Logik für Informatiker

Transkript

1 Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1

2 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische Variable) oder die Negation eines Atoms Logik für Informatiker, SS 06 p.2

3 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische Variable) oder die Negation eines Atoms Definition: Klausel Eine Disjunktion von Literalen mehrstellige Disjunktionen (A B C) einstellige Disjunktionen A die nullstellige Disjunktion (leere Klausel) 0 Logik für Informatiker, SS 06 p.2

4 Konjunktive Normalform Definition: Konjunktive Normalform (KNF) Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln Logik für Informatiker, SS 06 p.3

5 Konjunktive Normalform Definition: Konjunktive Normalform (KNF) Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig Logik für Informatiker, SS 06 p.3

6 Konjunktive Normalform Definition: Konjunktive Normalform (KNF) Eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele (A B) (B C D) A B A (B C) A B 1 Logik für Informatiker, SS 06 p.3

7 Disjunktive Normalform Definition: Disjunktive Normalform (DNF) Eine Disjunktionen von Konjunktionen von Literalen mehrstellig, einstellig oder nullstellig Beispiele (A B) (B C D) A B A (B C) A B 0 Logik für Informatiker, SS 06 p.4

8 Konjunktive und Disjunktive Normalform Eigenschaften Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es eine äquivalente Formel in KNF eine äquivalente Formel in DNF Logik für Informatiker, SS 06 p.5

9 Konjunktive und Disjunktive Normalform Eigenschaften Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es eine äquivalente Formel in KNF eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Logik für Informatiker, SS 06 p.5

10 Konjunktive und Disjunktive Normalform Eigenschaften Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es eine äquivalente Formel in KNF eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Disjunktionen in der KNF entsprechen den Zeilen mit true Konjunktionen in der DNF entsprechen den Zeilen mit false Logik für Informatiker, SS 06 p.5

11 Konjunktive und Disjunktive Normalform Eigenschaften Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es eine äquivalente Formel in KNF eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig Solche Formeln können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden Disjunktionen in der KNF entsprechen den Zeilen mit true Konjunktionen in der DNF entsprechen den Zeilen mit false Solche Formeln können durch Umformungen hergestellt werden Logik für Informatiker, SS 06 p.5

12 Umformung in KNF Vier Schritte Logik für Informatiker, SS 06 p.6

13 Umformung in KNF Vier Schritte 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) Logik für Informatiker, SS 06 p.6

14 Umformung in KNF Vier Schritte 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B A B Logik für Informatiker, SS 06 p.6

15 Umformung in KNF Vier Schritte 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B A B 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A Logik für Informatiker, SS 06 p.6

16 Umformung in KNF Vier Schritte 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B A B 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A 4. Nach innen schieben von Verwende Distributivität von über Logik für Informatiker, SS 06 p.6

17 Umformung in KNF: Beispiel 0. Gegeben B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

18 Umformung in KNF: Beispiel 0. Gegeben B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) 1. Elimination von (B 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

19 Umformung in KNF: Beispiel 0. Gegeben B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) 1. Elimination von (B 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) 2. Elimination von ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) ( (P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

20 Umformung in KNF: Beispiel 0. Gegeben B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) 1. Elimination von (B 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) 2. Elimination von ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) ( (P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) 3. Nach innen schieben von ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) (( P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) Logik für Informatiker, SS 06 p.7

21 Umformung in KNF: Beispiel 0. Gegeben 1. Elimination von 2. Elimination von B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (B 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) ( (P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) 3. Nach innen schieben von ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) (( P 1,2 P 2,1 ) B 1,1 ) 4. Nach innen schieben von ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) ( P 1,2 B 1,1 ) ( P 2,1 B 1,1 ) Logik für Informatiker, SS 06 p.7