A(D) = 1 für alle Klauseln D in M und A( ) = 1). 60
61 Resolution: Korrektheit Lemma: C 1 P,C 2 P = C 1 C 2 Beweis: Sei A Interpretation mit A(C 1 P) = 1 und A(C 2 P) = 1. Zu zeigen: A(C 1 C 2 ) = 1. Fall 1: A(C 1 ) = 1. Dann A(C 1 C 2 ) = 1. Fall 2: A(C 1 ) = 0. Dann A(P) = 1. Da A(C 2 P) = 1, so A(C 2 ) = 1, d.h. A(C 1 C 2 ) = 1. 61
62 Resolution: Korrektheit Theorem: Falls C Res (F), so F F {C}. Beweis: Annahme: C Res n (F). Zu zeigen: F F C, i.e.: Für alle A : Π {0,1} gilt: A(F) = 1 gdw. (A(F) = 1 und A(C) = 1). 62
63 Resolution: Korrektheit Theorem: Falls C Res (F), so F F {C}. Beweis: Annahme: C Res n (F). Zu zeigen: F F C, i.e.: Für alle A : Π {0,1} gilt: A(F) = 1 gdw. (A(F) = 1 und A(C) = 1). Sei A : Π {0,1} mit A(F) = 1. Induktion: Für alle m N gilt: Falls D Res m (F), so A(D) = 1. (folgt aus: C 1 P,C 2 P = C 1 C 2 ) Dann A(C) = 1, so (A(F) = 1 und A(C) = 1), d.h. A(F C) = 1. Sei A : Π {0,1} mit A(F C) = 1. Dann A(F) = 1 und A(C) = 1, so A(F) = 1. 63
64 Resolution: Vollständigkeit Theorem. Für jede endliche Menge M von Klauseln gilt: falls M unerfüllbar, so M Res. Beweis: Induktion: p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen. Falls M unerfüllbar, so M Res 64
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 7 15.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 07.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Gestern Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 7.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,
Formale Systeme. Aussagenlogik: Resolutionskalku l. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2018/2019
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2018/2019 Aussagenlogik: Resolutionskalku l KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme. Das Erfu llbarkeitsproblem. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Das Erfu llbarkeitsproblem KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
Das SAT Problem oder Erfüllbarkeitsproblem. Formale Systeme. Teilklassen. Satz von Cook. SAT Instanz: Eine aussagenlogische Formel F For 0
Das SAT Problem oder Erfüllbarkeitsproblem Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe TH SAT Instanz: Eine aussagenlogische Formel F For 0 Frage: Ist F erfüllbar?
Resolution (Idee) Aus der Herleitung der leeren Disjunktion (= leere Klausel) folgt Unerfüllbarkeit.
Resolution (Idee) (F A) (F A) (F A) (F A) (F F ) Aus der Herleitung der leeren Disjunktion (= leere Klausel) folgt Unerfüllbarkeit. Zwei Fragen: Kann man aus einer unerfüllbaren Formel immer die leere
Theoretische Informatik: Logik
Theoretische Informatik: Logik Vorlesung mit Übungen im WS 2006/2007 Vorlesung: Montag Montag 9-10 Uhr, Raum 1603 WAneu 14-16 Uhr, Raum 1603 WAneu Beginn: Montag, den 23.10.2006, 9 15 Uhr. Übungen in 3
1 Aussagenlogik AL: Verknüpfung von Aussagen
1 Aussagenlogik AL: Verknüpfung von Aussagen Syntax atomare Formeln A,B,C sind AL-Formeln F und G AL-Formeln (F G),(F G) und F AL-Formeln müssen in endlich vielen Schritten gebildet werden können echtes
Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren:
Resolutionskalkül Ein Kalkül ist eine Kollektion von syntaktischen Umformungsregeln, die unter gegebenen Voraussetzungen aus bereits vorhandenen Formeln neue Formeln erzeugen. Der Resolutionskalkül besteht
Erfüllbarkeitstests. Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl.
Erfüllbarkeitstests Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Grundlagen und diskrete Strukturen ) Ein für Formeln
FORMALE SYSTEME. 23. Vorlesung: Logisches Schließen. TU Dresden, 16. Januar Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme
FORMALE SYSTEME 23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Krötzsch Lehrstuhl Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 16. Januar 2017 Rückblick Markus Krötzsch, 16. Januar 2017 Formale Systeme Folie 2 von 31
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Kr otzsch Professur f ur Wissensbasierte Systeme Normalformen
Logik: Glossar FORMALE SYSTEME 23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 15. Januar 2018 Atom kleinste mögliche Formel p P Teilformel Unterausdruck,
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker Wintersemester 2007/08 Thomas Schwentick Teil A: Aussagenlogik 3. Erfüllbarkeit Version von: 23. Januar 2008(16:11) Inhalt 3.1 Grundbegriffe 3.2 Aussagenlogische Resolution 3.3 Endlichkeitssatz
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 7 26.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Unser Ziel Kalküle zur systematischen Überprüfung von
Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16. Resolution. Motivation. Beispiel
rundlagen und Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 31. Mai 2016 Motivation Wir benötigen einen (Un-)Erfüllbarkeitstest für aussagenlogische
Zusammenfassung Syntax: Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Hornformeln. Zusammenfassung
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Mai 2016 Zusammenfassung Syntax Zusammenfassung Syntax: Motivation Definition der Syntax: Alphabet, Junktor
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Mai 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/42 Zusammenfassung Syntax
Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37 Modellierungsaufgabe Es gibt drei Tauben und zwei Löcher. Jede Taube soll in
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert. Winter 2008/2009. Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe (TH)
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe (TH) Winter 2008/2009 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme Winter 2008/2009 1 / 22 Kalküle für die Aussagenlogik
Logik Vorlesung 5: Grundlagen Resolution
Logik Vorlesung 5: Grundlagen Resolution Andreas Maletti 21. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere
Resolutionsalgorithmus
112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 12. Prädikatenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Zur Erinnerung Definition: Aussagenlogische
Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen
Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume & Dr. Sander Bruggink Barbara König Logik 1 (Motivation) Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests,
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Aussagenlogik: Tableaukalku l KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Wozu formale Logik? Programmiersprachen Logik im Fingerhut. Formeln. Logik im Fingerhut (24. Januar 2005) Belegung und Interpretation
Wozu formale Logik? Logik im Fingerhut Studiengang Informatik Universität Bremen präzise Beschreibung von Aussagen über die Welt bzw. über verschiedene Welten Ziehen und Überprüfen von Schlussfolgerungen
Formale Systeme, WS 2008/2009 Lösungen zum Übungsblatt 2
UNIVERSITÄT KARLSRUHE (TH) Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. B. Beckert M. Ulbrich Formale Systeme, WS 2008/2009 Lösungen zum Übungsblatt 2 Dieses Blatt wurde in der Übung am 14.11.2008 besprochen.
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Aussagenlogik: Tableaukalku l KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Sommersemester 2017
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender AG Formale Methoden und Theoretische Informatik Fachbereich Informatik Universität Koblenz-Landau Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker
Resolution für die Aussagenlogik
Resolution für die Aussagenlogik Der Resolutionskakül ist ein Beweiskalkül, der auf Klauselmengen, d.h. Formeln in KNF arbeitet und nur eine Schlußregel besitzt. Der Resolution liegt die folgende Vorstellung
Resolution (Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Resolution (Idee) Resolution (Idee)
(Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 0 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests, die zumindest in vielen Fällen gutartiges
Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik
Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik In diesem Abschnitt betrachten wir Verfahren die bei gegebener endlichen Menge Σ und A-Form A entscheiden ob Σ = A gilt. Die bisher betrachteten Verfahren prüfen
Klauselmengen. Definition Sei
Klauselmengen Definition 2.38 Sei α = (p 11... p 1k1 )... (p n1... p nkn ) eine in aussagenlogische Formel in KNF. Dann heißen die Mengen {p i1,..., p iki }, 1 i n, der jeweils disjunktiv verknüpften Literale
1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
Logik für Informatiker Logic for Computer Scientists
Logik für Informatiker Logic for Computer Scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 18 Vollständigkeit der Aussagenlogik Till Mossakowski Logik 2/ 18 Objekt- und Metatheorie
Aussagenlogik: Syntax von Aussagen
Aussagenlogik: Syntax von Aussagen A ::= X (A A) (A A) ( A) (A A) (A A) 0 1 Prioritätsreihenfolge :,,,,. A B: Konjunktion (Verundung). A B: Disjunktion (Veroderung). A B: Implikation. A B: Äquivalenz.
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische
Formale Systeme, WS 2015/2016. Lösungen zu Übungsblatt 7
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Bernhard Beckert Dr. Thorsten Bormer, Dr. Vladimir Klebanov, Dr. Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2015/2016 Lösungen
Jeder Aussage p kann ein Wahrheitswert W(p) {0, 1} zugeordnet werden. Beispiele: W(Es regnet.) =? (je nach Lage der Dinge) W(Die Straße ist naß.) =?
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl.
Logische und funktionale Programmierung
Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2 und 3: Resolution Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 3. November 2017 1/43 HERBRAND-STRUKTUR Sei
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül
Logik Vorlesung 4: Horn-Logik und Kompaktheit
Logik Vorlesung 4: Horn-Logik und Kompaktheit Andreas Maletti 14. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung
Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans 23.07.2012 Dipl.-Inform. Markus Bender Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung
Deduktion in der Aussagenlogik. Semantische Folgerungsbeziehung. Zusammenhang zwischen semantischer und syntaktischer Folgerung
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
Deduktion in der Aussagenlogik
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
Prädikatenlogische Entscheidbarkeitsprobleme
Prädikatenlogische Entscheidbarkeitsprobleme Erfüllbarkeitsproblem: Gegeben: prädikatenlogischer Ausdruck A über einer Signatur S Frage: Ist A erfüllbar? Gültigkeitsproblem: Gegeben: prädikatenlogischer
Ralf Möller, TUHH. Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem. Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik
Ralf Möller, TUHH Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik Danksagung Bildmaterial: S. Russell, P. Norvig, Artificial
Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Sommersemester 2015
Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender AG Formale Methoden und Theoretische Informatik Fachbereich Informatik Universität Koblenz-Landau Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker
1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
Hilbert-Kalkül (Einführung)
Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle
Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
Tableaukalkül für Aussagenlogik
Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 2: Logik 1 Prädikatenlogik (Einleitung) 2 Aussagenlogik Motivation Grundlagen Eigenschaften Eigenschaften Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
Aufgabe 13 (Markierungsalgorithmus). Gegeben ist die Formel F = (A D C) (E A) ( ( B D) E) A B (B D)
INTA - Lösungshinweise zum Übungsblatt 4, Version 1.0α. Wenn sie Fehler finden oder Ihnen etwas auch nach dem Gespräch mit ihren Kommilitonen noch unklar ist, dann schicken sie mir bitte eine Email! Aufgabe
Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7
Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7 Es gibt eine Fülle von verschiedenen Resolutionen. Die bis jetzt behandelten möchte ich hier noch ein Mal kurz erläutern. Ferner möchte ich noch auf
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation
Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung
Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen
Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Dennis Nolte, Harsh Beohar Barbara König Logik 1 Mengen, Relationen und Funktionen Menge: Menge X von Elementen,
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 28. Aussagenlogik: DPLL-Algorithmus Malte Helmert Universität Basel 2. Mai 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26. Grundlagen 27. Logisches
Formale Grundlagen der Informatik 1 Wiederholung zum Logik-Teil
Formale Grundlagen der Informatik 1 zum Logik-Teil Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 20. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/32 Überblick Im hatten wir Aussagenlogik
Wiederholung: Resolution in der Aussagenlo. Resolution in der Prädikatenlogik. Definition von Res(F) (Wiederholung)
Resolution in der Prädikatenlogik Wiederholung: Resolution in der Aussagenlo Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis aber unbrauchbar. Daher ist unser Programm der nächsten Stunden:
Logik Teil 1: Aussagenlogik
Logik Teil 1: Aussagenlogik Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Jeder Aussage ist ein Wahrheitswert (wahr/falsch) zugeordnet
1. Zwischentest Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010
1. Zwischentest Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 10. Dezember 2009 Vorname: Matrikel-Nr.: Bitte geben Sie auf jedem benutzten Blatt rechts oben Ihren Namen
Schlussregeln aus anderen Kalkülen
Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,
Grundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.
Logik. Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering. TU Dortmund Wintersemester 2014/15 WS 2014/15
Logik Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering TU Dortmund Wintersemester 2014/15 WS 2014/15 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 1 / 125 Übersicht Modallogik 5. Grundlagen 6. Erfüllbarkeit
Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik
Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable
Problem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten
2.6 Verfeinerung der Resolution Problem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten Resolutions-Strategien: heuristische Regeln für die Auswahl der Resolventen Resolutions-Restriktionen:
Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen
Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification
HA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 10. Besprechung in KW02/2019
Technische Universität München Winter 2018/19 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, C. Welzel 2019/01/11 HA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 10 Besprechung in KW02/2019 Beachten
Logik Teil 1: Aussagenlogik
Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Logik Teil : Aussagenlogik Jeder Aussage ist ein Wahrheitswert (wahr/falsch) zugeordnet
Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010
Logik Teil 1: Aussagenlogik Vorlesung im Wintersemester 21 Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Jeder Aussage ist ein
4. Logik und ihre Bedeutung für WBS
4. Logik und ihre Bedeutung für WBS WBS verwenden formale Sprache L um Wissen zu repräsentieren Grundidee: Problemlösen = Folgern aus in L dargestelltem Wissen Folgern = implizites Wissen explizit machen
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 8 31.05.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen: CNF/DNF Subsumption SAT-Problem
Frank Heitmann 2/48. 2 Substitutionen, um formal auszudrücken wie in Formelmengen. auf!
Motivation ormale der Informatik 1 Kapitel 17 und rank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Der Sinn von : Aufgrund syntaktischer Eigenschaften von ormeln/ormelmengen auf semantische Eigenschaften
Logik Grundvorlesung WS 17/18 Ergänzende Folien Teil 1
Logik Grundvorlesung WS 17/18 Ergänzende Folien Teil 1 Gerhard Brewka Institut für Informatik Universität Leipzig brewka@informatik.uni-leipzig.de G. Brewka (Leipzig) WS 17/18 1 / 46 Über diese Vorlesung
Aussagenlogische Kalküle
Aussagenlogische Kalküle Ziel: mit Hilfe von schematischen Regeln sollen alle aus einer Formel logisch folgerbaren Formeln durch (prinzipiell syntaktische) Umformungen abgeleitet werden können. Derartige
Aussagenlogik. (MAF2) MAF(I, t) = t und MAF(I, f ) = f. Die Semantik aussagenlogischer Formeln ist durch die Funktion
43 Vergleiche mit MBA! (MAF4) MAF(I, (F G)) = MAF(I, F) MAF(I, G), wobei die zum Symbol gehörende Funktion ist. (MAF3) MAF(I, F) = MAF(I, F) (MAF2) MAF(I, t) = t und MAF(I, f ) = f (MAF1) MAF(I, A) = I(A),
Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.9 Prädikatenlogik Resolution 207 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N 2 Es regnet. R
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 1 25.04.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Grundlegende Beweisstrategien Induktion über