Mathematik für Informatiker I

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1 Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft der abstrakten Strukturen und Informatik die Wissenschaft und Kunst der konkreten und abstrakten Datenstrukturen. Wir behandeln verschiedene Teilgebiete der Mathematik. Inhalt der Vorlesung (provisorisch, da ich immer adaptiv vorgehe) Logik - Aussagenlogik - Prädikatenlogik Mengenlehre - Relationen - Funktionen Diskrete Mathematik - Kombinatorik - Graphen und Bäume Dies ist, sehr grob, der Aufbau der Vorlesung. Der Kurs überlappt sich in Teilen mit Themen des Kurses Rechnerstrukturen. Zu dem Themengebiet Logik existiert viel Literatur, z. B. Uwe Schöning, Logik für Informatiker, Spektrum Verlag. Es wird zwei Klausuren geben, jede Woche eine Übung. Die Information dazu kann man der Webseite des Kurses entnehmen. Der Anmeldezeitraum für die Prüfungen wird nächste Woche festgelegt. 1 Aussagenlogik Das Besondere an der Logik ist, dass sie so alt und ehrwẅurdig ist. Bereits seit Aristoteles gelehrt, ist die Logik in der Neuzeit von Mathematikern wie 1

2 Boole, Frege und Hilbert in ein Kalkül verwandelt worden. In der Aussagenlogik behandeln wir konkrete Aussagen, die wir nicht weiter zergliedern. Diese nennen wir die atomare Formeln A 1, A 2, A 3,.... Ausgehend vom Wahrheitswert von elementaren Formeln wollen wir wir den Wahrheitswert von komplexen Formeln ableiten. Die zwei mögliche Wahrheitswerte sind T (true) und F (false) oder, anders geschrieben, 1 und 0. Eine Belegung A ist eine Zuweisung von Wahrheitswerten an Aussagen, z.b.: A(A 1 ) = 1 A(A 2 ) = 0 dabei kanna 1 die Aussage sein Paris ist die Hauptstadt von Deutschland und A 2 die Aussage sein heute ist Dienstag. Eine Formel F kann beide Aussagen konjunktiv verbinden: A 1 und A 2. In unserer Notation verwenden wir zuerst folgende Konstruktoren: und zuzätzlich benutzen wir Klammern als syntaktische Elemente. Klammer werden wir später sparsamer einsetzen. Die Atomaren Formeln A 1, A 2... schreiben wir gelegentlich auch als A, B, C,.... Allgemeine logische Formeln werden folgendermaen rekursiv definiert: Def. Formeln Eine atomare Formel ist eine Formel, Für alle Formeln F und G sind (F G) und (F G) Formeln, Für jede Formel F ist ( F ) eine Formel. 2

3 Beispiele von Formeln: ( A 1 ) ( ( A 1 )) ( (A 1 A 2 )) ( (A 1 A 2 )) A 3 Beispiele von Nicht-Formeln A 1 Die Syntax sagt uns nur, wie man Formeln richtig zusammensetzt. Jetzt gehen wir über zur Semantik. Die Semantik einer Formel ist sein Wahrheitswert. Wie oben gesagt, ist eine Belegung eine logische Funktion, die Formeln einem Wahrheitswert zuweist. Der Wahrheitswert einer Konjunktion kann mit einer Tabelle angegeben werden. Jede Zeile der Tabelle entspricht eine andere Belegung der atomaren Formeln A 1 und A 2. Die Reihenfolge der Zeilen ist beliebig. A(A 1 ) A(A 2 ) A(A 1 AA 2 ) Die Wahrheitswertetabelle für die Disjunktion ist folgende: A(A 1 ) A(A 2 ) A(A 1 A 2 ) Und für die Negation haben wir: 3

4 A(A 1 ) A( A 1 ) Wir können jetzt den Wahrheitswert von komplexeren Formeln rechnen. Zum Beispiel: für die Formel F = A (( (A 1 A 2 )) A 3 ) unter der Belegung A(A 1 ) = 1 A(A 2 ) = 0 A(A 3 ) = 1 A ist eine zu F passende Belegung. Die Belegung ist passend, weil alle notwendige Daten für die Ermittlung des Wahrheitswertes der Formel vorliegen, d.h. weil alle in der Formel vorhandene atomaren Variablen abgedeckt sind. F = (( (A 1 A 2 )) A }{{}}{{} 3 F 1 F 2 ) F 1 und F 2 nennen wir Teilformeln der Formel F. Es ist klar, dass 1 falls A(F 1 ) = 1 A(F ) = A(F 1 F 2 ) = oder A(F 2 ) = 1 0 sonst Da A(F 2 ) = A(A 3 ) = 1, dann wissen wir sofort, dass A(F ) = 1 ohne, dass wir A( (A 1 A 2 )) noch rechnen müssen. Wir können dieselbe Formel mit einer Wahrheitstafel analysieren. A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) F

5 Diese Tabelle deckt alle Fälle ab. Eine für uns wichtige Frage ist, wieviele unterschiedliche logische Funktionen von zwei Argumenten es gibt. Folgende Tabelle deckt alle möglichen logischen Funktionen von zwei Argumenten. Die Argumente sind A 1 und A 2 A 1 A 2 0 NOR F 2 XOR NAND T