Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken

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1 Formale Sprachen, reguläre und kontextfreie Grammatiken Alphabet A: endliche Menge von Zeichen Wort über A: endliche Folge von Zeichen aus A A : volle Sprache über A: Menge der A-Worte formale Sprache über A: eine Teilmenge von A leeres Wort ε Konkatenation s.t (Zusammenhängen von s und t) teilweise als st geschrieben Länge eines Wortes t: Anzahl der Zeichen in t. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 1

2 Beispiele: formale Sprachen 1. Alphabet A = {0, 1}, A = Menge aller Binärzahlen {0, 1} Menge der Binärziffern ( Bits ) {0, 1} 8 Menge der Binärfolgen der Länge 8. = Menge der Worte der Länge 8 (Bytes) 2. Alphabet A = {a, b, c,..., z} A = Menge aller Strings aus Kleinbuchstaben Palindrome: {a 1... a n A a 1... a n = a n... a 1 } 3. {ε} ist eine formale Sprache. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 2

3 Reguläre formale Sprachen reguläre Ausdrücke über A. Definition der Syntax der regulären Ausdrücke ε (leeres Wort) a für a A (r + s), (rs) und (r ) Wenn r und s reguläre Ausdrücke Erweiterungen bzw. Abkürzungen: r n [r] mit r n = r... r } {{ } n mit [r] := r + ε P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 3

4 Beispiele: reguläre Ausdrücke 1. ( ) Alle endlichen Ziffernfolgen (natürliche Zahlen) 2. (0) entspricht {ε, 0, 00, 000, 0000,...}. 3. 1((0 + 1) ) Binärdarstellungen aller positiven ganzen Zahlen ohne führende Nullen 4. ( )( ), ( ) + dezimale Gleitkommazahlen ohne Exponent über dem Alphabet {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, } P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 4

5 Reguläre Operatoren auf formalen Sprache Seien R und S formale Sprachen über dem Alphabet A. RS := {uv u R, v S}. definiere R n : R := R + := R 0 := {ε} R 1 := R R n := RR n 1 wenn (n > 1) {R n n 0} {R n n 1}. (Kleene-)Abschluß positiver Abschluß P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 5

6 Semantik von regulären Ausdrücken Idee: Der reguläre Ausdruck r beschreibt eine formale Sprache I(r) I(ε) := {ε} I(a) := {a} für a A I((r + s)) := I(r) I(s) I((rs)) := I(r)I(s) I(r ) := (I(r)) P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 6

7 Beispiele Alphabet {a, b, c} I(ab ) = {a, ab, abb, abbb,...} I(a + cb ) = { ac, aac, aaac,..., acb, aacb, aaacb,..., acbb, aacbb, aacbbb, } P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 7

8 Reguläre formale Sprache Eine formale Sprache L nennt man regulär, wenn es einen regulären Ausdruck gibt, der L erzeugt. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 8

9 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen Verwendung: Syntax von Programmiersprachen, Zahldarstellungen, Syntax der Aussagen- und Prädikatenlogik Definition kontextfreie Grammatik (context free grammar, CFG) G = (N, T, P, σ) mit den Komponenten: N T σ N P N (N T ) Nichtterminale: Hilfszeichen, Nonterminals Terminalzeichen (Terminals), das eigentliche Alphabet, mit N T = Startzeichen Produktionensystem, Regeln (A, w) P heißt Produktion oder Regel von G. statt (A, w) P schreibt man auch A w. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 9

10 Backus-Naur-Form (BNF) kontextfreie Syntax höherer Programmiersprachen Metasymbole sind: Zahl ist Nichtterminalsymbol ::= Definition eines Nichtterminals Trennt Alternativen Beispiel Ziffer ::= entspricht 10 Regeln einer CFG. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 10

11 Erweiterungen der BNF Zahl ::= Ziffer + entspricht: Zahl ::= Ziffer Ziffer Zahl Zahl mit Vorzeichen ::= [+ ] Zahl entspricht: Zahl mit Vorzeichen ::= + Zahl Zahl Zahl P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 11

12 Beispiel: Syntax von Programmiersprachen Regeln: Ausdruck ::= Bezeichner Zahl ( Ausdrücke ) Ausdrücke ::= Ausdruck Ausdruck Ausdrücke Zahl ::= Ziffer Ziffer Zahl Ziffer ::= Bezeichner ::= Buchstabe Buchstabe Zeichenkette Zeichenkette ::= Zeichen Zeichen Zeichenkette Buchstabe ::= A B C D... Zeichen ::= Ziffer Buchstabe Nichtterminale: Ausdruck,... Terminale: {0, 1,..., 9, A,...} Startsymbol: Ein Nichtterminal (sinnvoll: Ausdruck ). P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 12

13 Beispiel: Syntax von Programmiersprachen Regulär beschreibbare Anteile Zahl Bezeichner ( ) (A Z)(A Z ) P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 13

14 Erzeugte formale Sprache zur CFG G Definition Gegeben G = (N, T, P, σ). Herleitung: σ w 1... w n Jeder Übergang: w i w i+1 ist von der Form: sat sbt und a b ist eine Regel in G P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 14

15 Erzeugte formale Sprache zur CFG G Definition: Die von G erzeugte formale Sprache L(G): alle Worte aus T, die aus σ durch endliche, mehrmalige Anwendung der Produktionen hergeleitet werden können. Die so erzeugbaren formalen Sprachen nennt man kontextfrei. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 15

16 Beispiele zu L(G) σ ::= Zahl Zahl ::= Ziffer Ziffer Zahl Ziffer ::= σ Zahl Ziffer Zahl Ziffer Ziffer Zahl Ziffer Ziffer Ziffer 1 Ziffer Ziffer 12 Ziffer 123 P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 16

17 Ableitungsbaum (Herleitungsbaum) Definition Sei G = (N, T, P, σ) eine CFG. Ein Ableitungsbaum B von w (derivation tree, parse tree) ist ein markierter Baum, der die Herleitung von w repräsentiert P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 17

18 Ableitungsbaum (Herleitungsbaum): Beispiel Grammatik zu arithmetischen Ausdrücken über den Zahlen : E (E + E), E (E E), E Z, Z {0, 1,..., 9} Ein Herleitungsbaum für den Ausdruck ((1 + 2) 3) ist: E ( E E ( E + E ) Z ) Z Z P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 18

19 Syntaxbaum Syntaxbaum wird aus Herleitungsbaum bestimmt. Oft Basis einer operationalen Semantik Beispiel: Syntaxbaum für den Ausdruck ((1 + 2) 3) P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 19

20 Zusammenhänge Es gilt: Reguläre Sprachen sind kontextfrei. Es gibt kontextfreie Sprachen, die nicht regulär sind. Es gibt auch formale Sprachen, die nicht kontextfrei sind. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 20

21 Programme einer Programmiersprache Erzeugung der zulässigen Programme: Stufe 1 Stufe 2 CFG erzeugt syntaktisch zulässige Programme Kontextbedingungen, Typbedingungen schränken weiter ein. Beispiele für Stufe 2: Deklarationen von Variablen vor ihrer Benutzung Ausdrücke müssen getypt sein (in Haskell) Variablen verschieden in Funktionsdefinition (Haskell, Python) P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 21

22 Syntaxdiagramme sind eine graphische Form einer CFG Pascal repeat statement until expression ; repeat im Oval: Rechteck String als Terminalsymbol Nichtterminalsymbol Die Pfeile bezeichnen erlaubte Durchlaufrichtungen. Äquivalente BNF: repeat-expr ::= repeat statements until expression statements ::= statement statement ; statements P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 22

23 Mehrdeutige Grammatiken und Sprachen Mehrdeutigkeit einer Grammatik G: Es gibt ein Wort w mit mehr als einem Ableitungsbaum Semantik nicht eindeutig Überladen von Symbolen: als Subtraktion bzw. Negativ-machen 1 2 Es gibt sogar inhärent mehrdeutige kontextfreie Sprachen, d.h. solche für die nur mehrdeutige kontextfreie Grammatiken existieren. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 23

24 Beispiele zur Eindeutigkeit Beispiel 1 Wenn if-then-else eine optionales else hat: Zuordnung des else ist nicht immer eindeutig: if b1 then if b2 then c1 else c2 kann auf zwei Arten interpretiert werden: if b1 then {if b2 then c1 else c2} if b1 then {if b2 then c1} else c2 Diese Interpretationen entsprechen gerade den zwei möglichen Syntaxbäumen zu diesem Ausdruck. P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 24

25 Beispiel 2 Arithmetische Ausdrücke; mit Grammatik: A ::= Zahl V ariable A + A A A... Der Ausdruck hat zwei mögliche Interpretationen: (1 2) 3 oder 1 (2 3)

26 Notationen von Ausdrücken, Terme Varianten der Notation von geschachtelten Ausdrücken. Stelligkeit von Operatoren : fest variabel f(a,b,c) ( ), oder Positionierung von Operatoren und Argumenten: prefix (+ 1 2) infix postfix mixfix (IF A THEN B ELSE C) lineare Notation Syntaxbaum Term Beispiel 1 2 SUBTRACT(NEGATE(1), 2) P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 26

27 Notationen von Ausdrücken, Terme 2 Klammerung von Operatoren und Argumenten: Bei assoziativen Operatoren mit Infix Notation: Linksklammerung (((1+2)+3)+4) (((1-2)-3)-4) Rechtsklammerung (1*(2*(3*4))) Kann auch bei Schachtelung und nicht-assoziativen Operatoren verwendet werden: 1 : 2 : 3 : 4 : [] 1 : (2 : (3 : (4 : []))) Prioritäten von verschiedenen Operatoren und Argumenten: (1 + (2 3)) 4 Punktrechnung vor Strichrechnung P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 27

28 Notationen Standardnotation f(t 1,..., t n ) Präfixnotation (f t 1... t n ) variable Stelligkeit möglich polnische Präfixnotation f t 1... t n feste Stelligkeit (polnische Notation, Lukasiewicz-Notation) Standardpostfixnotation (t 1,..., t n ) f Postfixnotation t 1... t n f geeignet zu Auswertung (polnische Postfixnotation mit Stack reverse polish) Infixnotation (1 + 2) i.a. zweistellig P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 28

29 Notationen: Beispiele Notationsvarianten von (1 + 2) 3 Standardnotation (+(1, 2), 3) Präfixnotation ( (+ 1 2) 3) polnische Präfixnotation Standardpostfixnotation ((1, 2)+, 3) Postfixnotation P raktische Informatik 1, W S 2004/05, F olien Grammatik, (5. Januar2005) Seite 29