SWP Logische Programme

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Rainer Beltz
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1 SWP Logische Programme Alexander Felfernig, Stephan Gspandl Institut für Softwaretechnologie Institute for Software Technology

2 Inhalt Motivation Logische Programme (LP) Resolution Unifikation Logische Programme und Datenbanken Semantik Institute for Software Technology 2

3 LP: Motivation Komplexe und wissensintensive Anwendungen, bspw. Konfiguration von Autos Beispiel für Konfigurationswissensbasis: ~ Komponenten ~ Constraints ~Änderungsrate pro Jahr: 40% OO, prozedurale und funktionale Sprachen anwendbar, aber kostenintensiv (Faktor )! Logische Programme: Trennung zwischen WAS? und WIE? Weitere Anwendungen? Institute for Software Technology 3

500 Constraints ~Änderungsrate pro Jahr: 40% OO, prozedurale und funktionale Sprachen anwendbar,

4 LP: Wissensrepräsentation Prädikatenlogik 1. Stufe (FOL) Programmierung: Formalisierung von Wissen der Anwendungsdomäne Programm = Reihe von Axiomen Berechnung = Beweis eines Statements Spezifikation des WAS? und nicht des WIE? Institute for Software Technology 4

Anwendungsdomäne Programm = Reihe von Axiomen Berechnung = Beweis

5 Beispiel: (Bibel)Verwandtschaften Terach Sarah Abraham Nachor Haran Isaak Jiskah Milkah Lot "Abraham opfert Isaak": Ausschnitt eines Gemäldes von Laurent de La Hire ( ). Institute for Software Technology 5

opfert Isaak": Ausschnitt eines Gemäldes von Laurent

6 Formalisierung Prädikate: father, mother, male, female Verwendung für Relationen (mehrstellig) father(x,y).. X ist der Vater von Y mother(x,y).. X ist die Mutter von Y Eigenschaften (einstellig) male(x).. X ist männlich female(x).. X ist weiblich Institute for Software Technology 6

7 Wissensbasis (test.pl) father(terach,abraham). father(terach,nachor). father(terach,haran). father(abraham,isaak). father(haran,lot). father(haran,milkah). father(haran,jiskah). mother(sarah,isaak). male(terach). male(abraham). male(nachor). male(haran). male(isaak). male(lot). female(sarah). female(milkah). female(jiskah). Institute for Software Technology 7

mother(sarah,isaak). male(terach). male(abraham). male(nachor). male(haran). male(isaak).

8 Anfragen Stelle Fragen an die Wissensbasis Beispiele: 1. Ist Abraham der Vater von Isaak? 2. Wer ist die Mutter von Isaak? Antworten (direkt ableitbar): Zu 1.: JA Zu 2.: Sarah (ist die Mutter von Isaak) Institute for Software Technology 8

9 Beispiel in PROLOG BPROLOG: (MSDOS shell) Laden der Wissensbasis: consult(test). Abfragen Mutter von Isaak?- mother(x, isaak). X = sarah yes Kinder von Terach?- father(terach, X). X = abraham?; X = nachor?; X = haran yes Institute for Software Technology 9

10 Erweiterungen (Wissensbasis) Definition von Regeln Beispiel: brother(x,y) X ist der Bruder von Y, wenn X und Y die Kinder von einem Elternteil sind und X zusätzlich ein Mann ist. (parent(z,x) parent(z,y) male(x)) brother(x,y) (father(x,y) mother(x,y)) parent(x,y) Institute for Software Technology 10

11 Beispiel in PROLOG Erweiterte Prädikate X ist Bruder von Y brother(x,y):- parent(x,y):- parent(z,x), parent(z,y), male(x), X\=Y. father(x,y); mother(x,y). Brüder von Abraham?- brother(abraham,y). Y = nachor?; Y = haran? yes Institute for Software Technology 11

$X\=Y. father(x,y); mother(x,y). Brüder von Abraham?$

12 Weitere Beispiele Definiere natürliche Zahlen: 0 ist eine natürliche Zahl. Ist X eine natürliche Zahl, dann ist auch Ihr Nachfolger (s(x)) eine natürliche Zahl. Definiere Addition: 0 mit jeder beliebigen Zahl X addiert, ergibt X. Wenn X+Y=Z gilt, dann gilt auch s(x)+y=s(z). Institute for Software Technology 12

13 Beispiel in PROLOG 0 ist eine natürliche Zahl n(0). Ist X eine natürliche Zahl, dann ist auch Ihr Nachfolger (s(x)) eine natürliche Zahl n(s(x)):- n(x). /* n(x) n(s(x)) */ Abfrage?- n(x). X = 0?; X = s(0)?; X = s(s(0)) yes Institute for Software Technology 13

eine natürliche Zahl n(s(x)):- n(x). /* n(x) n(s(x)) */ Abfrage?

14 Beispiel in PROLOG (cont.) 0 mit jeder beliebigen Zahl Y addiert, ergibt Y plus(0,y,y). Wenn X+Y=Z gilt, dann gilt auch s(x)+y=s(z). plus(s(x),y,s(z)):- plus(x,y,z). Abfrage?- plus(s(0),s(0),s(s(0))). yes?- plus(s(0),x,s(s(s(0)))). X = s(s(0))? yes Institute for Software Technology 14

15 Zusammenfassung Deklarative Sichtweise: Beschreibung der gesuchten Lösung NICHT Beschreibung des Lösungswegs Wie können Anfragen automatisiert beantwortet werden? Institute for Software Technology 15

16 Beantworten von Anfragen ( erste Idee ) Versuche Anfrage aus den Regeln mittels logischer Schlüsse zu belegen. Ist das möglich, wird die Anfrage mit Ja beantwortet, ansonsten mit Nein. Beispiel: Sind Abraham und Haran Brüder? Formal: brother(abraham,haran)? Institute for Software Technology 16

Ist das möglich, wird die Anfrage mit Ja beantwortet, ansonsten mit Nein.

17 father(terach,abraham) (father(x,y) mother(x,y)) parent(x,y) parent(terach,abraham) father(terach,haran) male(abraham) parent(terach,haran) (parent(x,y) parent(x,z) male(y)) brother(y,z) brother(abraham,haran) ANTWORT: Institute for Software Technology 17

parent(terach,haran) (parent(x,y) parent(x,z) male(y))

18 Durchführung von logischen Schlüssen? Wie kann ich aus bestehenden Fakten und Regeln neues Wissen ableiten? In der Aussagenlogik: Beispiel: Aus regen und der Regel regen nass folgt nass. Formal: regen (regen nass) nass Institute for Software Technology 18

19 Schlüsse in der Aussagenlogik AL Interpretationsfunktion I: AL {T,F} Für beliebige Aussagen x,y gilt: I(x y)=t, wenn I(x)=I(y)=T I(x y)=t, wenn I(x)=T oder I(y)=T I(x y)=t, wenn I(x)=T und I(y)=T, oder wenn I(x)=F I( x)=t, wenn I(x)=F Institute for Software Technology 19

I(x y)=t, wenn I(x)=T oder I(y)=T I(x y)=t, wenn I(x)=T und I(y)=T,

20 Schlüsse in AL (cont.) Beispiel: Was ist I(regen nass)? Der Wert hängt von der Interpretation der Aussagen ab, d.h. von I(regen) und I(nass). Zum Beispiel ist I(regen nass)=t, wenn I(regen)=F. Definition: Eine wahre Interpretation eines aussagelogischen Satzes heißt Modell. I(regen)=F, I(nass)=T ist ein Modell für obiges Beispiel. Institute for Software Technology 20

Zum Beispiel ist I(regen nass)=t, wenn I(regen)=F.

21 Schlüsse in AL (cont.) Ein aussagenlogischer Satz y folgt aus einem aussagenlogischen Satz x (x y), wenn alle Modelle von x auch Modelle von y sind. Beispiel: I(regen)=T, I(nass)=T ist das einzige Modell für regen (regen nass) und auch ein Modell fürnass. Daher gilt: regen (regen nass) nass Institute for Software Technology 21

22 Modus Ponens Regel Generalisierung der letzten Schlußfolgerung: x 1.. x n (x 1.. x n y) y Sie dient der Ableitung neuer Fakten aus der bestehenden Wissensbasis. Regeln dürfen nur die Form x 1.. x n y haben (Horn-Klauseln). Institute for Software Technology 22

23 Schlüsse in der Prädikatenlogik Unterschiede zwischen Prädikatenlogik und Aussagenlogik? Variablen Quantoren (All- und Existenzquantor) Objekte und Beziehungen Allgemeinere Aussagen sind möglich Einschränkung: Im Folgenden wird nur der Allquantor berücksichtigt. Institute for Software Technology 23

24 Variablensubstitution Variable können durch Werte substituiert werden. Eine Substitution ist eine Menge von Paaren x i t i, wo x i eine Variable und t i einen Term bezeichnet. Die Variable x i kommt dabei in der Menge nur maximal einmal vor und darf auch in keinem Term t k mit k i vorkommen. Institute for Software Technology 24

25 Definition (Term): Terme Konstanten sind Terme Variablen sind Terme Sind t 1,..,t n Terme und ist f ein n-stelliges Funktionensymbol, dann ist auch f(t 1,..,t n ) ein Term. Beispiele: 0, X, s(0), s(s(0)),... Institute for Software Technology 25

26 Substitutionsanwendung Sei Θ eine Substitution und t ein Term. Einen Term tθ erhält man, indem man alle Variablen x i in t, für die es einen Eintrag x i t i in Θ gibt, durch t i ersetzt. Der Term tθ wird auch Instanz von t genannt. Beispiel: Aus dem Term male(x) und der Substitution Θ={X terach} erhält man male(terach). Institute for Software Technology 26

27 Anfragen Anfrage: Wer ist die Mutter von Isaak? Formal: mother(x,isaak)? mother(x,isaak). {X sarah} mother(sarah,isaak) Institute for Software Technology 27

28 Beispiel - Wissensdarstellung Textuelle Angabe: 1. Alle Vögel sind Tiere. 2. Alle Adler sind Vögel. 3. Karl liebt Tiere. 4. Kurti ist ein Vogel. 5. Hansi ist ein Adler. Institute for Software Technology 28

29 Lösung tier(x) := vogel(x). vogel(x) := adler(x). liebt(karl,x) := tier(x). vogel(kurti). adler(hansi). Institute for Software Technology 29

30 Anmerkung zur Konversion von Texten in Logik (bzw. LP) Prädikate beschreiben Eigenschaften von Dingen oder deren Relation zu anderen Dingen. Wenn-Dann-Sätze werden zu Implikationen Wird ein Allquantor verwendet, folgt (oft/meist) eine Implikation. Institute for Software Technology 30

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