Klausur für Studiengänge INF und IST

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Linda Fiedler
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1 Familienname: Matrikelnummer: Studiengang: (bitte ankreuzen) INF IST MED Vorname: -Adresse: Immatrikulationsjahr: Klausur für Studiengänge INF und IST sowie Leistungsschein für Studiengang Medieninformatik zur Vorlesung LOGIK Prof. S. Hölldobler Technische Universität Dresden Sommersemester 2007 Termin: Aufgabe Note Max. Punkte Vorkorrektur 1. Prüfer 2. Prüfer ( /Note 1. Prüfer + /Note 2. Prüfer )/2 Raum verlassen von bis Vorzeitig abgegeben um: Klausur eingesehen am: Einspruch eingelegt ja nein

Termin: 25.7.2007 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Note Max. Punkte 7 18 9 16 10 5 65 Vorkorrektur 1. Prüfer 2. Prüfer ( /Note 1. Prüfer + /Note 2.

2 Vorlesung Logik 2 Klausur INF/IST Aufgabe 1 ( 7 Punkte ) Sei L(R, F, V) eine prädikatenlogische Sprache. Definieren Sie die folgenden Begriffe. 1. ( 4 Punkte ) Wann ist eine Formel G in Pränexnormalform?

3 Vorlesung Logik 3 Klausur INF/IST ( 3 Punkte ) Wann ist eine Formel G in Skolem-Normalform?

4 Vorlesung Logik 4 Klausur INF/IST Aufgabe 2 ( 18 Punkte ) Die Aufgabe beschäftigt sich mit der Terminierung des in der Vorlesung besprochenen Algorithmus zur Transformation einer aussagenlogischen Formel in Klauselform. Sei G = [H 1,1,..., H 1,n1 ],..., [H k,1,..., H k,l,..., H k,nk ]..., [H m,1,..., H m,nm ] eine verallgemeinerte Konjunktion von verallgemeinerten Disjunktionen. Die ihr assoziierte Multimenge natürlicher Zahlen sei wie in der Vorlesung f(g) = {r 1,..., r k,..., r m } wobei r k = n k j=1 r(h k,j) mit k {1,..., m} und r(h) ist der Rang der im Argument angegebenen Formel H gemäß der in der Vorlesung eingeführten Rangfunktion: 0 wenn H ein Literal ist, r(f ) + 1 wenn H von der Form F ist, r(h) = r(f ) + r(g) + 1 wenn H v.d.f. (F G) oder (F G) ist, r( F ) + r( G) + 1 wenn H v.d.f. (F G) oder (F G) ist. Es werde nun die verallgemeinerte Disjunktion D k := [H k,1,..., H k,l,..., H k,nk ] und daraus die Formel H k,l zur Anwendung einer Transformationsregel ausgewählt. Die nach Ausführung der Transformationsregel vorliegende verallgemeinerte Konjunktion von verallgemeinerten Disjunktionen werde mit G neu bezeichnet. Zeigen Sie ausführlich und ähnlich wie in den Übungen für den Fall, dass H k,l von der Form (G 1 G 2 ) ist, dass die mit G neu assoziierte Multimenge bzgl. der in der Vorlesung definierten Ordungsrelation auf Multimengen kleiner als die mit G assoziierte Multimenge ist.

Sei G = [H 1,1,..., H 1,n1 ],..., [H k,1,..., H k,l,..., H k,nk ]..., [H m,1,..., H m,nm ] eine verallgemeinerte Konjunktion von verallgemeinerten Disjunktionen.

5 Vorlesung Logik 5 Klausur INF/IST

6 Vorlesung Logik 6 Klausur INF/IST Aufgabe 3 ( 9 Punkte ) Sei F = C 1,..., C n eine aussagenlogische Formel in KNF und seien C i und C j Klauseln aus F mit (i j), i, j {1,..., n}. Beweisen Sie ähnlich wie in den Übungen: Wenn die Klausel C i die Klausel C j subsumiert, dann gilt: C 1,..., C n erfüllbar gdw. C 1,..., C j 1, C j+1..., C n erfüllbar.

7 Vorlesung Logik 7 Klausur INF/IST

8 Vorlesung Logik 8 Klausur INF/IST Aufgabe 4 ( 16 Punkte ) In der Vorlesung wurde die Skolemisierung von existenziellen Quantoren eingeführt, welche bei iterierter Anwendung zur sogenannten Skolem-Normalform führt. In dualer Weise kann man statt den existenziellen Quantoren die universellen Quantoren beseitigen, was dann zur sogenannten dualen Skolem-Normalform führt. Die entsprechende Regel zur Erzeugung der dualen Skolem-Normalform lautet wie folgt: ( X 1 )... ( X n ) ( Y ) F ( X 1 )... ( X n ) (F {Y f(x 1,..., X n )}) 1. ( 6 Punkte ) Transformieren Sie die folgende Formel schrittweise gemäß den Verfahren der Vorlesung, sowie unter Verwendung der obigen Regel, in duale Skolem-Normalform. ( Z)( X) ( p(x) ( X)q(X, Z) )

In dualer Weise kann man statt den existenziellen Quantoren die universellen Quantoren beseitigen, was dann zur sogenannten dualen Skolem-Normalform führt.

9 Vorlesung Logik 9 Klausur INF/IST

10 Vorlesung Logik 10 Klausur INF/IST ( 10 Punkte ) Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (für G = ( X 1 )... ( X n ) ( Y ) F und H = ( X 1 )... ( X n ) (F {Y f(x 1,..., X n )})) (a) H kann Modelle haben, welche keine Modelle von G sind richtig falsch (b) H kann die gleichen Modelle haben wie G richtig falsch (c) G kann Modelle haben, welche keine Modelle von H sind richtig falsch Beweisen Sie die als richtig beurteilten Aussagen.

.., X n )})) (a) H kann Modelle haben, welche keine Modelle von G sind richtig falsch (b) H kann die gleichen

11 Vorlesung Logik 11 Klausur INF/IST

12 Vorlesung Logik 12 Klausur INF/IST Aufgabe 5 ( 10 Punkte ) Sei L({p 1 },, {X, Y, Z,...}) eine prädikatenlogische Sprache, I eine Interpretation über einer beliebigen Domäne D und sei Z eine Variablenzuweisung. Beurteilen Sie die folgende Aussagen und beweisen bzw. widerlegen Sie sie gemäss Ihrem getroffenen Urteil. (Zur Lösung dieser Aufgabe dürfen alle in der Vorlesung und/oder in den Übungen bewiesenen Resultate (Theoreme, Sätze, etc.) benützt werden.) 1. ( 4.5 Punkte ) Wenn [( X)p(X)] I,Z =, dann gilt für alle d D die Gleichung: [( X)p(X)] I,Z = [p(x)] I,{X d}z richtig falsch

Beurteilen Sie die folgende Aussagen und beweisen bzw. widerlegen Sie sie gemäss Ihrem getroffenen Urteil.

13 Vorlesung Logik 13 Klausur INF/IST ( 5.5 Punkte ) Wenn für alle d D die Gleichung [( X)p(X)] I,Z = [p(x)] I,{X d}z gilt, dann gilt [( X)p(X)] I,Z =. richtig falsch

14 Vorlesung Logik 14 Klausur INF/IST Aufgabe 6 ( 5 Punkte ) Die folgende Funktion berechnet das Maximum einer nicht leeren Liste von Zahlen. Dabei benutzt es folgende Vorgehensweise: für eine Liste [H L] berechnet es zuerst das Maximum von L und vergleicht dies mit H. max([n]) = n max([n L]) = { n max(l) n max(l) sonst Schreiben Sie ein Prolog-Programm, welches die gleiche, oben beschriebene Vorgehensweise benützt. Beschränken Sie Sich dabei auf Listen von natürlichen Zahlen, welche als iterierte Nachfolger der Null dargestellt werden, also 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), usw. und schrieben Sie ein Prolog-Programm, welches die Vergleichsrelation implementiert.

max([n]) = n max([n L]) = { n max(l) n max(l) sonst Schreiben Sie ein Prolog-Programm, welches die gleiche, oben beschriebene Vorgehensweise benützt.

15 Vorlesung Logik 15 Klausur INF/IST

16 Vorlesung Logik 16 Klausur INF/IST

17 Vorlesung Logik 17 Klausur INF/IST

18 Vorlesung Logik 18 Klausur INF/IST

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