Wort, Bild und Aktion.

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1 Wort, Bild und Aktion. Repräsentationsformen mathematischen Wissens und das Lernen von Mathematik. Universität Essen, 11. Mai 2009 Barbara Schmidt-Thieme AG Mathematik Lehren und Lernen Institut für Mathematik und Angewandte Informatik Universität Hildesheim 1

2 Steineschieben oder Mathematik? n Formel (Wort): n N: i=1 i= n n+1 2 Für alle natürlichen Zahlen gilt, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich der Hälfte des Produkts von n mit n+1 ist. Bild: Aktion: Legen und Verschieben der Steine 2

3 1. Repräsentationsformen Wort, Bild und Aktion Enaktive, ikonische und symbolische J. Bruner: Repräsentationsformen Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden. 3

4 1. Repräsentationsformen enaktive Repräsentationsformen ikonische Repräsentationsformen symbolische Repräsentationsformen Zeichen Bezeichnetes Zeichenbenutzer semiotisches Dreieck 4

5 1. Repräsentationsformen enaktive RF: Handlungen, Bewegungen z. B. Addition in Winkelsumme im Dreieck ikonische RF symbolische RF N Z 5

6 1. Repräsentationsformen enaktive RF: Handlungen, Bewegungen ikonische RF: visuell räumlich visuell graphisch realistische Bilder analoge Bilder logische Bilder symbolische RF (Schnotz 1994ff, Koerber 2003, Felbrich 2005, Vogel 2006) 6

7 1. Repräsentationsformen enaktive RF: Handlungen, Bewegungen ikonische RF: visuell räumlich visuell graphisch (realistische, analoge, logische Bilder) symbolische RF: Sprache, formale Sprache der Mathematik 7

8 1. Repräsentationsformen enaktive RF: Handlungen, Bewegungen ikonische RF: visuell räumlich visuell graphisch (realistische, analoge, logische Bilder) symbolische RF: Alltagssprache Fachsprache der Mathematik Formale Sprachen (Schmidt-Thieme 2003ff) 8

9 1. Repräsentationsformen Die Fachsprache der Mathematik ist eine Varietät der deutschen Sprache, die über ihre Funktion bestimmt wird, nämlich die möglichst wertfreie Erkenntnis, genaue Darstellung und fehlerfreie Vermittlung fachlicher Kenntnisse. (Roelcke, Fachsprachen 1999) English language system Technical language Fachsprache der Mathematik Funktionale Varietà ten (Schmidt-Thieme 2004) System der deutschen Sprache: Gesamtheit aller mã glichen Varianten 9

10 1. Repräsentationsformen Verbindlichkeit Fachlichkeitsgrad Laie Lernender Experte Mathematiker Nichtwissenschaftler Wissenschaftler Expertenstatus Verwendungsarten Buch Aufsatz Vortrag Prüfungsgesprà ch Kongressvortrag Rezension Zweidimensionales Fachsprachen- Gliederungsschema (Schmidt-Thieme 2005) Zeitung Film Diskussion Laie Lernender Experte Mathematiker Nichtwissenschaftler Wissenschaftler Expertenstatus 10

11 1. Repräsentationsformen enaktive RF: Handlungen, Bewegungen ikonische RF: visuell räumlich visuell graphisch (realistische, analoge, logische Bilder)? animiert, interaktiv, dynamisch? (Neue Medien) symbolische RF: Alltagssprache, Fachsprache Mathematik, formale Sprachen 11

12 1. Repräsentationsformen Bsp. Q enaktive RF: Torten, Pizzen, Äpfel aufteilen ikonische RF: symbolische RF: Hälfte einhalb [ 1,2 ]={ m,n Z Z {0 }mit m,n ~ 1,2 2m =n } ,5 null komma fünf 12

13 1. Repräsentationsformen Symbolische Repräsentationsformen für Bruchzahlen a/b mit a, b aus Z Name Bezeichnung der Repräsentationsform Bruch(schreibweise) 5/4 10/8 gemeiner, konkreter Bruch 5/4 unechter Bruch 1,25 Dezimalbruch, -zahl Dezimalschreibweise 1 ¼ gemischter Bruch, gemischte Zahl 13

14 1. Repräsentationsformen Zuordnung einer Repräsentationsform zu einer Kategorie Bestimmung der Salienzen und Restriktionen (Handlungen/Manipulationen, die bei RF (nicht) möglich sind) Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis zum angestrebten mathematischen Begriff, Äquivalenz der Zeichen 14

15 2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen Reelle Zahlen: 0 1 ½ 2 2 = 1, Irrationale Zahlen: Dezimalentwicklung ist nicht abbrechend, nicht periodisch Bruchschreibweise: gibt es nicht! 15

16 2. Beispiele (a) Irrationale Zahlen Reelle Zahlen: 2 = 1, Irrationale Zahlen: Dezimalentwicklung ist nicht abbrechend, nicht periodisch Kettenbruch Intervallschachtelung I n := [r n,s n ] 1 2= mit s n := 1 2 a n 1 2 a n 1 r n := 2 s n 16

17 2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen Reelle Zahlen: 2 = 1, Ikonisch: inkommensurabel, kein gemeinsames Maß m Wechselwegnahme endet nicht m 17

18 2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen Reelle Zahlen: Goldener Schnitt Ikonisch: Im Pentagramm gilt (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke): Diagonale : Seite = Seite : (Diagonale -Seite) Kettenbruch d s = s d s = d s =

19 2. Beispiele: (b) Beweis Satz: n n N: i= n n+1 I=1 2 Beispiel: Beweis: mittels vollständiger Induktion I.-Anfang: I.-Schritt: 1 n=1 : i= I=1 2 Angenommen, die Aussage ist wahr für n. Dann kann man folgern: n+ n+1 = n n+1 n+1 = 2 n n+1 2 n+1 n+2 n+1 n+1 n+2 = =

20 3.... und das Lernen von Mathematik Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden. (Bruner) Funktionen bzw. Bedeutung der Repräsentationsformen für den Wissenserwerb, als Medium zur Informationsgewinnung Salienz, Restriktion des einzelnen Repräsentationsform Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis zum angestrebten mathematischen Begriff, Äquivalenz der Zeichen (Wechsel des Repräsentationssystems) 20

21 3.... und das Lernen von Mathematik Stufen des Verstehens mathematischer Begriffe und Sachverhalte Begriff als Bsp. Geometrie intuitives Verständnis Phänomen räumlich-anschauungsgebunden inhaltliches Verständnis Träger von analysierend Eigenschaften integriertes Verständnis Teil eines abstrahierend Begriffnetzes formales Verständnis Objekt zum schlussfolgernd Operieren kritisches Verständnis Entität axiomatisch (Vollrath 1994) (Van Hiele 1967) 21

22 3.... und das Lernen von Mathematik Zuordnung Repräsentationsformen zu Stufen des Verstehens Stufen Repräsentationsform intuitives Verständnis räumlich- enaktiv? Phänomen anschauungsg. inhaltliches Verständnis analysierend real. Bilder? Eigenschaften analoge Bilder? integriertes Verständnis abstrahierend logische Bilder? Begriffsnetz Alltagssprache? formales Verständnis schlussfolgernd Fachsprache? Operieren kritisches Verständnis axiomatisch formale Sprache? 22

23 3.... und das Lernen von Mathematik Zuordnung Repräsentationsformen zu Stufen des Verstehens Stufen intuitives Verständnis Phänomen enaktiv? inhaltliches Verständnis real. Bilder? Eigenschaften analoge Bilder? integriertes Verständnis logische Bilder? Begriffsnetz Alltagssprache? formales Verständnis Operieren kritisches Verständnis Fachsprache? formale Sprache? Repräsentationsform n n N: i= n n+1 I=1 2 23

24 3.... und das Lernen von Mathematik mehrmachen, Tauschaufgabe Bezeichnetes Operation, kommutativ Bezeichnetes Zeichen + dazutun Zeichenbenützer Schüler, 1. Klasse Zeichen + addieren Zeichenbenützer Schüler, 5. Klasse Verknüpfung, Gruppe Bezeichnetes Zeichen (Z, + ) Zeichenbenützer Studierende 24

25 3.... und das Lernen von Mathematik Kompetenzen des Lernenden: Zuordnung einer Repräsentationsform zu einer Kategorie Wissen um die Salienzen und Restriktionen Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis zum angestrebten mathematischen Begriff Wechsel der Repräsentationsformen unter Beobachtung der Äquivalenz der Zeichen Beim Lernen ist die Veränderung des mentalen Konzepts immer verbunden mit einer Veränderung des Zeichenvorrats und dessen Nutzung. 25

26 3.... und das Lernen von Mathematik Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden. (Bruner)... und das Lehren von Mathematik Kenntnis, welche Salienzen welcher Repräsentationsformen in welcher Entwicklungsstufe effizient genutzt werden können Einführung neuer Repräsentationsformen Initiierung des Wechsel von Repräsentationsformen durch den Lernenden 26