Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1

2 Unser Ziel Kalküle zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) 2

3 Unser Ziel Kalküle zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Bis jetzt Normalformen, Skolemisierung Klauselnormalform Heute Herbrand-Interpretationen Resolution 3

4 Herbrand-Interpretationen Ab jetzt betrachten wir, falls nichts Anderes angegeben, immer nur PL ohne Gleichheit. Ω enthalte immer mindestens ein Konstantensymbol. Definition. Herbrand-Interpretationen (über Σ) sind Σ-Strukturen A mit: 1. U A = T Σ Menge der Grundterme, d.h. variablenfreien Terme über Σ 2. f A : (s 1,..., s n ) f (s 1,..., s n ), f /n Ω f A (,..., ) = f... d.h. vorgegeben sind Terme als Daten und Funktionen als Termkonstruktoren. Variabel sind nur die Interpretationen der Prädikatensymbole p A T m Σ, p m Π 4

5 Herbrand-Interpretationen als Mengen von Grundatomen Satz. Jede Menge von Grundatomen I identifiziert genau eine Herbrand- Interpretation A durch (s 1,...,s n ) p A genau dann, wenn p(s 1,...,s n ) I Im folgenden werden wir daher nicht zwischen Herbrand-Interpretationen (über Σ) und Mengen von Σ-Grundatomen unterscheiden. 5

6 Herbrand-Interpretationen als Mengen von Grundatomen Beispiel: Σ Pres = ({0/0,s/1,+/2}, {< /2, /2}) N als Herbrand-Interpretation über Σ Pres I = { 0 0, 0 s(0), 0 s(s(0)),..., , s(0),...,..., (s(0) + 0) + s(0) s(0) + (s(0) + s(0))... s(0) + 0 < s(0) s(0)...} 6

7 Existenz von Herbrand-Modellen Definition. Eine Herbrand-Interpretation I heißt Herbrand-Modell von F, falls I = F. Theorem [Herbrand] Sei N eine Menge von Σ-Klauseln. N erfüllbar g.d.w. N hat Herbrand-Modell (über Σ) wobei g.d.w. G Σ (N) hat Herbrand-Modell (über Σ) G Σ (N) = {Cσ Grundklausel C N, σ : X T Σ } die Menge der Grundinstanzen von N ist. [Beweis später im Zusammenhang mit dem Vollständigkeitsbeweis für Resolution.] 7

8 Beispiel für G Σ Bzgl. Σ Pres erhält man für folgende Grundinstanzen: C = (x < y) (y s(x)) (0 < 0) (0 s(0)) (s(0) < 0) (0 s(s(0)))... (s(0) + s(0) < s(0) + 0) (s(0) + 0 s(s(0) + s(0)))... 8

9 Aussagenlogische Resolution Aussagenlogische Klauseln entsprechen Grundklauseln und umgekehrt. 9

10 Resolutionskalkül (Mengennotation) Resolutionsregel: C {A} C D { A} D C D: Resolvente A: resolviertes Atom 10

11 Beispielrefutation (Mengennotation) 1. { P(f (a)), P(f (a)), Q(b)} (gegeben) 2. {P(f (a)), Q(b)} (gegeben) 3. { P(g(b, a)), Q(b)} (gegeben) 4. {P(g(b, a))} (gegeben) 5. { P(f (a)), Q(b)} (Res. 2. in 1.) 6. {Q(b)} (Res. 2. in 5.) 7. { P(g(b, a))} (Res. 6. in 3.) 8. (Res. 4. in 9.) 11

12 Resolutionskalkül (Klauselnotation) Resolutionsregel: C A C D A D C D: Resolvente A: resolviertes Atom Faktorisieren: C L L C L wird in Klauseln als assoziativ und kommutativ aufgefaßt. 12

13 Beispielrefutation (Klauselnotation) 1. P(f (a)) P(f (a)) Q(b) (gegeben) 2. P(f (a)) Q(b) (gegeben) 3. P(g(b, a)) Q(b) (gegeben) 4. P(g(b, a)) (gegeben) 5. P(f (a)) Q(b) Q(b) (Res. 2. in 1.) 6. P(f (a)) Q(b) (Fakt. 5.) 7. Q(b) Q(b) (Res. 2. in 6.) 8. Q(b) (Fakt. 7.) 9. P(g(b, a)) (Res. 8. in 3.) 10. (Res. 4. in 9.) 13

14 Korrektheit und Vollständigkeit Aussagenlogische Resolution ist korrekt und vollständig. Mengennotation: Resolutionsregel Klauselnotation: Resolutionsregel + Faktorisieren 14

15 Prädikatenlogische Resolution Grundidee Vor Resolutionsschritt durch geeignete Substitution komplementäres Paar von Literalen erzeugen 15

16 Prädikatenlogische Resolution Grundidee Vor Resolutionsschritt durch geeignete Substitution komplementäres Paar von Literalen erzeugen Möglichkeit für Resolutionsregel wobei C 1 {L} C 2 { L } C 1 σ C 2 σ die Elternklauseln keine Variablen gemeinsam haben (bereinigt) ggf. umbenennen σ(l) = σ(l ) 16

17 Prädikatenlogische Resolution Grundidee Vor Resolutionsschritt durch geeignete Substitution komplementäres Paar von Literalen erzeugen Möglichkeit für Resolutionsregel wobei C 1 {L} C 2 { L } C 1 σ C 2 σ die Elternklauseln keine Variablen gemeinsam haben (bereinigt) ggf. umbenennen σ(l) = σ(l ) Nachteil: Viel zu viele Substitutionen σ mit σ(l) = σ(l ) Idee: Wähle die allgemeinste Substitution, mit σ(l) = σ(l ) 17

18 Unifikation.. Sei E = {s 1 = t 1,...,s n = t n } (s i,t i Terme oder Atome) eine Menge von Gleichheitsproblemen. Definition: Eine Substitution σ heißt ein Unifikator von E g.d.w. A 1 i n : s i σ = t i σ. Existiert ein Unifikator, so heißt E unifizierbar. Definition: σ heißt allgemeiner als τ σ τ : es gibt Subst. : σ = τ wobei (σ )(x) := (xσ) die Komposition von σ und als Abbildungen. a a Ist wohldefiniert, weil σ einen endlichen Bereich hat. 18

19 Ein paar simple Fakten Jeder Term ist mit sich selbst unifizierbar (mittels id) Terme der Gestalt f (s 1,...,s n ), f (t 1,...,t n ) sind unifizierbar g.d.w. si und t i unifizierbar für 1 i n Atome der Gestalt p(s 1,...,s n ), p(t 1,...,t n ) sind unifizierbar g.d.w. si und t i unifizierbar für 1 i n Terme der Gestalt f (s 1,...,s n ), g(t 1,...,t m ) sind niemals unifb. Atome der Gestalt p(s 1,...,s n ), q(t 1,...,t n ) sind niemals unifb. Eine Variable x und ein Term t, der x nicht enthält, sind immer unifb. (mittels [t/x]) Eine Variable x und ein Term t x, der x enthält, sind niemals unifizierbar 19

20 Unifikation nach Martelli/Montanari (1) t. = t,e MM E (2) f (s 1,...,s n ). = f (t 1,...,t n ), E MM s 1. = t 1,...,s n. = t n,e (3) f (...). = g(...), E MM (4) x. = t,e MM x. = t,e[t/x] (5) x. = t,e MM falls x var(e), x var(t) falls x t,x var(t) (6) t. = x,e MM x. = t,e falls t X 20

21 Beispiel 1 {f (g(a, x), g(y,b)). = f (x,g(v,w)), f (x,g(v,w)). = f (g(x, a), g(v,b)} (2) MM (5) MM {g(a, x). = x,g(y,b). = g(v,w), x. = g(x,a), g(v, w). = g(v,b)} 21

22 Beispiel 2 {f (g(a, x), g(y,b)). = g(x,g(v, w)), f (x, g(v,w)). = f (g(x,a), g(v,b)} (3) MM 22

23 Beispiel 3 {f (g(a, x), g(y,b)). = f (z, g(v,w)), f (z, g(v,w)). = f (g(x, a), g(v,b)} (2) MM (4) MM {g(a, x). = z,g(y,b). = g(v, w), z. = g(x,a), g(v,w). = g(v,b)} {z. = g(a, x),g(y,b). = g(v, w), g(a, x). = g(x,a), g(v, w). = g(v,b)} 23

24 Beispiel 3 {f (g(a, x), g(y,b)). = f (z, g(v,w)), f (z, g(v,w)). = f (g(x, a), g(v,b)} (2) MM (4) MM {g(a, x). = z,g(y,b). = g(v, w), z. = g(x,a), g(v,w). = g(v,b)} {z. = g(a, x),g(y,b). = g(v, w), g(a, x). = g(x,a), g(v, w). = g(v,b)} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x,x. = a, v. = v,w. = b} 24

25 Beispiel 3 {f (g(a, x), g(y,b)). = f (z, g(v,w)), f (z, g(v,w)). = f (g(x, a), g(v,b)} (2) MM (4) MM {g(a, x). = z,g(y,b). = g(v, w), z. = g(x,a), g(v,w). = g(v,b)} {z. = g(a, x), g(y,b). = g(v, w), g(a, x). = g(x,a), g(v, w). = g(v,b)} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x,x. = a, v. = v,w. = b} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x,x. = a, w. = b} 25

26 Beispiel 3 {f (g(a, x), g(y,b)). = f (z, g(v,w)), f (z, g(v,w)). = f (g(x, a), g(v,b)} (2) MM (4) MM {g(a, x). = z,g(y,b). = g(v, w), z. = g(x,a), g(v,w). = g(v,b)} {z. = g(a, x), g(y,b). = g(v, w), g(a, x). = g(x,a), g(v, w). = g(v,b)} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x,x. = a, v. = v,w. = b} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x, x. = a,w. = b} MM {z. = g(a, a), y. = v,b. = b,a. = a,x. = a,w. = b} MM {z. = g(a, a), y. = v,x. = a,w. = b} 26

27 Beispiel 3 {f (g(a, x), g(y,b)). = f (z, g(v,w)), f (z, g(v,w)). = f (g(x, a), g(v,b)} (2) MM (4) MM {g(a, x). = z,g(y,b). = g(v, w), z. = g(x,a), g(v,w). = g(v,b)} {z. = g(a, x), g(y,b). = g(v, w), g(a, x). = g(x,a), g(v, w). = g(v,b)} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x,x. = a, v. = v,w. = b} MM {z. = g(a, x), y. = v,b. = w,a. = x, x. = a,w. = b} MM {z. = g(a, a), y. = v,b. = b,a. = a,x. = a,w. = b} MM {z. = g(a, a), y. = v,x. = a, w. = b} Allgemeinster Unifikator: [g(a, a)/z, v/y,a/x, w/b] 27

28 Unifikation: Haupteigenschaften Definition. Eine Substitition σ heißt idempotent, wenn σ σ = σ. Lemma. σ ist idempotent gdw. dom(σ) codom(σ) =. Theorem. 1. E MM gdw. E nicht unfizierbar E unifizierbar gdw. E MM x 1 = u 1,...,x k = u k, mit x i pw. verschieden, x i var(u j ),1 i,j k Falls E MM x 1 = u 1,...,x k = u k, mit x i pw. verschieden, x i var(u j ) so σ = [u 1 /x 1,...,u k /x k ] ist allgemeinster Unifikator von E. 28

29 Unifikation: Haupteigenschaften Theorem. E unifizierbar g.d.w. es gibt allgemeinsten Unifikator σ von E, so dass: (1) σ idempotent und (2) dom(σ) codom(σ) var(e). Notation: σ = mgu(e) ( most general unifier ) Problem: exponentielles Anwachsen der Terme möglich. 29

30 Unifikation: Haupteigenschaften Theorem. E unifizierbar g.d.w. es gibt allgemeinsten Unifikator σ von E, so dass: (1) σ idempotent und (2) dom(σ) codom(σ) var(e). Notation: σ = mgu(e) ( most general unifier ) Problem: exponentielles Anwachsen der Terme möglich. Beispiel: E = {x 1 f (x 0,x 0 ), x 2 f (x 1,x 1 ),...,x n f (x n 1,x n 1 )} m.g.u. [x 1 f (x 0,x 0 ), x 2 f (f (x 0,x 0 ), f (x 0,x 0 )),...] x i kompletter binärer Baum der Höhe i Zeit/Raum: exponentiell Idee: Terme: azyklische Termgraphen 30

31 Beweisideen Falls E MM E, dann σ Unifikator von E gdw. σ Unifikator von E. ( habe keinen Unifikator.) Bzgl. MM irreduzible E sind trivialerweise nicht unifizierbar (E = ) oder haben die Form einer idempotenten Substitution. In diesem Fall ist die Substitution der allgemeinste Unifikator. MM ist Noethersch. Eine geeignete lexikographische Ordnung auf Gleichungsmengen E (mit minimal und kleiner als alle Gleichungsmengen) zeigt dieses. Man vergleiche in dieser Reihenfolge: 1. Anzahl der definierten Variablen (d.h. Variablen x in Gleichung x. = t mit x var(t)), die auch außerhalb ihrer Definition in E vorkommen 2. Mengenordnung induziert von (i) der Größe (Anzahl der Symbole) einer Gleichung; (ii) bei gleicher Größe betrachten wir x. = t kleiner als t. = x, falls t X. σ ist idempotent wegen der Substitution in Regel 4. dom(σ) var(e), weil keine neuen Variablen eingeführt werden. 31

32 Prädikatenlogische Resolution Prädikatenlogische Resolutionsregel wobei C 1 {L} C 2 { L } C 1 σ C 2 σ die Elternklauseln keine Variablen gemeinsam haben (bereinigt) ggf. umbenennen σ ein allgemeinster Unifikator (MGU) von L,L ist. 32

33 Beispiel {L} C 1 = {p(a,x),p(x,x)} {z } L {L } C 2 = { p(y,y)} {z } L 33

34 Beispiel {L} C 1 = {p(a,x),p(x,x)} {z } L {L } C 2 = { p(y,y)} {z } L 34

35 Beispiel {L} C 1 = {p(a,x),p(x,x)} {z } L {L } C 2 = { p(y,y)} {z } L Allgemeinster Unifikator von L,L : {p(a, x). = p(y,y)} MM {a. = y,x. = y} σ = [a/y, a/x] MM {y. = a, x. = a} 35

36 Beispiel {L} C 1 = {p(a,x),p(x,x)} {z } L {L } C 2 = { p(y,y)} {z } L Allgemeinster Unifikator von L,L : {p(a, x). = p(y,y)} MM {a. = y,x. = y} MM {y. = a, x. = a} σ = [a/y, a/x] C 1 {L} C 2 { L } C 1 σ C 2 σ R := {p(x,x)}σ {}σ = {p(a,a)} 36

37 Prädikatenlogische Resolution Resolutionsregel in dieser Form alleine unvollständig für Prädikatenlogik 37

38 Prädikatenlogische Resolution Resolutionsregel in dieser Form alleine unvollständig für Prädikatenlogik Beispiel: {{p(x), p(y)}, { p(u), p(v)}} unerfüllbar aber nur Resolventen der Länge 2 38

39 Prädikatenlogische Resolution Faktorisierung {L 1,...,L n } C ({L 1,...,L n } C)σ wobei σ allgemeinster Unifikatior (MGU) von {L 1,...,L n } ist ({L 1,...,L n } C)σ heißt Faktor von {L 1,...,L n } C 39

40 Beispiel für Faktorisierung {p(x), p(y), r(y,z)} {p(x), r(x,z)} 40

41 Beispiel für Faktorisierung {p(x), p(y), r(y,z)} {p(x), r(x,z)} {p(x),p(y), p(a), r(y,z)} {p(a), r(a, z)} 41