SLD-Ableitungsbäume. G = B 1... B m. G die Menge aller SLD-Resolventen von G und definiten. G einen Nachfolger, der mit G markiert ist.

Transkript

1 SLD-Ableitungsbäume Definition 5.48 Sei P ein definites Programm und G ein definites Ziel. Ein SLD-Ableitungsbaum ist ein Baum, der die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Jeder Knoten des Baums ist mit einem definiten Ziel markiert. 2. Die Wurzel des Baums ist mit G markiert. 3. Sei K ein mit G = B 1... B m markierter Knoten, B j das ausgewählte Teilziel und G die Menge aller SLD-Resolventen von G und definiten Klauseln aus P bezüglich B j. Dann hat K genau für jede in G vorkommende SLD-Resolvente G einen Nachfolger, der mit G markiert ist. 262

2 Beobachtungen Jeder Ast in einem SLD-Ableitungsbaum repräsentiert eine SLD-Ableitung. Entsprechend den dazugehörigen SLD-Ableitungen unterscheiden wir erfolgreiche, fehlgeschlagene und unendliche Äste in einem SLD-Ableitungsbaum. SLD-Ableitungsbäume können in Abhängigkeit der Selektionsfunktion für dasselbe Programm und Ziel sehr unterschiedlich sein. Ist (P G) unerfüllbar, so hat jeder SLD-Ableitungsbaum für (P G) mindenstens einen erfolgreichen Ast (Satz 5.44). 263

3 Ein Beispiel Programm P: q(x) p(x) r(x) p(a) r(a) r(f(y )) r(y ) und Ziel G: q(z) Betrachte den SLD-Ableitungsbaum, in dem jeweils das erste letzte Teilziel eines definiten Ziels ausgewählt wird! 264

4 Weitere Beispiele Programm P: p(x, Z) q(x, Y ) p(y, Z) p(x, X) q(a, b) und Ziel G: p(x, b) Betrachte den SLD-Ableitungsbaum, in dem jeweils das erste letzte Teilziel eines definiten Ziels ausgewählt wird! 265

5 Beispiel zu Prolog s Tiefensuche Programm P: p(a, b) p(c, b) p(x, Z) p(x, Y ) p(y, Z) p(x, Y ) p(y, X) und Ziel G: p(a, c) Betrachte den SLD-Ableitungsbaum, in dem jeweils das erste Teilziel eines definiten Ziels ausgewählt wird! 266

6 Cut! Betrachte den SLD-Ableitungsbaum des Programms: a a. b, c f, g b d,!, e d. mit Ziel: a 267

7 Normale Programme: Motivation Repräsentation P = abfahrt(sbahn, 15:03) versus P = keine abfahrt(sbahn, 15:03) Programmierung difference(l1,l2) :- member(x,l1), not member(x,l2). difference(l1,l2) :- member(x,l2), not member(x,l1). 268

8 Normale Programme: Syntax Definition 5.49 Eine normale Programmklausel ist eine Klausel der Form A L 1... L m wobei A ein Atom und L 1,...,L m Literale sind. Definition 5.50 Ein normales Programm ist eine verallgemeinerte Konjunktion von normalen Programmklauseln. Definition 5.51 Ein normales Ziel ist eine Klausel der Form L 1... L m wobei L 1,...,L m Literale sind. 269

9 SLDNF-Resolution Definition 5.54 Sei G = L 1... L m ein normales Ziel und P = A M 1... M n eine normale Programmklausel. Wenn L i, 1 i m, ein Atom ist und L i und A mit dem allgemeinsten Unifikator θ unifizierbar sind, dann heißt G = (L 1... L i 1 M 1... M n L i+1... L m )θ das aus G und P mittels θ abgeleitete Ziel. Das Teilziel L i heißt ausgewähltes Teilziel. Definition analog zu SLD-Resolvente Warum? 270

10 SLDNF-Widerlegungen (1) Definition 5.55 Sei P ein normales Programm und G 0 ein normales Ziel. Eine SLDNF-Widerlegung mit Rang 0 von (P G 0 ) besteht aus einer Folge: G 0, G 1, G 2,..., G n von normalen Zielen, einer Folge: P 1, P 2,..., P n von neuen Varianten von normalen Programmklauseln aus P und einer Folge: θ 1, θ 2,..., θ n von Substitutionen, so dass G n = [ ] ist und für alle i 1 gilt: G i ist das aus G i 1 und P i mittels θ i abgeleitete Ziel. SLDNF-Widerlegung mit Rang 0 analog zu SLD-Widerlegung 271

11 SLDNF-Ableitungsbäume (1) Definition 5.56 Sei P ein normales Programm und G ein normales Ziel. Ein endlich fehlgeschlagener SLDNF-Ableitungsbaum mit Rang 0 ist ein Baum, der die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Der Baum ist endlich. 2. Jeder Knoten des Baums ist mit einem nicht-leeren normalen Ziel markiert. 3. Die Wurzel des Baums ist mit G markiert. 4. An jedem Knoten wurde ein positives Teilziel ausgewählt. 272

12 5. Sei K ein mit G = L 1... L m markierter Knoten, L j das ausgewählte Teilziel und G die Menge aller aus G und den normalen Klauseln aus P bezüglich L j abgeleiteten Ziele. Dann hat K genau für jede in G vorkommende Ziel G Nachfolger, der mit G markiert ist. einen 273

13 SLDNF-Widerlegungen (2) Definition 5.57 Sei P ein normales Programm und G 0 ein normales Ziel. Eine SLDNF-Widerlegung mit Rang k + 1 von (P G 0 ) besteht aus einer Folge: G 0, G 1, G 2,..., G n von normalen Zielen, einer Folge: P 1, P 2,..., P n von neuen Varianten von normalen Programmklauseln aus P oder abgeschlossenen negativen Literalen und einer Folge: θ 1, θ 2,..., θ n von Substitutionen, so dass 274

14 so dass G n = [ ] ist und für alle i 1 gilt: entweder 1. G i ist das aus G i 1 und P i mittels θ i abgeleitete Ziel oder 2. G i = L 1... L j 1 L j+1... L m, P i = L i und θ i = ǫ, falls (a) G i 1 = L 1... L j... L m, (b) das ausgewählte Teilziel L j ist ein abgeschlossenes negatives Literal A (c) und es gibt einen endlich fehlgeschlagenen SLDNF-Ableitungsbaum mit Rang k für (P ( A)) 275

15 SLDNF-Ableitungsbäume (2) Definition 5.58 Sei P ein normales Programm und G ein normales Ziel. Ein endlich fehlgeschlagener SLDNF-Ableitungsbaum mit Rang k + 1 ist ein Baum, der die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Der Baum ist endlich. 2. Jeder Knoten des Baums ist mit einem nicht-leeren normalen Ziel markiert. 3. Die Wurzel des Baums ist mit G markiert. 276

16 4. Sei K ein mit G = L 1... L m markierter innerer Knoten und L j das ausgewählte Teilziel. (a) Wenn L j ein Atom ist, dann sei G die Menge aller aus G und den normalen Klauseln aus P bezüglich L j abgeleiteten Ziele. Dann hat K genau für jede in G vorkommende Ziel G einen Nachfolger, der mit G markiert ist. (b) Wenn L j das abgeschlossene negative Literal A ist und es einen endlich fehlgeschlagenen SLDNF-Ableitungsbaum mit Rang k für (P ( A)) gibt, dann hat K nur einen Nachfolger, der mit L 1... L i 1 L i+1... L m markiert ist. 277

17 5. Sei K ein mit G = L 1... L m markiertes Blatt und L j das ausgewählte Teilziel. (a) Wenn L j ein Atom ist, dann gibt es keine Programmklausel in P, deren Kopf mit L j unfizierbar ist. (b) Wenn L j das abgeschlossene negative Literal A ist, dann gibt es eine fehlgeschlagene SLDNF-Widerlegung mit Rang k für (P ( A)). 278

18 SLDNF-Widerlegungen (3) Definition 5.59 Sei P ein normales Programm und G ein normales Ziel. (P G) hat eine SLDNF-Widerlegung, wenn es ein k und eine SLDNF-Widerlegung mit Rang k von (P G) gibt. 279

19 Normale Programme: Semantik Zurück zur Frage: P = abfahrt(sbahn, 15:03) Betrachte P: abfahrt(sbahn, 15:07) abfahrt(sbahn, 15:17) abfahrt(sbahn, 15:27) Umgeformt erhalten wir für P: ( X)( Y )(abfahrt(x, Y ) (X = sbahn Y = 15:07) (X = sbahn Y = 15:17) (X = sbahn Y = 15:27) ) 280

20 Vervollständigung Idee Füge zu P die Formel ( X)( Y )(abfahrt(x, Y ) (X = sbahn Y = 15:07) (X = sbahn Y = 15:17) (X = sbahn Y = 15:27) ) hinzu! Resultat ( X)( Y )(abfahrt(x, Y ) (X = sbahn Y = 15:07) (X = sbahn Y = 15:17) (X = sbahn Y = 15:27) ) 281

21 Beispiel Zurück zur Frage: P = abfahrt(sbahn, 15:03) Nach Instanziierung und Umformung erhalten wir: abfahrt(sbahn, 15:03) (sbahn sbahn 15:03 15:07) (sbahn sbahn 15:03 15:17) (sbahn sbahn 15:03 15:27) Wie behandeln wir Gleichheit (=/2) und Ungleichheit ( /2)? 282

22 Vervollständigung Sei p(t 1,...,t n ) L 1 L m (1) eine normale Programmklausel in einem normalen Programm P, in dem das Gleichheitsprädikat (=/2) nicht vorkommt. 1. Transformiere Regel (1) in die Regel p(x 1,...,X n ) ( Y 1 )...( Y k )(X 1 = t 1 X n = t n L 1 L m ), wobei Y 1...Y k alle in (1) vorkommenden Variablen sind. 2. Sei l die Anzahl der Programmklauseln in der Definition von p. Nachdem wir die unter 1. beschriebene Transformation mit allen l Programmklauseln durchgeführt haben, 283

23 3. erhalten wir die folgenden Formeln: p(x 1,...,X n ) E 1,. p(x 1,...,X n ) E l, wobei jedes E i dem Körper der im 1. Schritt dargestellten Regel entspricht. 4. Die vervollständigte Definition von p ist dann die Formel ( X 1 )...( X n )(p(x 1,...,X n ) [E 1,...,E l ]) Einige Prädikatensymbole aus der Sprache können im Programm P nicht vorkommen.sei q/n ein solches Symbol. Dann heisst ( X 1 )...( X n )( q(x 1,...,X n )) vervollständigte Definition von q. 284

24 Ein Beispiel Sei P das Programm even(0) even(s(s(y ))) even(y ) Die vervollständigte Definition von even/1 ist ( X)(even(X) (X = 0 ( Y )(X = s(s(y )) even(y )))) 285

25 Gleichheit Sei E die verallgemeinerte Konjunktion der folgenden Formeln, wobei wir (a = b) mit (a b) abkürzen und F den universellen Abschluss von F darstellt. Gleichheitsaxiome (X = X) ( X 1 = Y 1,...,X n = Y n f(x 1,...,X n ) = f(y 1,...Y n )) für alle Funktionssymbole f/n, ( X 1 = Y 1,...,X n = Y n, p(x 1,...,X n ) p(y 1,...Y n )) für alle Relationssymbole p/n, Formelschema zu Ungleichheit a b für alle Paare a, b von verschiedenen Konstantensymbolen, f(x 1,...,X n ) g(y 1,...Y m ) für alle Paare f/n, g/m von verschiedenen Funktionssymbolen, 286

26 f(x 1,...,X n ) c für jedes Funktionssymbol f/n und jedes Konstantensymbolen c, t X für alle Terme t, in denen die Variable X vorkommt, ([X 1 Y 1,...,X n Y n ] f(x 1,...,X n ) f(y 1,...Y n )) für alle Funktionssymbole f/n, 287

27 Vervollständigung Definition 5.52 Sei P ein normales logisches Programm über der Sprache L(R, F, K). Die Vervollständigung von P ist die verallgemeinerte Konjunktion der vervollständigte Definitionen aller in R vorkommenden Relationssymbole zusammen mit den Formeln in E. Wir notieren die Vervollständigung von P mit comp(p). Definition 5.53 Sei P ein normales logisches Programm, G = A L 1... L m ein normales Ziel und θ eine Antwortsubsitution für (P G). θ ist eine korrekte Antwortsubstitution für (comp(p) G), wenn comp(p) = p (L 1... L m )θ, gilt. 288

28 Beispiel Zurück zur Frage: P = abfahrt(sbahn, 15:03)? mit P: abfahrt(sbahn, 15:07) abfahrt(sbahn, 15:17) abfahrt(sbahn, 15:27) Wir erhalten comp(p) = p abfahrt(sbahn, 15:03) 289

29 Vervollständigung und SLDNF-Resolution Erfüllbarkeit Betrachte: P = {p p}. Wir erhalten: comp(p) = {p p}. Korrektheit Satz 5.61 Sei P ein normales logisches Programm und G ein normales Ziel. Jede (mit SLDNF-Resolution) berechnete Antwortsubstitution ist eine korrekte Antwortsubstitution für (comp(p) G). Vollständigkeit Betrachte: P = {p q, p q, q q} und G = p. Wir erhalten: comp(p) = {p, q q}. 290