Logik Vorlesung 7: Grundlagen Prädikatenlogik

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1 Logik Vorlesung 7: Grundlagen Prädikatenlogik Andreas Maletti 5. Dezember 2014

2 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

3 Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1 Modellierung in Prädikatenlogik 2 Syntax der Prädikatenlogik 3 Semantik der Prädikatenlogik Bitte Fragen direkt stellen!

4 Prädikatenlogik Einführung

5 Prädikatenlogik Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3 Prädikatenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution 4 Ausblick

6 Prädikatenlogik Motivation Beispiele Wer A sagt, muss auch B sagen ) x Sagenx, A) Sagenx, B) Äußerung von der selben Person Schlachtet der Bauer eine Henne, so ist die Henne krank oder der Bauer. Prädikate: Schlachten, Krank b h Schlachtenb, h) Krankh) Krankb) )) genau der Bauer, der geschlachtet hat, oder die geschlachtete Henne ist krank

7 Prädikatenlogik Motivation Intuition eine Aussagenschablone ist ein Satz, der Variablen verwendet, so dass für jede Belegung der Variablen eine Aussage entsteht Quantoren verlangen Wahrheit der Aussagen, die man durch best. Instanziierungen einer Aussagenschablone erhält Beispiel Schlachtet der Bauer eine Henne, so ist die Henne krank oder der Bauer. Bauerx) ist Aussagenschablone für jedes geg. x wahr oder falsch) BauerHerbert) ist eine Aussage Instanziierung für x = Herbert

8 Prädikatenlogik Grundbegriffe Begriffe Variablen üblicherweise kleingeschrieben) stehen für Elemente des Universums formal: nur x i mit i N) Prädikat k-stellige Relation auf dem Universum) Notizen alle Junktoren können weiterhin verwendet werden auch zur Verknüpfung von Aussagenschablonen) die Wahrheit einer Aussagenschablone läßt sich erst bei Kenntnis der Belegung der Variablen bestimmen

9 Prädikatenlogik Quantoren Quantoren Sei U das Universum. Beispiele xf ist genau dann wahr, wenn F für alle x U wahr ist = für Alle Allquantor xf ist genau dann wahr, wenn = Existiert ein x U existiert, so dass F für dieses x wahr ist Existenzquantor Sei U die Menge aller Menschen. ) x Sagenx, A) Sagenx, B) ist wahr, falls alle Menschen, die A-sagen, auch B-sagen ) x Sagenx, A) Sagenx, B) ist wahr, falls einer existiert, der wenn er A-sagt auch B-sagt

10 Prädikatenlogik Modellierung

11 Prädikatenlogik Modellierung Beispiele Jede ganze Zahl ist größer oder gleich) 0 ) x x Z) x 0) Es gibt eine natürliche Zahl, die nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl ist x x N) y y N) x y + 1) ))

12 Prädikatenlogik Modellierung Totschlag StGB 16, 212 [editiert] Wer einen Menschen tötet, ohne Mörder zu sein, wird als Totschläger verurteilt. Formalisierung Prädikate: Person ), Tötet, ), Mörder ), Totschläger ) m Personm) o Persono) Tötetm, o) ) ) ) Mörderm) Totschlägerm)

13 Prädikatenlogik Modellierung Diebstahl StGB 19, 242 [editiert] Wer eine fremde bewegliche Sache einem anderen in der Absicht wegnimmt, die Sache sich oder einem Dritten rechtswidrig zuzueignen, ist ein Dieb. Formalisierung Prädikate: BewSache ), Aneignen, ), Besitzer, ), Dieb ), = d s BewSaches) p Besitzers, p) d = p) Aneignens, d) q q = p) q = d) Aneignens, q))) ))) ) Diebd)

14 Prädikatenlogik Modellierung Halten und Parken StVO I, 122) [editiert] 2 Wer sein Fahrzeug verlässt oder länger als drei Minuten hält, der parkt. Formalisierung Prädikate:?? x Fahrzeugx) Verlassenx) n n > 3) Hältx, n) ))) ) Parktx)

15 Prädikatenlogik Syntax

16 Prädikatenlogik Syntax Notation Sei V = {x i i N} die Menge der Variablen Für jedes k N ist S k = {f k i i N} die Menge der k-stelligen Funktionssymbole Für jedes k N ist R k = {R k i i N} die Menge der k-stelligen Relationssymbole Notizen formal gibt es wieder nur diese Symbole vgl. aussagenlogische Atome {A i i N} natürlich werden wir oft beschreibendere Symbole verwenden

17 Prädikatenlogik Syntax Definition Terme) Die Menge T der prädikatenlogischen) Terme ist die kleinste Menge, so dass x i T für alle i N f 0 i T für alle i N alle Variablen sind Terme) alle Konstanten sind Terme) f k i t 1,..., t k ) T für alle i, k N, k > 0 und t 1,..., t k T Funktionssymbol angewandt auf Terme liefert Term) Beispiele f0 2f 3 1x 0), f1 3f 5 0, x 5, f1 0 )) T ist ein Term f7 0f 9 2f 13 1 ), f 0 3 ) / T ist kein Term

18 Prädikatenlogik Syntax Illustration Baumdarstellung des Terms f 2 0 f 1 3 f 3 1 x 0 f 0 5 Baumdarstellung des Nichtterms f 0 7 x 5 f 0 1 f 2 9 f 3 0 f 1 13

19 Prädikatenlogik Syntax Notizen Funktionssymbole der Stelligkeit 0 heißen auch Konstanten Terme bestehen aus Variablen und Funktionssymbolen, die gemäß ihrer Stelligkeit verwendet werden vgl. arithmetische Ausdrücke 0, 3 + x) x + y + 0, 3 x + x y

20 Prädikatenlogik Syntax Definition Formeln) Die Menge F der prädikatenlogischen) Formeln ist die kleinste Menge, so dass R k i t 1,..., t k ) F für alle i, k N und t 1,..., t k T Relationssymbol angewandt auf Terme ist Formel) dies sind die Atome F F für alle F F Negation einer Formel ist Formel) F 1 F 2 ) F und F 1 F 2 ) F für alle F 1, F 2 F Konjunktion und Disjunktion zweier Formeln ist Formel) x i F F und x i F F für alle i N und F F All- und Existenzquantifikation von x i in Formel ist Formel) Notizen Wir nutzen die üblichen Abkürzungen und

21 Prädikatenlogik Syntax Beispiele A-Sagen-Formel ) x 0 R0 2 x 0, f0 0 ) R0 2 x 0, f1 0 ) R 2 0 = Sagen f 0 0 = A f 0 1 = B Bauer-Formel x 0 x 1 R 2 0 x 0, x 1 ) R 1 0 x 1 ) R 1 0 x 0 ) )) R 2 0 = Schlachten R1 0 = Krank Nachfolger-Formel x 0 R 1 0 x 0 ) x 1 R 1 0 x 1 ) R 2 0 x 0, f 1 0 x 1 )) )) R 1 0 = N) R2 0 = = ) f 1 0 x) = x + 1

22 Prädikatenlogik Syntax Notizen entspr. dieser Definitionen können wir Funktionen definieren bzw. Beweise induktiv führen müssen aber Terme und Formeln separat behandeln, denn kein Term ist eine Formel und keine Formel ist ein Term Definition Wir definieren die Funktion Var : T PowV) durch Variablen im Term) Varx i ) = {x i } für alle i N Varfi 0 ) = für alle i N Varfi k t 1,..., t k )) = 1 j k Vart j) für alle i, k N, k > 0 und t 1,..., t k T

23 Prädikatenlogik Syntax Beispiele schrittweise Auswertung Var f0 2 f3 1 x 0 ), f1 3 f5 0, x 5, f1 0 )) ) = Var f3 1 x 0 ) ) Var f1 3 f5 0, x 5, f1 0 ) ) = Var ) ) ) ) x 0 Var f 0 5 Var x5 Var f 0 1 = {x 0 } {x 5 } = {x 0, x 5 } Var f 2 7 f 1 9 f 0 13 ), f 0 0 )) =

24 Prädikatenlogik Syntax Notizen in Formeln unterscheiden wir freie und gebundene Vorkommen von Variablen Beispiele ein Variablenvorkommen ist gebunden, wenn es im Einflussbereich eines gleichlautenden Quantors liegt andernfalls ist es frei gebundene Vorkommen in rot und freie Vorkommen in grün x 0 R0 2 x 0, x 1 ) R0 0 ) x 1 R 2 }{{} 1 x 1, x 1 ) R0 2 x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1 x 0 x 1 R0 2 x 0, x 1 ) R0 1 x 1 ) R0 1 x 0 ) )) }{{} } x {{ 1 } x 0

25 Prädikatenlogik Syntax Definition Aussage) Eine Formel F F heißt Aussage oder: geschlossen) gdw. sie keine freien Vorkommen von Variablen hat Beispiele dies ist eine Aussage x 0 x 1 R0 2 x 0, x 1 ) R0 1 x 1 ) R0 1 x 0 ) )) }{{} } x {{ 1 } x 0 diese Formel ist keine Aussage grün = frei) x 0 R0 2 x 0, x 1 ) R0 0 ) x 1 R 2 }{{} 1 x 1, x 1 ) R0 2 x 1, x 0 ) ) ) }{{} x 0 x 1

26 Prädikatenlogik Syntax Definition Wir definieren die Menge der freien Variablen einer Formel: FVR k i t 1,..., t k )) = 1 j k Vart j) für alle i, k N und t 1,..., t k T FV F ) = FVF ) für alle F F FVF 1 F 2 ) = FVF 1 ) FVF 2 ) für alle F 1, F 2 F und {, } FVQx i F ) = FVF ) \ {x i } für alle F F und Q {, }

27 Prädikatenlogik Syntax Frage Welche der folgenden Sequenzen sind Formeln? Welche Aussagen? x 0 x 0 R 2 0 x 0, f 2 2 ) f 2 3 x 0, x 1 ) ) keine Formel x0 R 0 0 x 1 R 2 0 x 0, x 1 )) ) Formel; keine Aussage i R 0 i f0 0, f 1 0) R1 0 f 1 1R0 0 ))) keine Formel x 0 x 1 R 2 0 x 0, x 1 ) R 2 0 x 1, x 0 ) ) Symmetrie von R 2 0 ) Aussage

28 Prädikatenlogik Syntax Konventionen Variablen bezeichnet durch Kleinbuchstaben vom Ende des Alphabets x, y, z, z 1 ) Konstanten nullstellige Funktionssymbole) bezeichnet durch Kleinbuchstaben vom Anfang des Alphabets a, b, c) nicht-nullstellige Funktionssymbole bezeichnet durch Kleinbuchstaben f, g, h f, g, h, f 1 ) Terme bestehen aus Kleinbuchstaben Relationssymbole bezeichnet durch Großbuchstaben A, P, R, Q) Anmerkung Wir identifizieren f0 0 ) und f 0 0 Konstante vs. nullstellige Funktion)

29 Prädikatenlogik Syntax Frage Welche der folgenden Sequenzen sind Formeln? Welche Aussagen? x Py) yrx, y) ) x y zsx, f z), f a)) Pa) ) y xrx y) zt x, y, f z, a)) ) Formel, keine Aussage Aussage keine Formel x y z Rx, y) Ry, z)) Rx, z) ) Transitivität von R) Aussage

30 Prädikatenlogik Semantik

31 Prädikatenlogik Semantik Motivation bisher haben wir nur syntaktische Objekte Terme, Formeln) deren Bedeutung kennen wir noch nicht wir brauchen noch eine Interpretation der verschiedenen Symbole Variablen, Funktions- und Relationssymbole) unsere Interpretation muss jetzt mehr leisten

32 Prädikatenlogik Semantik Interpretation Eine prädikatenlogische) Interpretation ist eine Struktur U, I ), bestehend aus Universum U und Symbolinterpretation I, so dass U Universum nicht leer) x I i U für alle i N Variablen Elemente in U) f k i ) I : U k U für alle i, k N k-stellige Funktionssymbole k-stellige Funktionen auf U) R k i ) I U k für alle i, k N k-stellige Relationssymbole k-stellige Relationen auf U) Notizen formal wird immer jedes Symbol interpretiert für die Auswertung einer Formel F werden wieder nur die in F vorkommenenden Symbole relevant sein andere Symbole können beliebig interpretiert werden

33 Prädikatenlogik Semantik Beispiel x 0 x 1 R 2 0 x 0, x 1 ) R 2 0 x 1, x 0 ) ) sollte intuitiv von jeder Interpretation U, I ) erfüllt werden, in der R 2 0 )I U U eine symmetrische Relation ist. zum Beispiel: N, I ) mit x I i = 0 für alle i N f k i ) I n 1,..., n k ) = 0 für alle i, k, n 1,..., n k N R k i ) I = für alle i, k N mit i, k) 0, 2) R 2 0 )I = {m, n) N N m 2 + n 2 ist prim}

34 Prädikatenlogik Semantik Beispiel R 1 0 x 0 ) x 1 R 1 0 x 1 ) R 2 0 x 1, x 0 ) )) wird von folgender Interpretation N, I ) erfüllt: x I 0 = 7 und x I i = 0 für alle i N \ {0} f k i ) I n 1,..., n k ) = 0 für alle i, k, n 1,..., n k N R k i ) I = für alle i, k N mit i, k) / {0, 1), 0, 2)} R 1 0 )I = {n N n ist prim} R 2 0 )I = {m, n) N 2 m < n} Konvention da Universum nicht-leer, lassen sich immer Interpretationen aller Symbole finden wir lassen irrelevante Interpretationen weg

35 Prädikatenlogik Semantik Beispiel R 1 0 x 0 ) x 1 R 1 0 x 1 ) R 2 0 x 1, x 0 ) )) wird von folgender Interpretation N, I ) nicht erfüllt: x0 I = 2 R0 1)I = {n N n ist prim} R0 2)I = {m, n) N 2 m < n}

36 Prädikatenlogik Semantik Definition Terminterpretation) Seien t T ein Term und I = U, I ) eine Interpretation. Wir definieren die Funktion I : T U durch I x i ) = xi I für alle i N I fi k t 1,..., t k )) = fi k ) I I t 1 ),..., I t k ) ) für alle i, k N und t 1,..., t k T Statt I t) mit t T schreiben wir wieder t I. Notizen Interpretation eines Terms ergibt Element des Universums berechnet durch Einsetzen der Variablenwerte und Ausrechnen Anwendung der Funktionen)

37 Prädikatenlogik Semantik Definition Variablenzuweisung) Seien I = U, I ) eine Interpretation, j N und u U. Dann ist I [xj u] = U, J), so dass für alle i N x J i = { u f k i ) J = f k i ) I für alle i, k N R k i ) J = R k i ) I für alle i, k N x I i falls i = j sonst Notizen I [xj u] ist im Wesentlichen die Interpretation I nur die Variable x j hat in I [xj u] den Wert u unabhängig vom Wert, den x j in I hat)

38 Prädikatenlogik Semantik Definition 1/2 Formelinterpretation) Seien F F eine Formel und I = U, I ) eine Interpretation. Wir definieren die Funktion I : F {0, 1} durch für alle i, k N und t 1,..., t k T I Ri k t 1,..., t k ) ) { 1 falls t1 I =,..., ti k ) Rk i ) I 0 sonst für alle Formeln F F I F ) = { 1 falls I F ) = 0 0 sonst für alle Formeln F 1, F 2 F { 1 falls I F 1 ) = 1 und I F 2 ) = 1 I F 1 F 2 ) = 0 sonst

39 Prädikatenlogik Semantik Definition 2/2 Formelinterpretation) Seien F F eine Formel und I = U, I ) eine Interpretation. Wir definieren die Funktion I : F {0, 1} durch für alle Formeln F 1, F 2 F { 1 falls I F 1 ) = 1 oder I F 2 ) = 1 I F 1 F 2 ) = 0 sonst für alle i N und Formeln F F { 1 falls I I x i F ) = [xi u]f ) = 1 für alle u U 0 sonst für alle i N und Formeln F F { 1 falls u U existiert mit I I x i F ) = [xi u]f ) = 1 0 sonst

40 Prädikatenlogik Semantik Anmerkungen Statt I F ) mit F F schreiben wir wieder F I Interpretation einer Formel liefert Wahrheitswert vgl. Interpretation eines Terms ist Element des Universums) neue Fälle: Relation und Quantoren

41 Prädikatenlogik Semantik Interpretation F = R 0 1 x 0 ) x 1 R 1 0 x 1 ) R0 2 x 1, x 0 ) )) Interpretation N, I ) mit x I 0 = 7 R 1 0 )I = {n N n prim} und R 2 0 )I = {m, n) N 2 m < n} Berechnung F I = 1 gdw. R 1 0 x 0 ) ) I = 1 gdw. x I 0 R 1 0 )I gdw. 7 prim ist und x1 R 1 0 x 1 ) R 2 0 x 1, x 0 ) )) I = 1 gdw. n N existiert, so dass R 1 0 x 1) R 2 0 x 1, x 0 ) ) I [x 1 n] = 1 gdw. R 1 0 x 1 ) ) I [x 1 n] = 1 gdw. x I [x 1 n] 1 R 1 0 )I [x1 n] gdw. n prim x I [x1 n] 1 = n) z.b. wahr für n = 2 R 2 0 x 1, x 0 ) ) I [x 1 n] I [x = 1 gdw. x 1 n] 1, x I [x1 n] 0 ) R0 2 [x1 n] )I x I [x1 n] 1, x I [x1 n] 0 ) = n, 7) R 2 0 )I z.b. wahr für n = 2

42 Zusammenfassung Motivation Modellierung Syntax Prädikatenlogik Semantik Prädikatenlogik Vierte Übungsserie ist bereits verfügbar.