Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

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1 Christian Eisentraut & Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen: (a) Konjunktion (b) Disjunktion (c) notwendig (d) hinreichend (e) Implikation (f) Äquivalenz (g) Tautologie (h) Kontradiktion (i) erfüllbar (j) Logische Gleichheit Aufgabe 2. (Wiederholung - etwas anders) Kategorie 2 Sie möchten ein Übersetzungsprogramm von Deutsch nach Aussagenlogik und von Aussagenlogik nach Deutsch schreiben. Wie gehen Sie vor? Worauf müssen Sie achten? Wovon glauben Sie, dass es sehr leicht funktionieren wird, was könnte Ihrer Meinung nach Probleme bereiten? Aufgabe 3. (Aussagen) Entscheiden Sie, ob die folgenden Sätze Aussagen sind. Geben Sie jeweils auch an, warum es sich Ihrer Meinung nach um eine/keine Aussage handelt. Beispiel In Saabrücken regnet es. Ein Blick aus dem Hörsaal liefert die Antwort: Entweder regnet es oder es regnet nicht, man kann also eindeutig mit Ja oder Nein antworten. Damit handelt es sich bei diesem Satz um eine Aussage. 1 Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer ( ist inklusive aller darin vorkommenden Texte und Bilder lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht-kommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Weitere Hinweise finden Sie unter http: //creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. 1

2 Alle Feen haben Zauberstäbe. Bei diesem Satz ist es, erstaunlicherweise egal, ob es Feen gibt oder nicht, um zu entscheiden, ob es sich um eine Aussage handelt. Gibt es Feen, so kann man entscheiden, ob alle einen Zauberstab besitzen oder nicht. Gibt es keine Fee, so gibt es auch keine Fee, die keinen Zauberstab hat und der Satz wäre wahr. a Damit können wir in jedem Fall den Wahrheitswert des Satzes eindeutig festlegen und damit handelt es sich um eine Aussage. a Wenn Ihnen diese Argumentation seltsam vorkommt, müssen Sie sich noch etwas gedulden. Im Kapitel Prädikatenlogik werden wir noch näher darauf eingehen. (a) Alle Rosen sind rot. (b) Wie geht es dir? (c) Guten Tag! (d) Morgen ist Mittwoch. (e) = 7 (f) Sei x = (g) Autos haben vier Räder und Computer brauchen Strom. (h) Mir geht es gut und wie geht es dir? (i) = 8 und 4 1 = 2 (j) Heute ist das Wetter schön oder nicht? (k) Ein Monat hat 30 Tage oder eine Woche hat 8 Tage. (l) Wenn du da bist, ruf mich bitte an! (m) Wenn = 12, dann ist heute Dienstag. (a) Alle Rosen sind rot. Hierbei handelt es sich um eine Aussage, da wir eindeutig sagen können, dass der Satz (in diesem Fall) falsch ist, es gibt ja auch rosa, orange, weiße und schwarze Rosen. (b) Wie geht es dir? Eine Frage ist keine Aussage. (c) Guten Tag! Der Satz ist ein Ausruf und damit keine Aussage. (d) Morgen ist Mittwoch. Ist heute Dienstag, so ist dieser Satz wahr, ansonsten falsch. Damit handelt es sich um eine Aussage. (e) = 7 Von Gleichheiten, die nur Zahlen enthalten, kann man immer entscheiden, ob sie wahr oder falsch sind. Damit handelt es sich bei solchen Sätzen immer um Aussagen. (f) Sei x = Hier wird die Variable x definiert, damit ist dieser Satz keine Aussage, da man von Definitionen nicht entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch sind. (g) Autos haben vier Räder und Computer brauchen Strom. Dieser Satz wird durch ein oder aus zwei Aussagen zusammengesetzt. Damit handelt es sich wieder um eine Aussage. (h) Mir geht es gut und wie geht es dir? Obwohl dieser Satz eine und enthält, handelt es sich hierbei um eine Frage und nicht um eine Aussage. 2

3 (i) = 8 und 4 1 = 2 Beide Teilsätze sind Aussagen, damit ist auch ihre und -Verknüpfung eine Aussage. (j) Heute ist das Wetter schön oder nicht? Hierbei handelt es sich um eine Frage und damit nicht um eine Aussage. (k) Ein Monat hat 30 Tage oder eine Woche hat 8 Tage. Beide Teilsätze sind Aussagen, damit auch ihre Verknüpfung durch oder. (l) Wenn du da bist, ruf mich bitte an! Hierbei handelt es sich um eine Bitte und damit nicht um eine Aussage. (m) Wenn 9+3 = 12, dann ist heute Dienstag. Die beiden Teilsätze sind Aussagen. Da auch wenn-dann Aussagen zu neuen Aussagen verbindet, handelt es sich hierbei um eine Aussage. Aufgabe 4. (Syntax Anwendung der Grammatik) Sind die folgende Ausdrücke bezüglich der Grammatik für aussagenlogische Ausdrücke korrekt? Nehmen Sie an, dass φ und ψ Metavariablen sind. Beispiel p p p Mit der Grammtik ist es nicht möglich zwei aufeinander folgende Variablen abzuleiten, damit ist der Ausdruck nicht gültig. (a) (b) φ ψ (c) p (d) q p (e) p q (f) p q Geben Sie nun einfache Regeln an, mit denen man bestimmen kann, ob etwas zur Sprache der Aussagenlogik gehört oder nicht. (a) Nein, denn benötigt immer zwei Operanden. (b) φ ψ Geht man davon aus, dass φ und ψ Metavariablen sind, so handelt es sich nicht um einen aussagenlogischen Ausdruck, denn Metavariablen gehören nicht zur Sprache dazu. (c) x x ist eine Aussagenvariable und nach der Grammatik der Aussagenlogik ableitbar. (d) x y Es können keine zwei Aussagenvariablen direkt aufeinanderfolgen. (e) p q - Es können keine zwei Operatoren direkt aufeinander folgen. (f) p q Da p und q Aussagenvariablen sind, handelt es sich hierbei um einen korrekten aussagenlogischen Ausdruck. 3

4 Aufgabe 5. (Syntax - mehr Struktur (1)) Geben Sie Strukturbäume zu folgenden Aussagen an: (a) p q r (b) p q r s q (c) r s q p r q r q s q p q q r s Aufgabe 6. (Syntax mehr Struktur (2)) Nun die umgekehrte Richtung: Geben Sie Ausdrücke zu folgenden Strukturbäumen an: r p q r s p (a) (p q) (r s) (b) ( (p )) (( ) r) (c) Aufgabe 7. (Strukturbäume mal anders) Zeichnen Sie Strukturbäume von einem aussagenlogischen Ausdruck φ, der den folgenden Bedingungen genügt: 4

5 Beispiel φ enthält eine Äquivalenz, deren beide Operanden wieder zusammengesetzt sind, aber mittels verschiedenen Operatoren. Unser Strukturbaum muss mindestens einen Knoten enthalten, der mit beschriftet ist. Darüber hinaus dürfen die Knoten an den ausgehenden Kanten weder, noch Aussagenvariablen sein, sondern müssen Operatoren sein. Außerdem müssen diese Operatoren verschieden sein. Wir geben ein paar mögliche Beispiele an. Seien dazu im Folgenden p, q und r Aussagevariablen. p r r q p (a) φ ist die Negation einer Konjunktion. (b) φ ist eine Implikation, deren Prämisse eine Konjunktion ist. (c) φ enthält eine Konjunktion, eine Disjunktion und eine Implikation, aber die Wurzel ist mit keinem dieser Operatoren beschriftet. (d) φ enthält sowohl des exklusive Oder als auch das normale Oder, aber keiner von beiden Operatoren hat einen zusammengesetzten Operanden. Seien im Folgenden p und q Aussagevariablen. p q p q p q T T Aufgabe 8. (Wahrheitstafeln Grundlegendes) Füllen Sie die folgenden Wahrheitstafeln aus. Sammeln Sie alle Gesetzmäßigkeiten, die Ihnen auffallen. Hinweis: Verwenden Sie die Semantik zum Bestimmen der Werte der aussagenlogischen Ausdrücke. Notieren Sie dabei jeden Zwischenschritt. 5

6 Beispiel p q (p q) (p q) f f w f w w w f f w w w Der Wert in der ersten Zeile der Tabelle wird nun mit Hilfe der Semantik bestimmt: p = f, q = f. Nach Definition der Semantik gilt: p q = f und p q = w. Sei φ := p q und ψ := p q, dann φ ψ = w nach der semantischen Abbildung, da φ = f und ψ = w. (Hier ist nur ein Beispiel gegeben, man muss mit allen weiteren Zeilen genauso verfahren.) Die Aussage ist logisch äquivalent zur Implikation. Um die Wahrheitswerte einer oder -Verknüpfung zu bestimmen, muss man nur solange einen Teilausdruck auswerten bis einer der beiden wahr wird. Die erste Tabelle dient zur Wiederholung der Operatoren: p q p p q p q p q p q p q f f f w w f w w p q (p q) p q (p q) p q p p p p f f f w w f w w p ( p) p p p p p p f w p q p ( p q) ( p q) (p q) (p q) p q f f f w w f w w 6

7 p q p p q p q p q p q p q f f w f w f f w w f f w w f w w f w f w w f w f f w f f f w w w w f f w w w w f p q (p q) p q (p q) p q p p p p f f w w w w f f f w f f w w f f w f f f w w w w w w f f f f w w p ( p) p p p p p p f f f w w f f f w w w w f w f w p q p ( p q) ( p q) (p q) (p q) p q f f w f f f w f w w w f w w w f f w f w f w w f w w f f Aufgabe 9. (Wahrheitstafeln nun in Schwerer) Die folgenden Tabellen enthalten schwere Ausdrücke. Ihre Aufgabe ist es nun, die Tabellen auszufüllen. Verwenden Sie dazu die Gesetzmäßigkeiten und Tricks, die Sie in Aufgabe 8 gefunden haben. Sie müssen die Zwischenschritte, die in der aussagenlogischen Semantik zum Auswerten von Ausdrücken notwendig sind, nicht explizit aufschreiben. p q (p q p) q p p p q p p p p q p q p f f f w w f w w p q p q p q p q p q p q p q p q p q q p f f f w w f w w 7

8 p q p q p q p p p q p p p p q p q p f f w w f w f w w w f f w f w f w w w w w w w w p q p q p q p q p q p q p q p q p q q p f f f w w w f w w w w w w f f w f w w w f w w w Aufgabe 10. (Was ist die Baumdarstellung genau?) Kategorie 4 Warum gibt es keinen Sinn w bzw. f als Blatt in der Baumdarstellung zu benutzen? Diskutieren Sie! Gruppenaufgabe Die Baumdarstellung für aussagenlogische Ausdrücke ist eine Möglichkeit klammerungsfrei die Hierarchie der Operatoren auszudrücken. Da man mit der Baumdarstellung zwar die Erscheinungsform der Ausdrücke, nicht aber ihre Bedeutung ändert, handelt es sich hierbei um eine syntaktische Umformung. Strukturbäume sind in der Tat nur eine andere Aufschreibweise und damit rein syntakischer Natur. Aufgabe 11. (Logische Äquivalenzen) Kategorie 4 Sie wollen beweisen, dass p p p gilt. Wie würden Sie Vorgehen? Ist es möglich einen Beweis per Wahrheitstabelle zu führen? Können Sie Ihr Vorgehen auch auf einen Beweis wie den folgenden anwenden: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Ist n 2 gerade, so ist auch n gerade. Aufgabe 12. (Hinreichend vs. Notwendig) Kategorie 4 Formulieren Sie die folgenden Aussagen in aussagenlogische Ausdrücke um, indem Sie zunächst für jede Teilaussage eine Aussagenvariable definieren und dann die Teilaussagen mit den bekannten aussagenlogischen Operatoren verbinden. Beispiel Einen Führerschein zu haben ist notwendig dafür, dass man Autofahren darf. Einen Führerschein zu haben ist notwendig dafür, dass man Autofahren darf. 8

9 Also: q p. Notwendige Aussagen stehen vereinfacht gesagt immer rechts in der Implikation, hinreichende Aussagen immer links. (a) Wenn die Blumen nicht gegossen worden sind, dann ist es hinreichend dafür, dass es geregnet hat, so dass man die Blumen nicht zu gießen braucht. (b) 4 + x = 8 ist notwendig und hinreichend dafür, dass x = 4. (c) In einem Raum, in dem es nur ein Fenster und keine Tür oder sonstige Öffnungen gibt, ist die Tatsache, dass das Fenster offen ist, notwendig dafür, dass frische Luft hineinkommt. (d) Das jemand Kuchen gebacken hat, ist notwendig dafür, dass man Kuchen essen kann. (e) Keine Bewölkung am Himmel ist notwendig aber nicht hinreichend dafür, dass die Sonne scheint. (f) Dass die Bäume Blätter haben ist hinreichend dafür, dass es nicht Winter ist. (g) Verkehrsregeln sind notwendig, aber nicht hinreichend um Unfälle zu vermeiden. (h) In der Mensa zu essen, ist hinreichend dafür zu wissen, wo sie ist. (a) Wenn die Blumen nicht gegossen worden sind, dann ist es hinreichend dafür, dass r := es geregnet hat, dass man die Blumen nicht zu gießen braucht. p (r q) (b) 4 + x = 8 ist notwendig und hinreichend dafür, dass x = 4. p q (c) In einem Raum, in dem es nur ein Fenster und keine Tür oder sonstige Öffnungen gibt r :=, ist die Tatsache, dass das Fenster offen ist, notwendig dafür, dass frische Luft hineinkommt. p (r q) (d) Das jemand Kuchen gebacken hat, ist notwendig dafür, dass man Kuchen essen kann. q p (e) Keine Bewölkung am Himmel ist notwendig aber nicht hinreichend dafür, dass die Sonne scheint. q p (f) Dass die p q Bäume Blätter haben ist hinreichend dafür, dass es nicht Winter ist. 9

10 (g) Verkehrsregeln sind notwendig, aber nicht hinreichend um q p (h) In der Mensa zu essen, ist hinreichend dafür Unfälle zu vermeiden. zu wissen, wo sie ist. p q Aufgabe 13. (Verzwickt!) Kategorie 5 Paul, Paula und Pauline liegen im Streit um das letzte Stück Kuchen. Nachdem Sie das Stück letztendlich geteilt haben, wollen Sie herausfinden, wer mit dem Streit angefangen hat. Paul sagt: Einer von uns hat auf jeden Fall mit dem Streit angefangen. Paula sagt: Es ist nicht wahr, dass wenn ich nicht der Täter bin, Pauline der Schuldige ist. Pauline sagt: Wenn Paul Schuld ist, dann sind Paula und ich nicht Schuld. Finden Sie den Schuldigen! Wir stellen die Aussagen mittels aussagenlogischer Ausdrücke dar. Die einzige Belegung, für die alle drei Aussagen wahr werden, gibt an, wer der Schuldige ist. Sei dazu Paul ist der Schuldige, Paula ist die Schuldige und r := Pauline ist die Schuldige. Dann sehen unsere Aussagen so aus: p q r ( q r) p (q r) Die dazugehörigen Wahrheitstabellen: p q r p q r ( q r) p (q r) f f f f w w f f w w f w f w f w f w f w w w f w w f f w w w w f w w f w w w f w f w w w w w f f In der ersten Möglichkeit also ist Paul der Schuldige. 10

11 p q r p q r ( q r) p q r f f f f w w f f w w f w f w f w f w f w w w f w w f f w w f w f w w f w w w f w f w w w w w f w Hier können wir keine eindeutige Antwort geben. Aufgabe 14. (Logische Äquivalenzen beweisen) Kategorie 5 Beweisen Sie die folgenden Äquivalenzen, indem Sie die eine Aussage in die andere mit Hilfe der Gesetze der Aussagenlogik (und natürlich der Definition der Operatoren) umformen. Beispiel Zu zeigen Sie die Äquivalenz für beliebige Aussagenvariablen p,q und r: p (q r) (p ) (q ) p r p (q r) Distributivität (p q) (p r) Definierbarkeit (p q) (p r) De Morgan ( p q) (p r) Definierbarkeit (p ) (q ) (p r) Definierbarkeit (p ) (q ) p r (a) ((p q) (p q) ( p q) ( p q)) r (b) ( p q) ((q r) r) (p q) (r q) r (c) (p q) (q r) (( p q) ( q r)) (a) (b) ((p q) (p q) ( p q) ( p q)) r Distributivität p (q q) p(q q) r tertium non datur p p r Identität, Assoziativität p p r tertium non datur r Definition- (( p q) (q r)) r De Morgan (p q) (q r) r Definierbarkeit ( p q) ( q r) r Definierbarkeit (zweimal) (p q) (r q) r 11

12 (c) (p q) (q r) De Morgan ( (p q) (q r)) Definierbarkeit (zweimal) ( ( p q) ( q r)) Definierbarkeit (( p q) ( q r)) Aufgabe 15. (Tautologien, Erfüllbare Aussagen, Kontradiktionen) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen Kontradiktionen, erfüllbar oder Tautologien sind. Hinweis: Verwenden Sie Ihr bisheriges Wissen über Gesetze der Aussagenlogik, Kontradiktionen und Tautologien. Wahrheitstabellen für die Ausdrücke auszufüllen ist sehr aufwendig. (a) p p q p (b) p q q (c) p q s r s (d) p q s r s (e) s s (f) (s p r q) s p (q r s) (a) p p q p Bei p p q handelt es sich, wie bereits in den Aufgaben gesehen, um eine Tautologie, damit ist der gesamte Ausdruck eine Kontradiktion. (b) p q q Der Ausdruck ist erfüllbar, da er zu w auswertet, falls alle Aussagenvariablen mit w belegt sind. Er ist keine Tautologie, da er für p = f immer zu falsch auswertet (q q wertet immer zu w aus). (c) p q s r s Dieser aussagenlogische Ausdruck ist erfüllt, wenn alle Variablen mit f belegt sind. Ist s jedoch mit w belegt, so wertet der Ausdruck zu f aus. Damit handelt es sich nicht um eine Tautologie. (d) p q s r s Sin alle Variablen bis auf s mit w belegt, so wertet der Ausdruck zu f aus, damit kann er keine Tautologie sein. Ist s jedoch mit w belegt, so wertet er zu w aus. Damit ist er erfüllbar. (e) s s Beide Teilausdrücke der Äquivalenz sind logisch äquivalent zu s. Damit handelt es sich bei dem Ausdruck um eine Tautologie. (f) s p r q s p q r s - Der Ausdruck ist keine Tautologie, da er für p belegt mit f und allen anderen Aussagenvariablen belegt mit w falsch wird. Er ist aber erfüllbar, da er zu w auswertet, falls alle Aussagenvariablen mit w belegt sind. 12

13 Aufgabe 16. (Aussagenlogische Operatoren (1)) Kategorie 5 Was ist die kleinste Menge von aussagenlogischen Operatoren, die vollständig ist in dem Sinne, dass Sie mit ihr alle anderen Operatoren darstellen können? Finden Sie eine noch kleinere Menge, wenn Sie sich neue Operatoren überlegen, die Sie bisher nicht kennengelernt haben? Mann kann jeweils mit und und mit und alle anderen Operatoren darstellen. Eine kleinere Menge findet sich auf dem ersten Wochenübungsblatt. Aufgabe 17. (Aussagenlogische Operatoren (2)) Kategorie 5 Wieviele verschiedene aussagenlogische Operatoren mit n Operanden sind denkbar? Hinweis: Suchen Sie alle möglichen Verknüpfungen von n Operanden, so dass es für je zwei Operanden mindestens eine Belegung gibt, so dass diese sich voneinander unterscheiden. Aufgabe 18. (Logik verallgemeinert) Kategorie 6 Können Sie sich eine sinnvolle Logik vorstellen, die mehr Wahrheitswerte kennt als w und f? Kann man noch Operatoren darauf definieren? Könnten Sie sich eine Anwendung vorstellen? Diskutieren Sie! Gruppenaufgabe Aufgabe 19. (Normalformen) Kategorie 6 In der Informatik und Mathematik, gibt es kanonische Formen für Formeln. Wir definieren hierfür Literale: Sei φ ein Atom. Dann sind φ und φ Literale. Definition 1 (Normalform) Seien (l i,j ) Atome und m i natürliche Zahlen. Man sagt, eine Formel ist in konjunktiver Normalform, falls sie eine Konjunkton von Disjunktionen n m i von Literalen ist, also falls sie die Form l i,j hat. Eine Formel ist in disjunktiver i=1 j=1 Normalform, falls sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist, also die n m i Form l i,j hat. i=1 j=1 Kann man alle Formeln in konjunktive bzw. disjunktive Normalform bringen? Wenn ja, geben Sie einen entsprechende Vorgehensweise an, wenn nein, begründen Sie. 13

14 Aufgabe 20. ((R-)Evolution) Kategorie 6 Stellen Sie sich vor, es gäbe keine Logik. (a) Überlegen Sie, welche Konsequenzen jegliches Fehlen von Logik hätte. (b) Sie wollen nun dem ungeordneten Denken, Schließen und Diskutieren ein Ende setzen und mit Logik die Argumentation vereinfachen. Wie würden Sie so eine Logik gestalten? Gruppenaufgabe 14