Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle

Transkript

1 smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer

2 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: , Uhr, Audimax Anmeldung über die Prüfungsämter! Lehramt, Schüler(innen): Anmeldung per bis Hausaufgaben Alle Namen und Matrikelnummern auf jeden Zettel Alle Aufgaben auf separate Blätter Nicht tackern oder zusammenheften!

3 Wiederholung Syntax der Prädikatenlogik Sprachelemente Terme Formeln Variablen Funktionssymbole Prädikate logische Konnektoren (Operatoren) Quantoren

4 Wiederholung Semantik der Prädikatenlogik Interpretationsstruktur S α = (U α,i α ) Universum U α Interpretation I α Variablenbelegung Modell: S α F, falls I α (F) = 1 Erfüllbarkeit Gültigkeit: F

5 Wiederholung Weitere Grundbegriffe Gebundene vs. freie Variablen Äquivalenzumformungen Substitution Gebundenes Umbenennen

6 Übersicht Übersicht Intro Normalformen Resolution Zusammenfassung

7 Motivation Wozu Normalformen? Ziel: Klauseldarstellung für spätere Resolution Weg: Pränexform bereinigte Pränexform Skolemform KNF Wichtig: Beibehaltung der Erfüllbarkeitsäquivalenz (Definition folgt später)

10 Pränexform Pränexform Ziel: Normalisierung der Quantorenvorkommen Pränexform: Alle Quantoren vorne Q 1 y 1 Q 2 y 2...Q n y n M Präfix: Q 1 y 1 Q 2 y 2...Q n y n Matrix: quantorenfreie Formel M Matrix zu Formel F: F

13 Pränexform Bereinigte Pränexform Gegeben: Formel F kann u.a. beliebige freie Variablen, Quantoren, Operatoren in beliebiger, syntaktisch zulässiger Form enthalten Ziel: Pränexform, in der jeder Quantor die gleichen Variablenvorkommen bindet wie in F Zur Klauselform müssen dann nur noch die Quantoren eliminiert und die KNF gebildet werden

16 Pränexform Erzeugung der bereinigten Pränexform 1. Reduktion der Operatoren aus und mache,, Negationen nach innen 2. Bereinigung der Variablen verschiedene Quantoren binden verschiedene Variablen freie Variablen haben andere Namen als gebundene Variablen 3. Quantoren nach vorne Äquivalenzumformungen Existenzabschluss für freie Variablen

19 Skolemform Skolemform Gegeben: Formel F in bereinigter Pränexform Ziel: Eliminierung der Existenzquantoren unter Beibehaltung der Erfüllbarkeitsäquivalenz Weg: Aus F = x 1... x n y Q 1 z 1...Q m z m M mache F = x 1... x n Q 1 z 1...Q m z m M[y/f(x 1...x n )] mit f neues Funktionssymbol... wiederhole, bis alle eliminiert

23 Skolemform Erfüllbarkeitsäquivalenz Definition Zwei Formeln F und F heißen erfüllbarkeitsäquivalent, wenn gilt: F ist erfüllbar g.d.w. F erfüllbar ist, und F ist unerfüllbar g.d.w. F unerfüllbar ist Gegeben: Skolemform F S zu bereinigter Pränexform F P Dann gilt: F S und F P sind erfüllbarkeitsäquivalent

26 Skolemform Erzeugung der Klauselform Gegeben: Formel F S in Skolemform F S = x 1... x n M S Ziel: Klauselmenge für Resolution Weg: 1. weglassen ergibt quantorenfreie Matrix M S 2. umformen von M S in KNF 3. Klauselmenge

32 Grundresolution Aussagenlogische Resolution Resolution mit Literalen Literal L ist entweder Aussagenvariable oder Negation davon: entweder A oder A Jedes Literal hat eindeutigen Wahrheitswert unter Belegung β

33 Grundresolution Prädikatenlogische Resolution: Problem Prädikatenlogik: Resolution mit...? Literal L ist entweder n-stelliges Prädikat P angewendet auf n Terme t i, oder Negation davon: entweder P(t 1,...,t n ), oder P(t 1,...,t n ) Problem: Terme können Variablen enthalten Wahrheitswert eines Literals abhängig von Variablen, Quantoren und Prädikaten!

34 Grundresolution Prädikatenlogische Resolution: Problem Prädikatenlogik: Resolution mit...? Literal L ist entweder n-stelliges Prädikat P angewendet auf n Terme t i, oder Negation davon: entweder P(t 1,...,t n ), oder P(t 1,...,t n ) Problem: Terme können Variablen enthalten Wahrheitswert eines Literals abhängig von Variablen, Quantoren und Prädikaten!

35 Grundresolution Prädikatenlogische Resolution: Idee Betrachte Skolemnormalform F S zu Formel F Implizit: Allquantoren ( ) Wenn wenigstens eine Instanz von F S unerfüllbar ist, dann ist auch F unerfüllbar (Semantik von ). Ersetze alle Variablen in F S durch variablenfreie Terme Wahrheitswert eines Literals L hängt nur noch von der Interpretation der Prädikate ab Wie bei Aussagenlogik Resolution möglich

42 Grundresolution Herbrand-Universum Jacques Herbrand ( ) Bilde alle variablenfreien Terme aus der syntaktischen Form einer Formel, d.h. aus Konstanten a,b,... und Funktionssymbolen f 1,g 2,... Herbrand-Universum H α = {a,b,...,f(a),g(a,a),...,f(g(a,a),g(f(a),f(a)),...} Wichtig: Herbrand-Universum ist aufzählbar

43 Grundresolution Definition Herbrand-Universum Gegeben: Formel F in Skolemform Das Herbrand-Universum H α zu F enthält alle in F vorkommenden Konstanten falls F keine Konstante enthält, dann enthält H α das nullstellige Funktionssymbol c außerdem jeweils den Term f(t 1,t 2,...,t n ) für jedes n-stellige Funktionssymbol f und Terme t 1,t 2,...,t n aus H α

44 Grundresolution Herbrand-Interpretation Gegeben: Formel F in Skolemform und dazugehöriges Herbrand-Universum H α Die Herbrand-Interpretation I α zu F und H α ist für Konstanten und Funktionssymbole die Identitätsabbildung für Prädikate der Stelligkeit n jeweils eine Funktion I α : P P α Hα n P α : Menge der n-stelligen Relationen über H α d.h. für Relation R P α und t 1,...,t n H α ist R(t 1,...,t n ) {0,1} Eine Formel F heißt grund-instanziiert, wenn alle Variablen in F durch Terme aus H α ersetzt wurden.

45 Grundresolution Vokabular Grundinstanz einer Formel F: eine konkrete grund-instanziierte Form von F Grundsubstitution: Substitution, die aus F eine Grundinstanz erzeugt Grundresolution: Resolution auf der Basis von Grundinstanzen

46 Grundresolution Vokabular Grundinstanz einer Formel F: eine konkrete grund-instanziierte Form von F Grundsubstitution: Substitution, die aus F eine Grundinstanz erzeugt Grundresolution: Resolution auf der Basis von Grundinstanzen

47 Grundresolution Satz von Herbrand Eine als Klauselmenge dargestellte Formel F ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine endliche Menge von Grundinstanzen von Klauseln aus F gibt, die unerfüllbar ist.

48 Grundresolution Aufzählbarkeit der Grundinstanzen Herbrand-Universum aufzählbar Klauselmenge endlich Jede Klausel enthält endlich viele Variablen Die Menge der Grundinstanzen der Klauseln ist auch aufzählbar. Menge G der Grundinstanzen ist G = {G 1,G 2,G 3,...}

49 Grundresolution Grundresolution (Verfahren von Gilmore) Gegeben: Formel F in Klauselform Schritt i: Bilde die ersten i Grundinstanzen {G 1,...,G i } zu Klauseln aus F Teste die Klauselmenge F i = {G 1,...,G i } mittels aussagenlogischer Resolution auf Unerfüllbarkeit Falls F i unerfüllbar: Stopp mit Ergebnis unerfüllbar Verfahren terminiert, falls F unerfüllbar. Verfahren terminiert nicht, falls F erfüllbar und H α unendlich. Prädikatenlogische Grundresolution ist semi-entscheidbar.

50 Grundresolution Verfahren von Gilmore: Kritik Pro Klausel ggf. sehr viele Grundinstanzen Generierung von Grundinstanzen ohne Bezug zum Resolutionsziel Prozess nicht zielgerichtet Unnötig viele Zwischenklauseln Ineffizient!

51 Prädikatenlogische Resolution Idee Robinson 1965 Generiere keine Grundinstanzen sondern ersetze Variablen nur so weit, wie nötig Beispiel: P(x) und P(y) immer dann resolvierbar, wenn x und y mit demselben variablenfreien Term ersetzt werden Resolviere direkt P(x) und P(x) P(y)[y/x]

55 Prädikatenlogische Resolution Unifikator Ein Unifikator für eine endliche Menge von Literalen {E 1,...,E n } ist eine Substitution σ, für die gilt: E 1 σ =... = E n σ Die Mengte {E 1,...,E n } heißt dann unifizierbar.

56 Prädikatenlogische Resolution Allgemeinster Unifikator Ein allgemeinster Unifikator (m.g.u., most general unifier) für eine Menge von Literalen {E 1,...,E n } ist ein Unifikator, von dem jeder andere Unifikator für {E 1,...,E n } eine Variante ist. Unifikationssatz von Robinson: Jede unifizierbare Menge von Literalen besitzt auch einen allgemeinsten Unifikator.

57 Prädikatenlogische Resolution Abweichungsmenge Die Abweichungsmenge D(E 1,...,E n ) für Ausdrücke E 1,...,E n, die aus Prädikatensymbolen und Terminen bestehen, erhält man durch: 1. Lies die Ausdrücke E i von links nach rechts bis zu der Stelle i, wo nicht alle E i dasselbe Symbol enthalten. 2. Bestimme zu jedem E i den an der ersten Abweichungsstelle beginnenden Unterausdruck t i. 3. Ergebnis: D(E 1,...,E : n) = (t 1,...,t n )

60 Prädikatenlogische Resolution Unifikationsalgorithmus Gegeben: Ausdrücke E 1,...,E n aus Prädikatensymbolen und Termen 1. Vorläufiger Unifikator σ = {} 2. Falls E 1 =... = E n, Stopp mit Ergebnis σ 3. Sonst: Enthält D(E 1,...,E n ) eine Variable v und einen Term t, in welchem v nicht vorkommt? Falls ja: µ := [v/t] σ := σµ E i := E i µ für alle i weiter bei 2. Sonst: Stopp mit Ergebnis nicht unifizierbar

61 Prädikatenlogische Resolution Prädikatenlogische Resolution Seien K 1 und K 2 zwei prädikatenlogische Klauseln. 1. Bilde K 1 := K 1s 1 und K 2 := K 2s 2 mit Substitutionen s 1 und s 2 so, dass K 1 und K 2 keine gemeinsamen Variablen enthalten. 2. Falls es eine Menge von Literalen {L 1,...,L m } K 1 und {L m+1,...,l n } K 2 gibt, für die L = {L 1,...,L m,l m+1,...,l n } unifizierbar mit m.g.u. σ ist, so heißt R = ((K 1 {L 1,...,L m }) (K 2 {L m+1,...,l n }))σ prädikatenlogische Resolvente von K 1 und K 2. Für eine prädikatenlogische Formel F definieren wir Res(F), Res k (F) und Res (F) analog zum aussagenlogischen Fall.

62 Prädikatenlogische Resolution Resolutionssatz der Prädikatenlogik (Robinson 1965) Sei F eine prädikatenlogische Formel (Skolemform) in Klauselschreibweise. Dann gilt: F unerfüllbar g.d.w Res (F)

63 Zusammenfassung Normalformen Herbrand-Universum und Herbrand-Interpretation Grundresolution Unifikation Prädikatenlogische Resolution