Widerspruchsbasiertes Kalkül. Präinterpretation. Variablenzuweisung. Interpretation

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1 Widerspruchsbasiertes Kalkül Ziel: Zeige dass gilt: x 1 x s (B 1 B n ) Mittel: Negiere so dass: B 1 B n Resultate: Widerspruch Variablenbindungen [y/ nil] für sort( nil,y) Präinterpretation Eine Präinterpretation einer Sprache erster Ordnung L besteht aus: Einer nicht-leeren Menge D, die Domäne Für jede Konstante in L, die Zuweisung eines Elements aus D Für jedes n-stellige Funktionssymbol in L, die Zuweisung einer Abbildung von D n nach D. Interpretation Eine Interpretation I einer Sprache erster Ordnung L besteht aus einer Präinterpretation J mit Domäne D aus L und: Für jedes n-stellige Prädikatssymbol aus L, eine Zuweisung einer Abbildung von D n nach {wahr,falsch}. Wir sagen I basiert auf J. Variablenzuweisung Gegeben eine Präinterpretation J für L. Eine Variablenzuweisung für J ordnet jeder Variablen in L ein Element aus der Domäne von J zu.

2 Termzuweisung Gegeben eine Präinterpretation J für L mit Domäne D und Variablenzuweisung V. Eine Termzuweisung für J und V erfolgt für jeden Term in L wie folgt: Jede Variable erhält ihre Zuweisung aus V Jede Konstante erhält ihre Zuweisung aus J Wenn ť 1,,ť n die Termzuweisungen für t 1,,t n sind und f is die Zuweisung für das n-stelligen Funktionssymbol f, dann ist f (ť 1,,ť n ) die Termzuweisung für f(t 1,,t n ). Wahrheitswert Gegeben eine Interpretation I für die Domäne D einer Sprache erster Ordnung L and gegeben eine Variablenzuweisung V, dann erhält eine Formel aus L folgende Zuweisung eines Wahrheitswertes: Wenn die Formel ein Atom p(t 1,,t n ) ist, dann wird p (ť 1,,ť n ) berechnet, wobei p und ť 1,,ť n die Zuweisungen sind laut I und V. Wenn die Formel die Form ~F, F G, F G, F G, oder F G hat, ergibt sich der Wahrheitswert laut Wahrheitstafel. Wenn die Formel die Form xf hat, dann ist der Wahrheitswert der Formel wahr, wenn so ein d D existiert, dass F wahr wird für die Interpretation I und die Variablenzuweisung V(x/d). V(x/d) ist V mit Ausnahme von x, dem d zugewiesen wird. Ansonsten ist xf falsch. Wenn die Formel die Form xf hat, dann ist der Wahrheitswert der Formel wahr, wenn für alle d D F wahr wird für die Interpretation I und die Variablenzuweisung V(x/d). Ansonsten ist xf falsch. Erfüllbar und gültig für I Erfüllbar und gültig Gegeben eine Interpretation I für L und eine Formel W aus L. W ist erfüllbar für I, falls (W) wahr ist in I. W ist gültig für I, falls (W) wahr ist in I. W ist unerfüllbar für I, wenn (W) falsch ist in I. W ist ungültig für I, falls (W) falsch ist in I. Gültig Erfüllbar Ungültig Unerfüllbar

3 Modell Bedeutung Bedeutung: Sei I eine Interpretation für L und F eine geschlossene Formel aus L. I ist ein Modell für F, wenn F wahr ist für I Beispiel Sei T eine aus L und I eine Interpretation für L. I ist ein Modell für T, wenn I jede Formel aus T wahr macht. Wenn es ein Modell für T gibt, dann ist T konsistent. Analog für eine Menge von Formeln. Sonstige Interpr. Intendiertes Modell Modell 1 Modell k Modell n Kalkül fix für Quantoren, Konnektoren variable für Rest Modell: alle Formeln sind wahr Interpretationsfunktion Theoreme der Logische Folgerung Sei S eine Menge geschlossener Formeln und F eine Formel einer Sprache L. F heißt eine logische Folgerung von S, wenn für jede Interpretation I von L, die ein Modell für S ist, auch ein Modell für F ist. Proposition 1: Sei S eine Menge von geschlossenene Formeln und F eine geschlossene Formel aus L. Dann ist F eine logische Folgerung von S, gdw S {~F} unerfüllbar ist. Logische Folgerung - Beweis Angenommen F ist eine logische Folgerung von S. Sei I ein Modell von S. Dann ist I auch ein Modell von F. Dann ist ~F unerfüllbar. Angenommen S {~F} ist unerfüllbar. Sei I ein Modell von S. Da S {~F} unerfüllbar, ist es kein Modell für ~F. Dann ist I ein Modell für F. Dann ist F eine logische Folgerung von S. Beispiel

4 Problem der logischen Konklusion: zeige Unerfüllbarkeit für alle möglichen I! Herbrand-Universum Modell 1 Intendiertes Modell Herbrand Universum Ein Grundterm ist ein variablenfreier Term. Ein Grundatom ist ein Atom ohne Variablen. Sonstige Interpr. Modell k Modell n Kalkül Idee: Es genügt Unerfüllbarkeit auf einer geschickt gewählten Teilmenge aller I zu zeigen! Theoreme der Das Herbrand-Universum U für eine Sprache L ist die Menge aller Grundterme, die aus Konstanten- und Funktionssymbolen von L geformt werden können. Beispiel Herbrand-Interpretation Herbrand-Interpretationen Die Herbrand-Basis B für L ist die Menge aller Grundatome, die gebildet werden kann aus den Prädikatssymbolen von L und Grundtermen aus dem Herbrand-Universum von L. Die Herbrand-Präinterpretation für L ist die Präinterpretation, die: Als Domäne das Herbrand-Universum U von L hat. Konstantensymbole auf sich selbst abbildet. Jedem n-stelligen Funktionssymbol in L die Abbildung von (t 1,,t n ) auf f(t 1,,t n ) zuweist I 1 I 2 Q(a) P(f(b)) Q(a) Herbrand-Basis P(f(b)) ~Q(a) ~P(f(b)) ~P(f(b)) ~Q(a) Die wahren Atome der Herbrand- Basis korrelieren mit der jeweiligen Interpretation Jede Interpretation, die auf einer Herbrand-Präinterpretation basiert ist eine Herbrand-Interpretation I 3

5 Herbrand-Modell Sei S eine Menge geschlossener Formeln aus L. Ein Herbrand-Modell für S ist eine Herbrand- Interpretation für L, die ein Modell für S ist. Beispiel: Slowsort sort(x,y) sorted(y), perm(x,y) sorted(nil) sorted(x.nil) sorted(x.y.z) x y, sorted(y.z) perm(nil,nil) perm(x.y,u.v) delete(u,x.y,z),perm(z,v) delete(x,x.y,y) delete(x,y.z,y.w) delete(x,z,w) 0 x f(x) f(y) x y. Grundterme: 0, nil, f(0), f(nil), 0.nil, nil.0, f(f(0)), f(f(nil)), f(0).nil, f(0).0, f(nil).nil, f(nil).0, Herbrand-Basis: sort(0,0), sort(nil,nil), sort(0,nil), sort(nil,nil), sort(f(0),0), Beispiel: Slowsort Slowsort-Herbrand-Modell sort(x,y) sorted(y), perm(x,y) sorted(nil) sorted(x.nil) sorted(x.y.z) x y, sorted(y.z) perm(nil,nil) perm(x.y,u.v) delete(u,x.y,z),perm(z,v) delete(x,x.y,y) delete(x,y.z,y.w) delete(x,z,w) 0 x f(x) f(y) x y. Ein Herbrand-Modell beschrieben durch die Teilmenge der wahren Grundformeln: 0 0, 0 f(0), f(0) f(f(0)),, ~(f(0) 0), ~(f(f(0)) 0),., perm(nil,nil), perm(0.nil, 0.nil), perm(f(0).nil, f(0).nil), perm(0.0.nil,0.0.nil), perm(f(0).0.nil,f(0).0.nil),, perm(0,0), ~perm(nil.0,nil.0), delete(0,0.nil,nil), delete(f(0),f(0).nil,nil),, delete(f(0), 0.0.f(0).nil, 0.0.nil), delete(f(0),f(0).nil,nil),. Sonstige Interpr. Modell 1 Modell k Intendiertes Modell Modell l Modell n Dieses Herbrand- Modell Kalkül Ein Herbrand-Modell beschrieben durch die Teilmenge der wahren Grundformeln: 0 0, 0 f(0), f(0) f(f(0)),, ~(f(0) 0), ~(f(f(0)) 0),., perm(nil,nil), perm(0.nil, 0.nil), perm(f(0).nil, f(0).nil), perm(0.0.nil,0.0.nil), perm(f(0).0.nil,f(0).0.nil),, perm(0,0), ~perm(nil.0,nil.0), delete(0,0.nil,nil), delete(f(0),f(0).nil,nil), Theoreme der, delete(f(0), 0.0.f(0).nil, 0.0.nil), delete(f(0),f(0).nil,nil),.

6 Modell impliziert Herbrand-Modell Pränexe und Konjunktive Normalform Proposition 2: Sei S eine Menge von Klauseln. S hat ein Modell I, gdw. S ein Herbrand-Modell hat. Wir definieren eine Herbrand-Interpretation I wie folgt: I ={p(t 1,,t n ) B S : p(t 1,,t n ) ist wahr in I}. Induktiver Beweis über den Formelaufbau, dass I ein Modell Notiz: Nur wahr für Klauseln. Gegenbeispiel: p(a) x~p(x) Eine Formel ist in pränexer und konjunktiver Normalform, wenn sie die Form hat: Q 1 x 1.Q k x k ((L 11 L 1m1 ) (L n1 L nmn )) wobei Q i {, } und jedes L jl ein Literal ist. Zwei Formeln W und V sind logisch äquivalent wenn (W V) gültig ist. Proposition 3: Zu jeder Formel W gibt es eine logisch äquivalente Formel V, die in pränexer und konjunktiver Normalform ist. Beweis über Formelaufbau. Datenbank vs Logik Typisierte Terme Domänen Personen Firmen Abteilungen. Anfragen sind zu Entitäten eines Entitytyps PL1 kennt keine Typen, ABER es gibt Typisierte erster Ordnung! Endliche Mengen von Typen: τ, σ, Variablen/Konstanten: Typ τ Prädikatssymbole: Typ τ 1 τ n Funktionssymbole: Typ τ 1 τ n τ Quantoren: τ, τ Ein Term vom Typ τ ist induktiv wie folgt definiert: Eine Variable von Typ τ ist ein Term von Typ τ Eine Konstante vom Typ τ ist ein Term von Typ τ Wenn f ein n-stelliges Funktionssymbol ist vom Typ τ 1 τ n τ und t i sind Terme vom Typ τ i dann ist f(t 1,,t n ) vom Typ τ

7 Typisierte WFF Eine typisierte WFF ist induktiv wie folgt definiert: Wenn p ein n-stelliges Prädikatssymbol vom Typ τ 1 τ n ist und t i sind Terme vom Typ τ i dann ist p(t 1,,t n ) eine typisierte atomare Formel. Wenn F und G typisierte Formeln sind, dann auch (~F), (F G), (F G), (F G), (F G) F eine Formel ist und x ist eine Variable vom Typ τ, dann sind ( τ xf) und ( τ xf) typisierte Formeln Typisierte WFF Die typisierte Sprache erster Ordnung, die sich durch ein Alphabet definiert, besteht aus allen typisierten WFF, die mit den Symbolen des Alphabets konstruiert sind. Notation: Statt ( τ xf) und ( τ xf) schreibt man auch ( x/τ F) und ( x/τ F). (F) und (F) bezeichnen den existentiellen bzw. universellen Abschluss der typisierten Formel F unter Berücksichtigung der richtigen Typisierung. Präinterpretation einer typisierten Sprache Eine Präinterpretation einer typisierten Sprache erster Ordnung L besteht aus: Für jeden Typ τ eine nicht-leere Menge D τ, die Domäne des Typs τ geheißen wird. Für jede Konstante vom Typ τ, die Zuweisung eines Elements aus D τ Für jedes n-stellige Funktionssymbol vom Typ τ 1 τ n τ die Zuweisung einer Abbildung von D τ 1 D τn nach D τ Interpretation Eine Interpretation I einer typisierten Sprache erster Ordnung L besteht aus einer Präinterpretation J mit Domänen D τ 1,,D τn aus L und: Für jedes n-stellige Prädikatssymbol vom Typ τ 1 τ n aus L, eine Zuweisung einer Abbildung von D τ1 D τn nach {wahr,falsch}. Wir sagen I basiert auf J. Typisierung von PL1 ist praktisch, erhöht aber nicht die Ausdrucksstärke.

8 All penguins are black and white. Some old TV shows are black and white. Thus, some penguins are old TV shows. ( x Penguin(x) blackandwhite(x)) ( x oldtvshow(x) blackandwhite(x)) Thus: ( x Penguin(x) oldtvshow(x)). Sei I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b), I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) jedoch falsch, Dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I F. D.h. Pinguine sind unlogisch.