Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz

Transkript

1 Logik Vorlesung 8: Modelle und Äquivalenz Andreas Maletti 12. Dezember 2014

2 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

3 Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1 Tautologien und Erfüllbarkeit 2 Modellkonstruktion 3 Äquivalenz und klassische Äquivalenzen Bitte Fragen direkt stellen!

4 Überblick Organisation

5 Organisation Prüfung am um 13 Uhr im HS 3 Abmeldung noch bis über Tool möglich einmaliges Tutorium gewünscht?

6 Prädikatenlogik Wiederholung: Syntax und Semantik

7 Prädikatenlogik Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

8 Prädikatenlogik Wiederholung Definition Terme) Menge T der Terme ist kleinste Menge, so dass x i T für alle i N alle Variablen sind Terme) f k i t 1,..., t k ) T für alle i, k N und t 1,..., t k T Funktionssymbol angewandt auf Terme liefert Term) Definition Formeln) Menge F der Formeln ist kleinste Menge, so dass R k i t 1,..., t k ) F für alle i, k N und t 1,..., t k T Relationssymbol angewandt auf Terme ist Formel) { F 1, F 1 F 2 ), F 1 F 2 )} F für alle F 1, F 2 F Negation, Konjunktion und Disjunktion) x i F F und x i F F für alle i N und F F All- und Existenzquantifikation von x i in Formel ist Formel)

9 Prädikatenlogik Wiederholung Anmerkungen Statt I F ) mit F F schreiben wir wieder F I Interpretation einer Formel liefert Wahrheitswert vgl. Interpretation eines Terms ist Element des Universums) neue Fälle: Relation und Quantoren

10 Prädikatenlogik Wiederholung Definition Interpretation) Interpretation ist Struktur U, I ), so dass U x i ) I U für alle i N f k i ) I : U k U für alle i, k N R k i ) I U k für alle i, k N Universum nicht leer) Definition Terminterpretation) Seien t T ein Term und I = U, I ) eine Interpretation x i ) I = xi I für alle i N der Term x i wird mit dem Wert der Variablen x i belegt) fi k t 1,..., t k )) I = fi k ) I t1 I,..., ) ti k für alle i, k N und t 1,..., t k T

11 Prädikatenlogik Wiederholung Definition Formelinterpretation) Seien F F eine Formel und I = U, I ) eine Interpretation R k i t 1,..., t k ) ) I = 1 gdw. t I 1,..., t I k ) Rk i ) I für alle i, k N und t 1,..., t k T F ) I = 1 F I für alle Formeln F F F 1 F 2 ) I = minf I 1, F I 2 ) für alle Formeln F 1, F 2 F F 1 F 2 ) I = maxf I 1, F I 2 ) für alle Formeln F 1, F 2 F x i F ) I = min u U F I [x i u] für alle i N und Formeln F F x i F ) I = max u U F I [x i u] für alle i N und Formeln F F

12 Prädikatenlogik Wiederholung Interpretation F = R 0 1 x 0 ) x 1 R 1 0 x 1 ) R0 2 x 1, x 0 ) )) Interpretation N, I ) mit x I 0 = 7 R 1 0 )I = {k N k prim} und R 2 0 )I = {k, m) N 2 k < m} Berechnung F I = 1 gdw. R 1 0 x 0 ) ) I = 1 gdw. x I 0 R 1 0 )I gdw. 7 prim ist und x1 R 1 0 x 1 ) R 2 0 x 1, x 0 ) )) I = 1 gdw. n N existiert, so dass R 1 0 x 1) R 2 0 x 1, x 0 ) ) I [x 1 n] = 1 gdw. R 1 0 x 1 ) ) I [x 1 n] = 1 gdw. x I [x 1 n] 1 R 1 0 )I [x1 n] gdw. n prim x I [x1 n] 1 = n) z.b. wahr für n = 2 R 2 0 x 1, x 0 ) ) I [x 1 n] I [x = 1 gdw. x 1 n] 1, x I [x1 n] 0 ) R0 2 [x1 n] )I x I [x1 n] 1, x I [x1 n] 0 ) = n, 7) R 2 0 )I z.b. wahr für n = 2

13 Prädikatenlogik Modelle und Erfüllbarkeit

14 Prädikatenlogik Modelle Notizen Eine Formel F F ist unter einer Interpretation I = U, I ) entweder wahr F I = 1) oder falsch F I = 0) Wahrheit einer Formel ergibt sich aus Belegung der Variablen Interpretation der Funktions- und Relationssymbole Definition Modell, Widerlegung) Sei F eine Formel und I = U, I ) eine Interpretation I ist ein Modell für F gdw. F I = 1 I ist eine Widerlegung für F gdw. F I = 0 kurz: I = F kurz: I = F

15 Prädikatenlogik Tautologien Definition Eine Formel F F ist eine Tautologie oder allgemeingültig, gdw. I = F für alle Interpretationen I = U, I ) d.h. immer wahr; unabh. von Interpretation der Symbole) unerfüllbar, gdw. I = F für alle Interpretationen I = U, I ) d.h. immer falsch; unabh. von Interpretation der Symbole) erfüllbar, gdw. I = F für eine Interpretation I = U, I ) widerlegbar, gdw. I = F für eine Interpretation I = U, I )

16 Prädikatenlogik Tautologien Problem Wie führt man den Tautologie-Nachweis? er wären wieder unendlich viele Interpretationen zu prüfen funktioniert eine Reduktion wie in der Aussagenlogik? wir sammeln zunächst die verwendeten Symbole auf Definition Wir definieren Funk: T Pow k N Sk) durch in Termen vorkommende Funktionssymbole) Funkx i ) = für alle i N Funkfi k t 1,..., t k )) = {fi k } Funkt 1 ) Funkt k ) für alle i, k N und t 1,..., t k T

17 Prädikatenlogik Tautologien Definition Wir definieren Symbole: F Pow k N Rk k N Sk V ) durch in Formeln vorkommende Symbole) für alle i, k N und t 1,..., t k T SymboleR k i t 1,..., t k )) = {R k i } 1 i k Symbole F ) = SymboleF ) für alle F F SymboleF 1 F 2 ) = SymboleF 1 ) SymboleF 2 ) für alle F 1, F 2 F und {, } SymboleQx i F ) = SymboleF ) \ {x i } für alle i N, F F und Q {, } ) Funkt i ) Vart i )

18 Prädikatenlogik Tautologien Beispiele SymboleF 1 ) = {R0 2, f 0 0, f 1 0} enthält x 0 nicht) ) F 1 = x 0 R0 2 x 0, f0 0 ) R0 2 x 0, f1 0 ) SymboleF 2 ) = {R0 2, R1 0 } enthält weder x 0 noch x 1 ) F 2 = x 0 x 1 R0 2 x 0, x 1 ) R0 1 x 1 ) R0 1 x 0 ) )) SymboleF 3 ) = {R0 1, x 0, R0 2, f 0 1} enthält x 0) F 3 = R0 1 x 0 ) x 1 R 1 0 x 1 ) R0 2 x 0, f0 1 x 1 )) ))

19 Prädikatenlogik Tautologien Theorem Seien F F eine Formel und I = U, I ) und J = U, J) Interpretationen, so dass s I = s J für alle s SymboleF ). Dann gilt F I = F J. Beweis. in der Übung Notizen Interpretationen mit gleichem Universum, die auf allen Formel-relevanten Symbolen übereinstimmen, liefern gleichen Wahrheitswert immer noch unendlich viele verschiedene Universen möglich auch unendliche Universen) ein Modell liefert hiermit kein endliches Modell

20 Prädikatenlogik Tautologien Notizen Beispiel Finden von Modellen / Widerlegungen schwieriger keine Allzweckwaffe wie Wahrheitswertetabelle x Px) Qx) ) xpx) xqx) ) ist widerlegbar I = N, I ) mit P I = {m N m gerade} und Q I = {m N m ungerade} Dann x Px) Qx) )) I = 0, aber xpx) xqx) ) I = 1 x Px) Qx) ) xpx) xqx) ) ist Tautologie Beweis: Sei I = U, I ) Interpretation. Wenn x Px) Qx) )) I wahr ist, dann ist u P I und u Q I für alle u U. Also ist dann auch xpx) xqx) ) I Umgekehrt gilt dies auch Tautologie wahr.

21 Prädikatenlogik Modellkonstruktion

22 Prädikatenlogik Modelle Watson-Supercomputer spielte 2011 gegen die Jeopardy!-Großmeister und gewann Finalantwort der Kategorie Städte der USA : Ihr größter Flughafen ist nach einem Helden des 2. Weltkriegs benannt; ihr zweitgrößter nach einem Gefecht des 2. Weltkriegs. Watson antwortete Was ist Toronto? Pearson Int. Airport; Region of Waterloo Int. Airport) richtig war: Was ist Chicago? O Hare Int. Airport; Midway Int. Airport) Formalisierung x US-Stadtx) y z Flughafenx, 1, y) Flughafenx, 2, z) u v Benannty, u) Benanntz, v) Kriegsheldu) Schlachtv) )))

23 Prädikatenlogik Modelle Fragen Welche Eigenschaften Tautologie, etc.) haben diese Formeln? xpa) Pa) xpx) x Pa) Pf x)) ) x Pa) Px) ) xpx) xpx) x Px) ypf y, y)) Modell gdw. a I P I erfüllbar; keine Tautologie wähle x I = a I Tautologie Modell: a I P I erfüllbar; keine Tautologie wähle x I = a I Tautologie wähle x I beliebig Tautologie da f y, y) I U und P I = unerfüllbar

24 Prädikatenlogik Modelle Fragen Welche Eigenschaften Tautologie, etc.) hat diese Formel? xrx, x) ) x y Rx, y) Ry, x) Rx, ) ) x y z y) Ry, z) Rx, z) ) x y Rx, y) Ry, x) In jedem Modell muss R also eine lineare Äquivalenzrelation reflexiv, symmetrisch, transitiv, linear) sein. Gibt es lineare Äquivalenzrelationen? Erfüllbar für R I = U U.

25 Prädikatenlogik Äquivalenz

26 Prädikatenlogik Äquivalenz Definition Zwei Formeln F 1, F 2 F sind äquivalent gdw. F 1 F 2 eine Tautologie ist Beispiele x Px) Qx) ) und xpx) xqx) nicht äquivalent x Px) Qx) ) und xpx) xqx) äquivalent Px) und Py) sind nicht äquivalent

27 Prädikatenlogik Äquivalenz äquivalente Formeln Bezeichnung xf x F demorgan-gesetz für xf x F demorgan-gesetz für xf G) xf xg Distributivität über xf G) xf xg Distributivität über x yf y xf Kommutativität von x yf y xf Kommutativität von xf G) xf G falls x / FVG) xf G) xf G falls x / FVG) xf G) xf G falls x / FVG) xf G) xf G falls x / FVG) alle klassischen Äquivalenzen der Aussagenlogik

28 Prädikatenlogik Äquivalenz Theorem Für alle Formeln F, G F und i N, so dass x i / FVG) sind x i F G) und x i F G äquivalent Beweis. Sei I = U, I ) eine beliebige Interpretation. Es gilt xi F G) ) I = 1 gdw. u U existiert, so dass F G) I [x i u] = 1 gdw. u U existiert, so dass F I [x i u] = 1 und G I [x i u] = 1 gdw. u U existiert, so dass F I [x i u] = 1 und G I = 1 gdw. x i F ) I = 1 und G I = 1 gdw. x i F G ) I = 1

29 Zusammenfassung Modelle und Widerlegungen Modellkonstruktion Äquivalenz und klassische Äquivalenzen Fünfte Übungsserie ist bereits verfügbar.