Logik für Informatiker

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Juliane Gerstle
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1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1

2 Bis jetzt Grundlegende Beweisstrategien Induktion über die natürlichen Zahlen / Fehlerquellen Strukturelle Induktion 2

3 Bis jetzt Grundlegende Beweisstrategien Induktion über die natürlichen Zahlen / Fehlerquellen Strukturelle Induktion Jetzt: Aussagenlogik Beispiele 3

4 Beispiel: Logisches Puzzle Lediglich eine dieser drei Personen sagt die Wahrheit, die anderen beiden lügen. Kannst du anhand ihrer Aussagen herausfinden, wer die Wahrheit sagt? A: Ich lüge nicht. B: A lügt. C: B lügt. 4

5 Beispiel: Das 8-Damen Problem Man platziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich gegenseitig nicht bedrohen. 5

6 Beispiel: Das 8-Damen Problem Man platziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich gegenseitig nicht bedrohen. 6

7 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beschreibung des Problems Für jedes Feld des Schachbretts eine aussagenlogische Variable D ij 7

8 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beschreibung des Problems Für jedes Feld des Schachbretts eine aussagenlogische Variable D ij Mit der Vorstellung, dass D ij den Wert wahr hat, wenn auf dem Feld (i,j) eine Dame steht. Wir benutzen kartesische Koordinaten zur Notation von Positionen 8

9 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij Falls auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht: keine andere Dame auf Feld (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),(5,5), (5,6), (5,8) keine andere Dame auf Feld (1,7), (2,7), (3,7), (4,7),(6,7), (7,7), (8,7) keine andere Dame auf Feld (6,8), (4,6), (3,5), (2,4),(1,3) keine andere Dame auf Feld (4,8), (6,6), (7,5), (8,4) (ähniche Bedingungen für alle Felder (i, j)). 9

10 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij Falls auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht: keine andere Dame auf Feld (5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 keine andere Dame auf Feld (1,7), (2,7), (3,7), (4,7),(6,7), (7,7), (8,7) keine andere Dame auf Feld (6,8), (4,6), (3,5), (2,4),(1,3) keine andere Dame auf Feld (4,8), (6,6), (7,5), (8,4) (ähniche Bedingungen für alle Felder (i, j)). 10

11 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij Falls auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht: keine andere Dame auf Feld (5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 keine andere Dame auf Feld (1,7), (2,7), (3,7), (4,7),(6,7), (7,7), (8,7) D 57 D 17 D 2,7 D 3,7 D 4,7 D 6,7 D 7,7 D 87 keine andere Dame auf Feld (6,8), (4,6), (3,5), (2,4),(1,3) keine andere Dame auf Feld (4,8), (6,6), (7,5), (8,4) (ähniche Bedingungen für alle Felder (i, j)). 11

12 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij Falls auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht: keine andere Dame auf Feld (5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 keine andere Dame auf Feld (1,7), (2,7), (3,7), (4,7),(6,7), (7,7), (8,7) D 57 D 17 D 2,7 D 3,7 D 4,7 D 6,7 D 7,7 D 87 keine andere Dame auf Feld (6,8), (4,6), (3,5), (2,4),(1,3) D 57 D 68 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 keine andere Dame auf Feld (4,8), (6,6), (7,5), (8,4) D 57 D 48 D 6,6 D 7,5 D 8,4 (ähniche Bedingungen für alle Felder (i, j)). 12

13 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 D 57 D 17 D 2,7 D 3,7 D 4,7 D 6,7 D 7,7 D 87 D 57 D 68 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 D 57 D 48 D 6,6 D 7,5 D 8,4 } {{ } F 57 (ähniche Bedingungen F ij für alle Felder (i,j)). 13

14 Beispiel: Das 8-Damen Problem Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame D 57 wahr. Einschränkungen pro Feld: F ij D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 D 57 D 17 D 2,7 D 3,7 D 4,7 D 6,7 D 7,7 D 87 D 57 D 68 D 4,6 D 3,5 D 2,4 D 1,3 D 57 D 48 D 6,6 D 7,5 D 8,4 } {{ } F 57 Globale Einschränkungen Für jedes k mit 1 k 8: R k := D 1,k D 2,k D 3,k D 4,k D 5,k D 6,k D 7,k D 8,k 14

15 Beispiel: Das 8-Damen Problem Struktur: Wahrheitswerte für die atomaren Aussagen D ij Modell für F ij (R k ): Wahrheitswerte für die atomaren Aussagen D ij so dass F ij wahr (bzw. R k wahr). Lösung des 8-Damen Problems: Eine aussagenlogische Struktur beschreibt eine Lösung des 8-Damen- Problems genau dann, wenn sie ein Modell der Formeln ist. F ij für alle 1 i,j 8 R k für alle 1 k 8 15

16 Formale Logik Syntax welche Formeln? Semantik Modelle (Strukturen) Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)? Deduktionsmechanismus Ableitung neuer wahrer Formeln 16

17 Aussagenlogik Die Welt besteht aus Fakten die wahr oder falsch sein können. 17

18 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen Symbol für die Formel wahr (Formel, die immer wahr ist) Symbol für die Formel falsch (Formel, die immer falsch ist) 18

19 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen Symbol für die Formel wahr Symbol für die Formel falsch Negationssymbol ( nicht ) 19

20 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen Symbol für die Formel wahr Symbol für die Formel falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) 20

21 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen Symbol für die Formel wahr Symbol für die Formel falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern 21

22 Vokabular der Aussagenlogik Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P 0,...,P n } oder Π = {P 0,P 1,...} 22

23 Vokabular der Aussagenlogik Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P 0,...,P n } oder Π = {P 0,P 1,...} Bezeichnungen für Symbole in Π atomare Aussagen Atome Aussagenvariablen 23

24 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For Π der Formeln über Π: Die kleinste Menge mit: For Π und For Π 24

25 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For Π der Formeln über Π: Die kleinste Menge mit: For Π und For Π Π For Π 25

26 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For Π der Formeln über Π: Die kleinste Menge mit: For Π und For Π Π For Π Wenn F,G For Π, dann auch F,(F G),(F G),(F G),(F G) Elemente von For Π. 26

27 Aussagenformeln For Π Menge der Formeln über Π: F,G,H ::= (Falsum) (Verum) P, P Π (atomare Formel) F (Negation) (F G) (Konjunktion) (F G) (Disjunktion) (F G) (Implikation) (F G) (Äquivalenz) 27

28 Konventionen zur Notation Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen: > p > p > p > p (Präzedenzen), und sind assoziativ und kommutativ, 28

29 Konventionen zur Notation Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen: > p > p > p > p (Präzedenzen), und sind assoziativ und kommutativ, Beispiele: Π = {P,Q,R}, P, Q, P Q, (P ( R )) sind Formeln Wir schreiben P Q R statt (P Q) R. 29

30 Beispiel: 8-Damenproblem Aussagenlogische Variablen D i,j bedeutet: Auf dem Feld (i,j) steht eine Dame. 30

31 Beispiel: 8-Damenproblem Aussagenlogische Variablen D i,j bedeutet: Auf dem Feld (i,j) steht eine Dame. Formeln Wenn auf dem Feld (5,7) eine Dame steht, kann keine Dame auf Feld (5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) stehen : D 57 D 58 D 5,6 D 5,5 D 5,4 D 5,3 D 5,2 D 5,1 31

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