Teil 7. Grundlagen Logik

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1 Teil 7 Grundlagen Logik

2 Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Alle Pinguine sind schwarz-weiß. Einige alte TV-Shows sind schwarz-weiß. Einige Pinguine sind alte TV-Shows.

3 Warum formal? Automatisierbarkeit! Eine Rechenmaschine für Logik!! G. W. Leibniz ( ):

4 Grundbegriffe der Logik

5 Wie funktioniert Logik?

6 Wie funktioniert Logik? Sätze und Schlussfolgerungen gelb rot süß sauer süß-sauer hellgrün grün giftig

7 Folgerung und Äquivalenz von Sätzen Formal: L := (S,) mit 2 S S Dabei bedeutet für eine Menge S von Sätzen und einen Satz S Aus den Sätzen folgt der Satz oder auch ist eine logische Konsequenz aus. Gilt für zwei Sätze und, dass sowohl {} als auch {}, dann sind diese Sätze (logisch) äquivalent und man schreibt auch.

8 Wie funktioniert Logik? Syntax. Syntax (von grch. Zusammenstellung, Satzbau) erschließt sich über die Frage Was ist ein richtiger Satz? D.h. wie wird die Menge der Sätze einer Logik definiert? Nutzung von Erzeugungsregeln zur Definition (Konstruktion) von wohlgeformten Sätzen, z.b.: Grundelemente: rot gelb grün süß sauer Syntax-Regel: Wenn und Sätze sind, dann auch - Konstruktor oder Junktor süß-sauer

9 Wie funktioniert Logik? Ausdrucksstärke. Tradeoff: Logiken mit vielen Ausdrucksmitteln (Konstruktoren/ Junktoren) sind: komfortabler in der Verwendung (verschiedene und komplexe Sachverhalte sind einfach auszudrücken), aber schwieriger (meta)mathematisch zu handhaben (Beweisen von Eigenschaften der Logik umständlicher). Möglicher Ausweg: Einschränkung der Sätze auf Teilmenge, die für jeden Satz der Logik einen logisch äquivalenten Vertreter enthält (vgl. Normalformen, minimale Junktorenmengen ) und Definition der anderen Sätze/Junktoren als syntactic sugar. Wird eine Logik über dieses Maß hinaus eingeschränkt, erhält man ein Fragment der ursprünglichen Logik mit geringerer Ausdrucksstärke.

10 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie süß sauer süß-sauer hellgrün rot gelb grün giftig

11 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, für die jede Interpretation ein Modell ist, heißen allgemeingültig oder Tautologien (grch.). süß sauer h lb

12 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, für die keine Interpretation ein Modell ist, heißen widersprüchlich oder unerfüllbar (auch: kontradiktorisch). sauer h lb giftig

13 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Sätze, die (mindestens ein) Modell haben, heißen erfüllbar (auch: kontingent). sauer hellgrün lb

14 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie sauer hellgrün lb

15 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie sauer hellgrün grün lb

16 Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie sauer hellgrün grün lb

17 Wie funktioniert Logik? Semantik entlang der Syntax Häufiges Prinzip bei Definition von Interpretationen: Interpretation von Grundelementen wird festgelegt Interpretation von zusammengesetzten (konstruierten) Sätzen wird auf die Interpretation der Teile zurückgeführt, z.b.: Semantik-Regel: Die Modelle von - sind genau die Interpreta- tionen, die Modelle sowohl von als auch von sind. süß-sauer süß sauer

18 Beweistheorie Zurück zu Leibniz: Rechenmaschine für Logik Aber: Möglichkeit, direkt mit allen möglichen Interpretationen zu arbeiten, oft eingeschränkt Daher: Versuch, Schlussfolgerungsrelation durch rein syntaktische Verfahren zu beschreiben/berechnen

19 Entscheidungsverfahren/Entscheidbarkeit n Entscheidungsalgorithmus: input: Menge { 1,, n } von Sätzen und Satz terminiert nach endlicher Zeit output: Ja, falls { 1,, n } Nein sonst Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie entscheidbar. JA/NEIN

20 Aufzählungsverfahren/Semientscheidbarkeit n Aufzählungsverfahren: input: Sätze { 1,, n } output: Sätze, für die gilt { 1,, n } jeder solche Satz wird (irgendwann) ausgegeben Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie semientscheidbar.

21 Deduktionskalkül kann gesehen werden als spezielle Form eines Aufzählungsverfahrens besteht aus Ableitungsregeln, z.b.: {,,,...} -

22 Deduktionskalkül

23 Weitere interessante Eigenschaften von Logiken: Monotonie Kompaktheit Algorithmische Komplexität für Entscheidungsverfahren und jede Menge anderes

24 Aussagenlogik auch: propositionale Logik boolesche Logik schon bei den Stoikern voll ausgearbeitete Junktorenlogik George Boole ( ) An Investigation of the Laws of Thought (1854) syntaktische Grundelemente: atomare Sätze / Propositionen / Aussagen (p, q,, p 1,p 2, ) Können als natürlichsprachliche Aussagen gedacht werden: Es regnet.

25 Aussagenlogik Syntax Erzeugungsregeln für Sätze: alle atomaren Propositionen sind Sätze ( p, q, ) ist ein Satz, dann auch sind und Sätze, dann auch (), (), () und () Klammern können ggf. weggelassen werden; Präzedenzen (bei uns): vor, vor,. Zusätzliche Klammern machen es trotzem oft lesbarer

26 Aussagenlogik Syntax Junktor Name Intuitive Bedeutung Negation Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz nicht und oder wenn dann genau dann, wenn Einfache Aussagen Es regnet. Die Straße wird nass. Die Sonne ist grün Zusammengesetzte Aussagen Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. Wenn es regnet, und die Straße nicht nass wird, dann ist die Sonne grün. Modellierung r n g Modellierung r n (r n) g

27 Aussagenlogik Modelltheoretische Semantik Was sind die Modelle der Aussagenlogik? p q p q p q p p p q q p( p q) p q p q

28 Aussagenlogik Modelltheoretische Semantik Formal: Interpretationen I sind Abbildungen von der Menge der atomaren Propositionen in die Menge {wahr, falsch}, d.h. jeder dieser Propositionen p wird ein Wahrheitswert WW I (p) zugeordnet. Daraus bestimmt man Modelle für zusammengesetzte Sätze über Semantik-Regeln I Modell von genau dann, wenn I kein Modell von I Modell von () genau dann, wenn I Modell von und von I Modell von () genau dann, wenn I Modell von oder von I Modell von () genau dann, wenn I kein Modell von oder I Modell von I Modell von () genau dann, wenn I Modell für jeden oder keinen der beiden Sätze ist.

29 Aussagenlogik Modelltheoretische Semantik Beispiel für Tautologie in der Aussagenlogik. p q p q p q p q p p q p p (tertium non datur) p q p(p q)

30 Aussagenlogik Modelltheoretische Semantik Beispiel für Kontradiktion in der Aussagenlogik. p q p q p q p q p p q p p p q p(p q)

31 Aussagenlogik einige logische Äquivalenzen () () () () () () () () () () () () () () () ()

32 Aussagenlogik Normalformen & vollständige Junktoren aus diesen Äquivalenenzen folgt: zu jeder Formel gibt es eine logisch äquivalente Formel, die nur die Junktoren und enthält. zu jeder Formel gibt es eine Formel in konjunktiver Normalform, d.h. nur einfache Negation direkt vor atomaren Propositionen (sog. Literale) Formel ist Konjunktion von Disjunktionen von Literalen Bsp.: (p q r s) ( p q s) (q r s)

33 Aussagenlogik Entscheidungsalgorithmus Aussagenlogik ist entscheidbar nützliche Eigenschaft dabei: { 1,, n } gilt genau dann, wenn ( 1 n ) eine Tautologie ist Entscheidung, ob Satz Tautologie ist, über Wahrheitswerttabelle im Prinzip: Überprüfung aller Interpretationen (nur die Wahrheitswerte der vorkommenden atomaren Propositionen fallen ins Gewicht)

34 Aussagenlogik Entscheidungsalgorithmus Modus Ponens: { p, p q } q (p(p q)) q p q p q p q p q p q p(p q) (p(p q)) q