Logik für Informatiker
|
|
|
- Brit Beyer
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau [email protected] 1
2 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle Auswertung von Formeln / Wahrheitstabellen A = F g.d.w. A(F) = 1. Gültigkeit und Erfüllbarkeit F allgemeingültig/tautologie: A(F) = 1 für alle Wertebelegungen A F erfüllbar es gibt Wertebelegung A mit A(F) = 1 F unerfüllbar/kontradiktion A(F) = 0 für alle Wertebelegungen A Folgerung, Äquivalenz F = G, F G 2
3 Bis jetzt Kalküle: Erster Kalkül: Wahrheitstafelmethode Wichtige Äquivalenzen Ein zweiter Kalkül: Logische Umformung Unerfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit/Folgerung F = G gdw. = F G N {F} = G gdw. N = F G F G gdw. = F G G allgemeingültig gdw. G unerfüllbar F = G gdw. F G unerfüllbar N = G gdw. N G unerfüllbar 3
4 Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Dazu brauchen wir Normalformen 4
5 Normalformen Definition: Atom: aussagenlogische Variable Literal: Atom, oder Negation eines Atoms Beispiel. Sei Π = {P,Q,R}. Atome: P, Q, R Literale: P, P, Q, Q, R, R 5
6 Normalformen Definition: Atom: aussagenlogische Variable Literal: Atom, oder Negation eines Atoms Definition: Klausel: Eine Disjunktion von Literalen mehrstellige Disjunktionen (P Q R), (P P Q) einstellige Disjunktionen P die nullstellige Disjunktion (leere Klausel) 6
7 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln 7
8 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig 8
9 Normalformen Definition: Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele: (P Q) (Q R S) P Q P (Q R) P Q P P 9
10 Normalformen Definition: Disjunktive Normalform (DNF): Eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen. mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele: (P Q) (Q R S) P Q P (Q R) P Q P P 10
11 Normalformen Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF 11
12 Normalformen Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig 12
13 Normalformen Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Solche Formeln können durch Umformungen hergestellt werden 13
14 Normalformen Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Solche Formeln können durch Umformungen hergestellt werden 14
15 Beispiel F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F
16 Beispiel: DNF F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F
17 Beispiel: DNF F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F DNF: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) 17
18 Beispiel: KNF F : (P Q) (( P Q) R) P Q R (P Q) P ( P Q) (( P Q) R) F F DNF für F: ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) (P Q R) KNF für F: (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) 18
19 Normalformen DNF für F: A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P 19
20 Normalformen DNF für F: A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P Theorem Für alle Interpretationen A : {P 1,...,P n } {0,1}: A (F) = 1 gdw. A ( (P A(P 1) 1 P A(P n) n )) = 1. A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=1 20
21 Normalformen DNF für F: A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P KNF für F: F, wobei F die DNF von F ist. 21
22 Normalformen DNF für F: A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=1 (P A(P 1) 1 P A(P n) n ) wobei: P 0 = P P 1 = P KNF für F: F, wobei F die DNF von F ist. KNF für F: A:{P 1,...,Pn} {0,1} A(F)=0 (P 1 A(P 1) 1 P 1 A(P n) n ) 22
23 Normalformen Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Solche Formeln können durch Umformungen hergestellt werden 23
24 Umformung in KNF Vier Schritte: 24
25 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 25
26 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 26
27 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A Negationsnormalform (NNF) Eine logische Formel ist in Negationsnormalform (NNF), falls die Negationsoperatoren in ihr nur direkt über atomaren Aussagen vorkommen. 27
28 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A (NNF) 4. Nach innen schieben von Verwende Distributivität von über 28
29 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 29
30 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 30
31 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 2. Elimination von ( P Q R) ( (Q R) P) 31
32 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 2. Elimination von ( P Q R) ( (Q R) P) 3. Nach innen schieben von (NNF) ( P Q R) (( Q R)) P) 32
33 Umformung in KNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Elimination von (P (Q R)) ((Q R) P) 2. Elimination von ( P Q R) ( (Q R) P) 3. Nach innen schieben von (NNF) ( P Q R) (( Q R)) P) 4. Nach innen schieben von ( P Q R) ( Q P) ( R P)) 33
34 Umformung in DNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A (NNF) 4. Nach innen schieben von Verwende Distributivität von über 34
35 Umformung in DNF: Beispiel Gegeben: P (Q R) 1. Negationsnormalform (NNF) (s. Seite 32): 2. Nach innen schieben von ( P Q R) (( Q R) P) ( P (( Q R) P)) (Q (( Q R) P)) (R (( Q R) P)) ( P Q R) ( P P) (Q Q R) (Q P) (R Q R) (R P) ( P Q R) ( P P) }{{} ((R R) }{{} Q) (R P) ( P Q R) (Q P) (R P) ((Q Q) }{{} R) (Q P) 35
36 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) 36
37 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Zu A n äquivalente KNF (P 1,f(1) P n,f(n) ) f:{1,...,n} {1,2} 37
38 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 =
39 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 = 2 2 n = 3 : A 3 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) (P 31 P 32) }{{} A ((P 2 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) (P 31 P 32 ) }{{} KNF(A 2 ) 39
40 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 = 2 2 n = 3 : A 3 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) (P 31 P 32) }{{} A ((P 2 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) (P 31 P 32 ) }{{} KNF(A 2 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 31 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 32 ) 40
41 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 n = 3 : A 3 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) (P 31 P 32) }{{} A ((P 2 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) (P 31 P 32 ) }{{} KNF(A 2 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 31 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 32 ) (((P 11 P 21 P 31 ) (P 12 P 21 P 31 ) (P 11 P 22 P 31 ) (P 12 P 22 P 31 ) (((P 11 P 21 P 32 ) (P 12 P 21 P 32 ) (P 11 P 22 P 32 ) (P 12 P 22 P 32 ) Länge:
42 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Zu A n äquivalente KNF (P 1,f(1) P n,f(n) ) f:{1,...,n} {1,2} Größe der KNF: Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis: Induktion Sei f(n) die Anzahl der Klausel in KNF für A n. f(1) = 2 f(n +1) = 2f(n) 42
43 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis durch Induktion Induktionsbasis: n = 1 : A 1 in KNF, 2 1 Klausel. 43
44 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis durch Induktion Induktionsvoraussetzung: KNF von A n hat 2 n Klausel KNF(A n ) = C 1 C 2 n, C i = (L i 1 Li n i ) Klausel Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von A n+1 hat 2 n+1 Klausel A n+1 = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((P 11 P 12 ) (P n1 P n2 )) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) }{{} An (C 1 C 2 n) }{{} KNF(An) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),1 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),2 ) (C 1 P (n+1),1 ) (C 2 n P (n+1),1 ) (C 1 P (n+1),2 ) (C 2 n P (n+1),2 ) 44
45 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis durch Induktion Induktionsvoraussetzung: KNF von A n hat 2 n Klausel KNF(A n ) = C 1 C 2 n, C i = (L i 1 Li n i ) Klausel Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von A n+1 hat 2 n+1 Klausel A n+1 = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((P 11 P 12 ) (P n1 P n2 )) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) }{{} An (C 1 C 2 n) }{{} KNF(An) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),1 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),2 ) (C 1 P (n+1),1 ) (C 2 n P (n+1),1 ) (C 1 P (n+1),2 ) (C 2 n P (n+1),2 ) }{{}}{{} 2 n 2 n 45
46 KNF: Mengenschreibweise Notation: Klausel als Menge von Literalen Formel in KNF als Menge von Klauseln 46
47 KNF: Mengenschreibweise Notation: Klausel als Menge von Literalen Formel in KNF als Menge von Klauseln Beispiel: (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) { {P,Q,R}, {P,Q, R}, { P,Q,R}, { P, Q,R} } 47
48 KNF: Mengenschreibweise Bedeutung der leeren Menge Leere Klausel = leere Menge von Literalen = leere Disjunktion = 48
49 KNF: Mengenschreibweise Bedeutung der leeren Menge Leere Klausel = leere Menge von Literalen = leere Disjunktion = Leere Menge von Klausels = leere Konjunktion = 49
50 Vereinfachung der KNF: Subsumption Theorem (Subsumption Regel) Enthält eine KNF-Formel (= Klauselmenge) Klauseln K,K mit K K dann entsteht eine äquivalente Formel, wenn K weggelassen wird. 50
51 Vereinfachung der KNF: Subsumption Theorem (Subsumption Regel) Enthält eine KNF-Formel (= Klauselmenge) Klauseln K,K mit K K dann entsteht eine äquivalente Formel, wenn K weggelassen wird. Beweis: K = {L 1,...,L p } {L 1,...,L p,l p+1,...,l m } = K F enthält K K K K = (L 1 L p ) ((L 1 L p ) L p+1...l m ) (L 1 L p ) = K (Absorption) 51
52 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F Frage: Ist F erfüllbar? 52
53 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F Frage: Ist F erfüllbar? NB: F allgemeingültig gdw. F nicht erfüllbar 53
54 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Erfüllbarkeitsproblem für DNF Formeln Sei F = n i=1 ( m j=1 L ij) in DNF F unerfüllbar gdw. ( m j=1 L ij) unerfüllbar für alle i = 1,...,n gdw. ( m j=1 L ij) enthält zwei komplementare Literale für alle i 54
55 Zusammenfassung Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive und Disjunktive Normalform Ablesen von DNF und KNF aus Wahrheitstafeln Umformen in KNF/DNF Mengenschreibweise Subsumption SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition Erfüllbarkeitsproblem für DNF Formeln 55
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
Ersetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann [email protected] 9. Juni 2015 Frank Heitmann [email protected] 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
TU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade [email protected] 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.
I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten
Allgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:
Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
Übung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr [email protected] auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte
Logic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen
Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification
Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik
Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax
Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen
Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume & Dr. Sander Bruggink Barbara König Logik 1 (Motivation) Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests,
Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
Vorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung
Vorlesung Logiksysteme
Vorlesung Logiksysteme Teil 1 - Aussagenlogik Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 15. Mai 2014 Formalien zur Vorlesung/Übung Termine: dienstags 16:15 17:45 Uhr freitags 10:15 11:45 Uhr
Grundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie
Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ
Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik
Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable
Normalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
Kapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik
Algorithmischer Aufbau der Aussagenlogik In diesem Abschnitt betrachten wir Verfahren die bei gegebener endlichen Menge Σ und A-Form A entscheiden ob Σ = A gilt. Die bisher betrachteten Verfahren prüfen
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.
Tableaukalkül für Aussagenlogik
Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln
Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1
Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der
Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 8 31.05.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Bis jetzt Normalformen: CNF/DNF Subsumption SAT-Problem
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül
Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen
Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der
Logik Teil 1: Aussagenlogik. Vorlesung im Wintersemester 2010
Logik Teil 1: Aussagenlogik Vorlesung im Wintersemester 21 Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Jeder Aussage ist ein
Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung
Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans 23.07.2012 Dipl.-Inform. Markus Bender Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung
Aussagenlogik. Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle
Aussagenlogik Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle Logik für Informatiker, M. Lange, IFI/LMU: Aussagenlogik Syntax und Semantik 26 Einführendes Beispiel
Was ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.
Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
Logik Teil 1: Aussagenlogik
Aussagenlogik Aussagenlogik behandelt die logische Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren wie und, oder, nicht, gdw. Logik Teil : Aussagenlogik Jeder Aussage ist ein Wahrheitswert (wahr/falsch) zugeordnet
5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation
Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung
Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1
Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen
Schlussregeln aus anderen Kalkülen
Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,
Hilbert-Kalkül (Einführung)
Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle
Aussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,
Grundlagen der Programmierung
GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 1 9.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik + Aussagenlogik
wenn es regnet ist die Straße nass.
Aussagenlogik 2 In der Aussagenlogik werden, wie der Name schon sagt, Aussagen über logische Operatoren verknüpft. Der Satz diestraßeistnass ist eine Aussage, genauso wie es regnet. Diese beiden Aussagen
Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen
Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,
Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik
Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4
Logik. Markus Lohrey. Sommersemester Universität Siegen. Markus Lohrey (Universität Siegen) Logik Sommersem / 299
Logik Markus Lohrey Universität Siegen Sommersemester 2014 Markus Lohrey (Universität Siegen) Logik Sommersem. 2014 1 / 299 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen finden Sie unter z. B. http://www.eti.uni-siegen.de/ti/lehre/ss14/logik/
Einführung in die Logik
Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3
Aussagenlogische Kalküle
Aussagenlogische Kalküle Ziel: mit Hilfe von schematischen Regeln sollen alle aus einer Formel logisch folgerbaren Formeln durch (prinzipiell syntaktische) Umformungen abgeleitet werden können. Derartige
Hat KAI also die Uhr gestohlen oder nicht? (Mit Begründung, natürlich!) 1
INTA - Lösungshinweise zum Übungsblatt 3, Version 1.0α. Aufgabe 13 (Meta-Logik, die Zweite). Nachdem sie erfolgreich den Zauberer identifiziert haben (hatten sie doch, oder?), werden sie kurzzeitig als
Logik. Markus Lohrey. Wintersemester 2012/2013. Universität Leipzig. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Logik Wintersem.
Logik Markus Lohrey Universität Leipzig Wintersemester 2012/2013 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Logik Wintersem. 2012/2013 1 / 214 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen finden Sie unter z.
Logik Vorlesung 6: Resolution
Logik Vorlesung 6: Resolution Andreas Maletti 28. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften
Grundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski
Die Folgerungsbeziehung
Kapitel 2: Aussagenlogik Abschnitt 2.1: Syntax und Semantik Die Folgerungsbeziehung Definition 2.15 Eine Formel ψ AL folgt aus einer Formelmenge Φ AL (wir schreiben: Φ = ψ), wenn für jede Interpretation
7 Logische Agenten. Die Wumpus-Welt. Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench)
7 Logische Agenten 12.01.2007 Logische Agenten Logische Agenten / 1 Die Wumpus-Welt Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench) In Quadraten um eine Falltür (Pit) herum ist ein Luftzug
Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie
Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften
Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: [email protected] 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft
Mathematik für Informatiker I
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft
Reduktionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie. Exkurs: Reduktionen allgemein. Reduktionen: Erläuterungen
en Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie P, und C Definition () Seien L 1, L 2 {0, 1} zwei Sprachen. Wir sagen, dass L 1 auf L 2 in polynomialer Zeit reduziert wird, wenn eine
Informatik A (Autor: Max Willert)
2. Aufgabenblatt Wintersemester 2012/2013 - Musterlösung Informatik A (Autor: Max Willert) 1. Logik im Alltag (a) Restaurant A wirbt mit dem Slogan Gutes Essen ist nicht billig!, das danebenliegende Restaurant
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,
Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:
Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,
Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012
Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: [email protected] 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
Bisher. minimale DNF. logischen Formeln Booleschen Funktionen Schaltungen
Bisher Klassische Aussagenlogik (Syntax, Semantik) semantische Äquivalenz von Formeln äquivalentes Umformen von Formeln (syntaktisch) Normalformen: NNF, DNF, CNF, kanonische DNF und CNF Ablesen kanonischer
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 1. Einführung Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen
Beweisen mit Semantischen Tableaux
Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet
1 Aussagenlogische Formeln
1 Aussagenlogische Formeln Aufgabe 1.1 Transformieren Sie die Formel in disjunktive Normalform (DNF). ((:A! :B) ^ D)! ((A _ C) $ (:B ^ D)) Lösung 1.1 Schrittweise Transformation: Schritt 1: ((:A! :B) ^
Teil 7. Grundlagen Logik
Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also
Resolutionsalgorithmus
112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:
Aussagenlogik. Aussagenlogik. Syntax Semantik Formeln, Modelle, Tautologien und Anwendungen Folgerungen, Wissen Bernd Baumgarten
Aussagenlogik 86 Syntax Semantik Formeln, Modelle, Tautologien und Anwendungen Folgerungen, Wissen Folgerungen (1) 87 ϕ folgt aus (ist Folgerung aus) Formelmenge M bzw. M = ϕ : Jedes für ϕ ausreichende
Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche
De Morgan sche Regeln
De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,
Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)
WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14
Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur
Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die
3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C
3. Prädikatenlogik 3.1 Motivation In der Aussagenlogik interessiert Struktur der Sätze nur, insofern sie durch "und", "oder", "wenn... dann", "nicht", "genau dann... wenn" entsteht. Für viele logische