Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln

Transkript

1 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge For Σ der Formeln über Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.10

2 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge For Σ der Formeln über Σ Die kleinste Menge mit: Atom Σ For Σ 1 For Σ und 0 For Σ Wenn A, B For Σ, dann auch A, (A B), (A B), (A B), (A B) in For Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.10

3 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge For Σ der Formeln über Σ Die kleinste Menge mit: Atom Σ For Σ 1 For Σ und 0 For Σ Wenn A, B For Σ, dann auch A, (A B), (A B), (A B), (A B) in For Σ Wenn A For Σ und x Var, dann xa, xa in For Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.10

4 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel Logik für Informatiker, SS 06 p.11

5 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel bruder( kingjohn, richard ) bruder( richard, kingjohn ) Logik für Informatiker, SS 06 p.11

6 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel bruder( kingjohn, richard }{{}}{{}}{{} Prädikat Term Term ) bruder( richard, kingjohn }{{}}{{}}{{} Prädikat Term Term ) Logik für Informatiker, SS 06 p.11

7 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel bruder( kingjohn, richard ) }{{}}{{}}{{} Prädikat Term Term } {{ } Atom bruder( richard, kingjohn ) }{{}}{{}}{{} Prädikat Term Term } {{ } Atom Logik für Informatiker, SS 06 p.11

8 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel bruder( kingjohn, richard ) }{{}}{{}}{{} Prädikat Term Term bruder( richard, kingjohn ) }{{}}{{}}{{} Prädikat Term Term } {{ } } {{ } } Atom {{ Atom } Komplexe Formel Logik für Informatiker, SS 06 p.11

9 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau x }{{} Variable (studiertin(x, koblenz ) schlau(x )) }{{} Formel (Skopus) } {{ } Formel Logik für Informatiker, SS 06 p.12

10 Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Beispiel Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau x }{{} Variable (studiertin(x, koblenz ) schlau(x )) }{{} Formel (Skopus) } {{ } Formel Jemand, der in Landau studiert ist schlau x }{{} Variable (studiertin(x, landau) schlau(x )) }{{} Formel (Skopus) } {{ } Formel Logik für Informatiker, SS 06 p.12

11 Freie und gebundene Variablen Definition: Freie / gebundene Variable Ein Vorkommen einer Variablen x heißt gebunden, wenn sie im Skopus einer Quantifizierung x / x ist frei sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.13

12 Freie und gebundene Variablen Definition: Freie / gebundene Variable Ein Vorkommen einer Variablen x heißt gebunden, wenn sie im Skopus einer Quantifizierung x / x ist frei sonst Beispiel p(z) x (q(x, z) z r(y, z)) x gebunden y frei z frei und gebunden (sollte vermieden werden!) Logik für Informatiker, SS 06 p.13

13 Semantik der Prädikatenlogik Definition: Prädikatenlogisches Modell (Interpretation) Paar U, A mit Logik für Informatiker, SS 06 p.14

14 Semantik der Prädikatenlogik Definition: Prädikatenlogisches Modell (Interpretation) Paar U, A mit U: eine nicht-leere Menge (Universum) Logik für Informatiker, SS 06 p.14

15 Semantik der Prädikatenlogik Definition: Prädikatenlogisches Modell (Interpretation) Paar U, A mit U: eine nicht-leere Menge (Universum) A: eine Interpretationsfunktion sie interpretiert Variablen: durch ein Element des Universums Prädikate: durch eine Relation auf dem Universum (mit passender Stelligkeit) Funktionen: durche eine Funktion auf dem Universium (mit passender Stelligkeit) Logik für Informatiker, SS 06 p.14

16 Semantik der Prädikatenlogik Bemerkungen Im allgemeinen ist das Universum U einen prädikatenlogischen Modells unendlich Logik für Informatiker, SS 06 p.15

17 Semantik der Prädikatenlogik Bemerkungen Im allgemeinen ist das Universum U einen prädikatenlogischen Modells unendlich Auch schon für ein endliches U gibt es eine riesige Zahl verschiedener Modelle Logik für Informatiker, SS 06 p.15

18 Semantik der Prädikatenlogik Notation I = U, A ein prädikatenlogisches Modell Dann s I für A(s) Logik für Informatiker, SS 06 p.16

19 Semantik der Prädikatenlogik Gegeben ein prädikatenlogisches Modell I Definition: Semantik eines Terms t Element I(t) aus U, das rekursiv definiert ist durch Logik für Informatiker, SS 06 p.17

20 Semantik der Prädikatenlogik Gegeben ein prädikatenlogisches Modell I Definition: Semantik eines Terms t Element I(t) aus U, das rekursiv definiert ist durch t = x eine Variable: t = c eine Konstante: I(t) = x I I(t) = c I Logik für Informatiker, SS 06 p.17

21 Semantik der Prädikatenlogik Gegeben ein prädikatenlogisches Modell I Definition: Semantik eines Terms t Element I(t) aus U, das rekursiv definiert ist durch t = x eine Variable: t = c eine Konstante: I(t) = x I I(t) = c I t = f (t 1,..., t n ): I(t) = f I (I(t 1 ),..., I(t n )) Logik für Informatiker, SS 06 p.17

22 Semantik der Prädikatenlogik Gegeben ein prädikatenlogisches Modell I Definition: Semantik einer Formel Semantik I(F) einer Formel F in einem Modell I ist einer der Wahrheitswerte true und false Logik für Informatiker, SS 06 p.18

23 Semantik der Prädikatenlogik Gegeben ein prädikatenlogisches Modell I Definition: Semantik einer Formel Semantik I(F) einer Formel F in einem Modell I ist einer der Wahrheitswerte true und false I(1) = true I(0) = false I(p(t 1,..., t n ) = p I (I(t 1 ),..., I(t n )) Logik für Informatiker, SS 06 p.18

24 Semantik der Prädikatenlogik und (wie in der Aussagenlogik): false falls I(F) = true I( F) = true falls I(F) = false Logik für Informatiker, SS 06 p.19

25 Semantik der Prädikatenlogik und (wie in der Aussagenlogik): true falls I(F) = true und I(G) = true I(F G) = false sonst I(F G) = true falls I(F) = true oder I(G) = true false sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.20

26 Semantik der Prädikatenlogik und (wie in der Aussagenlogik): true falls I(F) = false oder I(G) = true I(F G) = false sonst I(F G) = true falls I(F) = I(G) false sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.21

27 Semantik der Prädikatenlogik und zusätzlich: I( xf) = true falls I x/d (F) = true für alle d U false sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.22

28 Semantik der Prädikatenlogik und zusätzlich: I( xf) = true falls I x/d (F) = true für alle d U false sonst I( xf) = true falls I x/d (F) = true für mindestens ein d U false sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.22

29 Semantik der Prädikatenlogik und zusätzlich: I( xf) = true falls I x/d (F) = true für alle d U false sonst I( xf) = true falls I x/d (F) = true für mindestens ein d U false sonst Notation I x/d identisch mit I mit der Ausnahme, dass x I x/d = d Logik für Informatiker, SS 06 p.22

30 Universelle Quantifizierung Intuition xf entspricht in etwa der (unendlichen) Konjunktion aller Instanzen von F Logik für Informatiker, SS 06 p.23

31 Universelle Quantifizierung Intuition xf entspricht in etwa der (unendlichen) Konjunktion aller Instanzen von F Beispiel x (studiertin(x, koblenz ) schlau(x )) entspricht studiertin(student1, koblenz) schlau(student1) studiertin(student2, koblenz) schlau(student2) studiertin(koblenz, koblenz) schlau(koblenz)... Logik für Informatiker, SS 06 p.23

32 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Logik für Informatiker, SS 06 p.24

33 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Logik für Informatiker, SS 06 p.24

34 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel Richtig: x (studiertin(x, koblenz) schlau(x)) Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau Logik für Informatiker, SS 06 p.24

35 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel Richtig: Falsch: x (studiertin(x, koblenz) schlau(x)) Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau x (studiertin(x, koblenz) schlau(x)) Alle studieren in Koblenz und sind schlau, d.h., Alle studieren in Koblenz und alle sind schlau Logik für Informatiker, SS 06 p.24

36 Existenzielle Quantifizierung Intuition xf entspricht in etwa der (unendlichen) Disjunktion aller Instanzen von F Logik für Informatiker, SS 06 p.25

37 Existenzielle Quantifizierung Intuition xf entspricht in etwa der (unendlichen) Disjunktion aller Instanzen von F Beispiel x (studiertin(x, landau) schlau(x )) entspricht studiertin(student1, landau) schlau(student1) studiertin(student2, landau) schlau(student2) studiertin(landau, landau) schlau(landau)... Logik für Informatiker, SS 06 p.25

38 Existenzielle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Logik für Informatiker, SS 06 p.26

39 Existenzielle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Logik für Informatiker, SS 06 p.26

40 Existenzielle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel Richtig: x (studiertin(x, landau) schlau(x)) Es gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Logik für Informatiker, SS 06 p.26

41 Existenzielle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel Richtig: x (studiertin(x, landau) schlau(x)) Es gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Falsch: x (studiertin(x, landau) schlau(x)) Es gibt jemanden, der, falls er/sie in Landau studiert, schlau ist Trivial wahr, wenn es irgendjemanden gibt, der nicht in Landau studiert Logik für Informatiker, SS 06 p.26

42 Eigenschaften von Quantoren Quantoren gleicher Art kommutieren x y ist das gleiche wie y x x y ist das gleiche wie y x Logik für Informatiker, SS 06 p.27

43 Eigenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT x y ist nicht das gleiche wie y x Logik für Informatiker, SS 06 p.28

44 Eigenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT x y ist nicht das gleiche wie y x Beispiel x y loves(x, y) Es gibt eine Person, die jeden Menschen in der Welt liebt (einschließlich sich selbst) y x loves(x, y) Jeder Mensch wird von mindestens einer Person geliebt (Beides hoffentliche wahr aber verschieden: das erste impliziert das zweite aber nicht umgekehrt) Logik für Informatiker, SS 06 p.28

45 Eigenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT x y ist nicht das gleiche wie y x Beispiel x y mutter(y, x) Jeder hat eine Mutter (richtig) y x mutter(y, x) Es gibt eine Person, die die Mutter von jedem ist (falsch) Logik für Informatiker, SS 06 p.29

46 Eigenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... x... ist das gleiche wie x... Logik für Informatiker, SS 06 p.30

47 Eigenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... x... ist das gleiche wie x... Beispiel x mag(x, eiskrem) ist das gleiche wie x mag(x, eiskrem) x mag(x, broccoli) ist das gleiche wie x mag(x, broccoli) Logik für Informatiker, SS 06 p.30

48 Eigenschaften von Quantoren distributiert über x (......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Logik für Informatiker, SS 06 p.31

49 Eigenschaften von Quantoren distributiert über x (......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel x (studiert(x) arbeitet(x)) ist das gleiche wie ( x studiert(x)) ( x arbeitet(x)) Logik für Informatiker, SS 06 p.31

50 Eigenschaften von Quantoren distributiert über x (......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Logik für Informatiker, SS 06 p.32

51 Eigenschaften von Quantoren distributiert über x (......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist das gleiche wie ( x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) Logik für Informatiker, SS 06 p.32

52 Eigenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x (......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Logik für Informatiker, SS 06 p.33

53 Eigenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x (......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist NICHT das gleiche wie ( x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) Logik für Informatiker, SS 06 p.33

54 Eigenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x (......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Logik für Informatiker, SS 06 p.34

55 Eigenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x (......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel x (gerade(x) ungerade(x)) ist NICHT das gleiche wie ( x gerade(x)) ( x ungerade(x)) Logik für Informatiker, SS 06 p.34

56 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y (bruder(x, y) geschwister(x, y)) Logik für Informatiker, SS 06 p.35

57 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y (bruder(x, y) geschwister(x, y)) bruder ist symmetrisch x y (bruder(x, y) bruder(y, x)) Logik für Informatiker, SS 06 p.35

58 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y (bruder(x, y) geschwister(x, y)) bruder ist symmetrisch x y (bruder(x, y) bruder(y, x)) Mütter sind weibliche Elternteile x y (mutter(x, y) (weiblich(x) elter(x, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.35

59 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y (bruder(x, y) geschwister(x, y)) bruder ist symmetrisch x y (bruder(x, y) bruder(y, x)) Mütter sind weibliche Elternteile x y (mutter(x, y) (weiblich(x) elter(x, y))) Ein Cousin ersten Grades ist das Kind eines Geschwisters eines Elternteils x y (cousin1(x, y) p ps (elter(p, x) geschwister(ps, p) elter(ps, y))) Logik für Informatiker, SS 06 p.35