5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz

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1 5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz Durch Einsetzung von PL1-Formeln für die Metavariablen in AL-Gesetzen erhält man PL1-Instanzen von AL-Gesetzen. Beispiele: φ φ AL PL1-Instanzen: Pa () Pa () xpx ( ) xpx ( ) xpx [ ( ) Qx ( )] xpx [ ( ) Qx ( )] φ ψ ψ φ AL PL1-Instanzen: Pa () Rab (, ) Rab (, ) Pa () xpx ( ) yqy () yqy () xpx ( ) Mit der Erweiterung von AL zu PL1 wird auch die Menge der logischen Gesetze Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 1

2 durch spezielle PL1-Gesetze erweitert. Die Semantik von PL1 liefert eine allgemeine Definition der logischen Gültigkeit, logischen Folgerung und logischen Äquivalenz. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 2

3 D5.9 Logische Gültigkeit Eine Formel φ ist logisch gültig (logisch wahr, eine Tautologie) gdw für M jedes M gilt: φ = 1. (alternativ: gdw für jedes M gilt: M φ) Notation: φ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 3

4 Beispiele: xpx ( ) xpx ( ) xpx ( ) Pa () xpx ( ) x Px ( ) xpx [ ( ) Qx ( )] xpx ( ) xqx ( ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 4

5 Logische Gesetze (1) xφ φτ [ / x] Gesetz der universellen Instanziierung (2) φτ [ / x] xφ Gesetz der existenziellen Generalisierung (3) xφ xφ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 5

6 Gesetze der Quantorenalternation: (4) xφ x φ (5) xφ x φ (6) xφ x φ (7) xφ x φ? Gib natürlichsprachliche Beispiele für die Gesetze (4) (7) an. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 6

7 Gesetze der Quantorendistribution: (8) x[ φ ψ] xφ xψ Beispiel: Dass alle Leute sowohl klug als auch fleißig sind, ist genau dann der Fall, wenn alle Leute klug sind und alle Leute fleißig sind. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 7

8 (9) x[ φ ψ] xφ xψ (10) xφ xψ x[ φ ψ] (11) x[ φ ψ] xφ xψ Beispiel: Wenn es jemanden gibt, der betrunken und übermütig ist, dann gibt es jemanden der betrunken ist und jemanden, der übermütig ist. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 8

9 (12) x[ φ ψ] ( xφ xψ) Beispiel: Wenn alle Optimisten fröhlich sind, dann sind, wenn alle Optimisten sind, auch alle fröhlich. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 9

10 (13) ( xφ xψ) x[ φ ψ] (14) x[ φ ψ] ( xφ xφ)? Gib ein natürlichsprachliches Beispiel für Gesetz (14) an. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 10

11 Gesetze der Quantoren(un)abhängigkeit: (15) x yφ y xφ Abkürzung für x y φ: xyφ (16) x yφ y xφ Abkürzung für x y φ: xyφ (17) x yφ y xφ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 11

12 Gesetze der Quantorenbewegung: (18) φ xψ x[ φ ψ], vorausgesetzt, dass x nicht frei in φ vorkommt. (19) φ xψ x[ φ ψ], vorausgesetzt, dass x nicht frei in φ vorkommt. (20) xφ ψ x[ φ ψ], vorausgesetzt, dass x nicht frei in ψ vorkommt. (21) xφ ψ x[ φ ψ], vorausgesetzt, dass x nicht frei in ψ vorkommt. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 12

13 Berechnung der logischen Gültigkeit von Formeln Beispiele: xφ xφ (Methode: direkter Beweis) Annahme: Gegeben sei ein beliebiges Modell M, so dass M xφ = 1. für jedes g gilt: Mg, xφ = 1 Mgx d = für jedes d D: φ, [ ] 1 Mgx d = für mindestens ein d D: φ, [ ] 1 für jedes g gilt: Mg, xφ = 1 für M gilt: xφ = 1 M Also: xφ xφ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 13

14 x[ φ ψ] xφ xψ (Methode: indirekter Beweis) M Annahme: Sei M ein Modell, so dass xφ [ ψ ] = 1 und M xφ xψ] = 0. für jedes g gilt: xφ [ ψ] Mg, = 1 und xφ xψ, für jedes g gilt: Mg xφ, = 0 und xψ Mg, = 0 für jedes d D gilt: Mg ] = 0 Mgx,[ d] Mgx φ = 0 und,[ d ψ ] = 0 Mgx d für jedes d D gilt: φ ψ,[ ] = 0 xφ [ ψ] = 1, gibt es mindestens ein d D, für das gilt: Mgx,[ d φ ψ ] = 1 weil aber für jedes g gilt:, Widerspruch: Mg Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 14

15 Mgx d 1. für jedes d D gilt: φ ψ,[ ] = 0, damit gibt es kein d D, für das gilt: Mgx,[ d φ ψ ] = 1 2. es gibt mindestens ein d D, für das gilt: Mgx,[ d φ ψ ] = 1 Es gibt kein Modell M mit xφ [ ψ] M = 1 und Also: x[ φ ψ] xφ xψ M xφ xψ] = 0. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 15

16 ? Zeige, dass x[ φ ψ] xφ xψ. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 16

17 Umgekehrt lässt sich auch nachweisen, dass bestimmte Formeln nicht gültig sind. Beispiel: xφ xψ x[ φ ψ] Verfahren: Angabe eines Modells M, so dass M x φ xψ = 1 und xφ [ ψ] M = 0 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 17

18 Mg, Annahme: Seien M und g derart, dass x φ xψ = 1. Mg, Mg, xφ = 1 und xψ = 1 Mgx d = für mindestens ein d' D: φ, [ '] 1 und für mindestens ein d'' D: ψ Mgx, [ d''] = 1 Es ist nicht zwingend, dass d' = d''. Es ist nicht zwingend, dass für mindestens ein Mgx d D:, [ d φ ψ ] = 1. Es ist nicht zwingend, dass Mg, xφ [ ψ] = 1. Also: Es gilt nicht, dass xφ xψ x[ φ ψ]. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 18

19 Venn-Diagramme für Formeln von PL1 Die Gültigkeit von Formeln, in denen nur 1-stellige PK vorkommen, lässt sich geometrisch wie folgt überprüfen: (1) x[ Px ( ) Qx ( )] x[ Px ( ) Qx ( )] (2) xpx [ ( ) Qx ( )] xpx ( ) xqx ( ) P Q Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 19

20 (3) xpx [ ( ) Qx ( )] x [ Px ( ) Qx ( )] P Q Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 20

21 (4) xpx [ ( ) Qx ( )] xpx [ ( ) Qx ( )] xqx [ ( ) Px ( )] (5) xpx [ ( ) Qx ( )] xpx [ ( ) Qx ( )] P Q? Gilt dagegen eine der folgenden Behauptungen? xpx [ ( ) Qx ( )] xpx [ ( ) Qx ( )] xpx [ ( ) Qx ( )] xpx [ ( ) Qx ( )] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 21

22 (6) xpx [ ( ) Qx ( )] xpx ( ) xqx ( ) P Q Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 22

23 (7) xpx ( ) xpx [ ( ) Qx ( )] xqx ( ) (8) xpx [ ( ) Qx ( )] [ xpx ( ) xqx ( )] P Q Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 23

24 D5.10 Kontradiktion Eine Formel φ ist kontradiktorisch (logisch falsch) gdw für jedes M gilt: M φ = 0. (alternativ: gdw für kein M gilt: M φ) Beispiel: xpx [ ( ) Px ( )] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 24

25 D5.11 Logische Folgerung (logische Implikation) Aus φ,..., φ 1 n folgt logisch ψ gdw für jedes M gilt: M M M Wenn φ = 1,..., φ 1 1 n =, dann ψ = 1. (alternativ: gdw für jedes M gilt: Wenn M φ,..., M φ 1 n, dann M ψ) Notation: Spezialfall: φ,..., φ 1 n ψ (alternativ: φ,..., φ 1 n ψ) (falls n= 1: φ ψ) ψ, d.h. logische Gültigkeit von ψ (Bedingung:{ φ,..., φ } 1 n = ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 25

26 Beispiele: (1) xφ φτ [ / x] (2) φτ [ / x] xφ (3) xφ xφ (4) x[ φ ψ] xφ xψ (5) x[ φ ψ], xφ xψ (6) x[ φ ψ], φτ [ / x] ψτ [ / x] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 26

27 Metatheoreme über die Beziehung zwischen logischer Folgerung und logischer Gültigkeit: φ ψ gdw φ ψ φ,..., φ 1 n ψ gdw φ... φ 1 n ψ gdw φ... φ 1 n ψ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 27

28 D5.12 Logische Äquivalenz M φ und ψ sind logisch äquivalent gdw für jedes M gilt: φ = 1 gdw M ψ = 1. (alternativ: gdw für jedes M gilt: M φ gdw M ψ) Notation: φ ψ (alternativ: φ ψ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 28

29 Beispiele: (1) x φ xφ (2) xφ x φ (3) xφ x φ (4) x φ xφ (5) x[ φ ψ] xφ xψ (6) x[ φ ψ] xφ xψ (7) x yφ y xφ (8) x yφ y xφ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 29

30 Berechnung der logischen Äquivalenz von Formeln Beispiel: x φ xφ Mg, Annahme: x φ = 1 Mgx d für jedes d D: φ, [ ] = 1 Mgx d = für jedes d D: φ, [ ] 0 Mgx d = für kein d D: φ, [ ] 1 Mg, es gilt nicht: xφ = 1 Mg, xφ = Mg, 0 xφ = 1 Also: x φ xφ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 30

31 Metatheoreme über die Beziehung zwischen logischer Äquivalenz und logischer Gültigkeit bzw. zwischen logischer Äquivalenz und logischer Folgerung: φ ψ gdw φ ψ φ ψ gdw φ ψ und ψ φ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 31

32 Logisch äquivalente Umformungen Für eine Formel χψ [ / φ ], die man aus χ durch Substitution von ψ für φ erhält, gilt: Wenn φ ψ, dann χ χψ [ / φ] (Substitutionsprinzip). Logisch äquivalente Formeln können in einer beliebigen Formel gegeneinander ersetzt werden, ohne dass sich der Wahrheitswert der betreffenden Formel ändert. Beispiel: x Px ( ) xpx ( ), also x Px ( ) yqy () xpx ( ) yqy () Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 32

33 Pränexe Normalformen Durch die Ersetzung von logisch äquivalenten Teilformeln können insbesondere PL1-Formeln in ihre pränexe Normalform überführt werden. D5.13 Eine Formel φ hat pränexe Normalform (PNF) gdw φ die Gestalt Q γ...q ' 1 1 nγnφ hat, wobei Q γ...q 1 1 n γ n mit Variablen besetzte Quantoren und sind und φ ' eine Formel ist, die keine Quantoren enthält. Dabei wird Q γ...q 1 1 n γ n das Präfix und φ ' die Matrix von φ genannt. Die Überführung einer Formel in ihre PNF kann zu einer wesentlichen Vereinfachung führen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 33

34 Beispiel: xpx ( ) xqx ( ) 1. Schritt Gebundene Umbenennung von x in y in der Teilformel xqx ( ), so dass x nicht mehr im Skopus verschiedener Quantoren vorkommt: xpx ( ) yqy () 2. Schritt Der Negationsoperator wird mit Hilfe des Gesetzes (6) der Quantorenalternation so nach innen gezogen, dass er nur noch vor einer atomaren Formel steht: x Px ( ) yqy () Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 34

35 3. Schritt Der -Quantor wird mit Hilfe des Gesetzes (18) der Quantorenbewegung nach außen gezogen: [ ( ) ()] y x Px Qy 4. Schritt Der -Quantor wird mit Hilfe der Gesetzes (21) der Quantorenbewegung nach außen gezogen und dabei in einen -Quantor überführt: [ ( ) ()] y x Px Qy Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 35