1 Syntax und Semantik der Logik erster Stufe

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1 1 Syntax und Semantik der Logik erster Stufe Die Logik erster Stufe Prädikatenlogik) besitzt eine Syntax, die festlegt, welche Zeichenketten Formeln der Logik erster Stufe sind, und eine Semantik, die festlegt, welche Bedeutung einzelne Formeln haben. Die Logik erster Stufe beschäftigt sich mit Objekten und Aussagen über deren Eigenschaften. Vor der Einführung von Syntax und Semantik der Logik erster Stufe wenden wir uns zunächst den Objekten zu, über die Formeln der Logik erster Stufe reden können. 1.1 Strukturen Die Objekte, über die Formeln der Logik erster Stufe Aussagen treffen können, heißen Strukturen. Viele Objekte lassen sich auf natürliche Weise durch solche Strukturen repräsentieren, beispielsweise Graphen G = V, E) oder Bäume B = V, E), die natürlichen Zahlen mit Addition und Multiplikation, N, +, ), die reellen Zahlen mit Addition, Multiplikation und Konstanten 0 und 1, R, +,, 0, 1), Datenbanken. Die im Folgenden definierten Signaturen legen den Typ bzw. das Format ) der entsprechenden Strukturen fest. Definition 1.1. Eine Signatur auch Symbolmenge bzw. Vokabular) ist eine Menge σ von Relationssymbolen, Funktionssymbolen und/oder Konstantensymbolen. Jedes Relationssymbol R σ und jedes Funktionssymbol f σ hat eine Stelligkeit bzw. Arität, engl. arity) arr) N >0 bzw. arf) N >0. Signatur, Vokabular Stelligkeit arr), arf) Wir benutzen hier folgende Notation: N := { 0, 1, 2, 3,... } und N >0 := N \ { 0 }. N, N >0 Notation 1.2. Der griechische Buchstabe σ bezeichnet in diesem Vorlesungsskript stets eine Signatur. Für Relationssymbole verwenden wir normalerweise Großbuchstaben wie R, P, E, Q, R 1, R 2,.... Für Funktionssymbole verwenden wir meistens Kleinbuchstaben wie f, g, h, f 1, f 2,.... 9

2 Für Konstantensymbole verwenden wir meistens Kleinbuchstaben wie c, d, c 1, c 2,.... Gelegentlich verwenden wir als Relations- und Funktionssymbole auch Zeichen wie 2- stelliges Relationssymbol) bzw. +, 2-stellige Funktionssymbole), und als Konstantensymbole Zahlen wie 0, 1. Die Stelligkeit eines Relations- oder Funktionssymbols deuten wir häufig an, indem wir sie unter das Symbol schreiben. Beispiel: Die Notation R 2 deutet an, dass R ein 2-stelliges Relationssymbol ist. σ-struktur Universum Definition 1.3. Eine σ-struktur bzw. Struktur über σ) ist ein Paar A = A, α), bestehend aus einer nicht-leeren Menge A, dem so genannten Universum bzw. Träger, Grundbereich; engl. domain) von A und einer auf σ definierten Abbildung α, die Notation 1.4. jedem Relationssymbol R σ eine Relation αr) A arr) der Stelligkeit arr) zuordnet, jedem Funktionssymbol f σ eine Funktion αf) : A arf) A zuordnet und jedem Konstantensymbol c σ ein Element αc) A zuordnet. Strukturen bezeichnen wir meistens mit Fraktur-Buchstaben A, B, G,...; das Universum der Strukturen durch die entsprechenden lateinischen Buchstaben A, B, G,.... S A Ist A = A, α) eine σ-struktur, so schreiben wir für jedes Symbol S σ oft S A an Stelle von αs). An Stelle von A = A, α) schreiben wir oft auch A = A, S A ) S σ ). Falls σ endlich und von der Form ist, so schreiben wir auch um eine σ-struktur A zu bezeichnen. σ = { R 1,... R k, f 1,..., f l, c 1,..., c m } A = A, R A 1,... R A k, f A 1,..., f A l, c A 1,..., c A m ), Beispiel 1.5 Arithmetische Strukturen). Sei σ Ar := {, +,, 0, 1 }, wobei ein 2-stelliges Relationssymbol, +, zwei 2-stellige Funktionssymbole und 0, 1 zwei Konstantensymbole sind. Standardmodell a) Das Standardmodell der Arithmetik ist die σ Ar -Struktur der Arithmetik, N N := N, N, + N, N, 0 N, 1 N ), wobei N die natürliche lineare Ordnung auf N ist, + N und N die Addition bzw. die Multiplikation auf N sind und 0 N bzw. 1 N die Zahlen 0 bzw. 1 sind. Z, Q, R b) Entsprechend können wir σ Ar -Strukturen Z, Q, R mit Universum Z, Q, R definieren. 10

3 Beispiel 1.6 Graphen und Bäume). Sei σ Graph := { E }, wobei E ein 2-stelliges Relationssymbol ist. Jeder gerichtete Graph bzw. gerichtete Baum V, E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E V V ) lässt sich als σ Graph -Struktur A = A, E A ) mit Universum A := V und Relation E A := E auffassen. Beispiel: Graph: a b c zugehörige σ Graph -Struktur: A = A, E A ) mit A = { a, b, c } E A = { a, b), b, b), a, c), c, a) } Beispiel 1.7 Verwandtschaftsbeziehungen). Um Verwandtschaftsbeziehungen zu modellieren, können wir die Signatur σ benutzen, die aus folgenden Symbolen besteht: 1-stellige Funktionssymbole Vater, Mutter Bedeutung: Vater A a) bezeichnet den Vater von Person a, Mutter A a) bezeichnet die Mutter von Person a). 2-stellige Relationssymbole Geschwister, Vorfahr Bedeutung: a, b) Geschwister A besagt, dass a und b Geschwister sind; Vorfahr A a, b) besagt, dass a ein Vorfahr von b ist). Isomorphie Frage: Wann sind zwei Strukturen A und B prinzipiell gleich Fachbegriff: isomorph)? Antwort: Falls B aus A entsteht, indem man die Elemente des Universums von A umbenennt. Analog zum Begriff der Isomorphie von Graphen wird dies durch folgende Definition präzisiert: Definition 1.8. Seien A, B σ-strukturen. Ein Isomorphismus von A nach B ist eine Abbildung π : A B mit folgenden Eigenschaften: Isomorphismus a) π ist bijektiv. b) Für alle Relationssymbole R σ, für k := arr) und alle k-tupel a 1,..., a k ) A k gilt: a 1,..., a k ) R A πa 1 ),..., πa k ) ) R B. c) Für alle Funktionssymbole f σ, für k := arf) und alle k-tupel a 1,..., a k ) A k gilt: π f A a 1,..., a k ) ) = f B πa 1 ),..., πa k ) ). 11

4 d) Für jedes Konstantensymbol c σ gilt: π c A) = c B. π : A = B Notation: Seien A, B σ-strukturen. Wir schreiben π : A = B um auszudrücken, dass π ein Isomorphismus von A nach B ist. Lemma 1.9. Seien A, B σ-strukturen und sei π : A = B. Dann gilt für die Umkehrabbildung π 1, dass π 1 : B = A. Beweis: einfaches Nachrechnen Übung). isomorph A = B Definition Zwei σ-strukturen A und B sind isomorph kurz: A = B), wenn es einen Isomorphismus π von A nach B gibt. Beispiel a) Die beiden Graphen 1 2 und a b c d 4 3 sind isomorph via π : { 1, 2, 3, 4 } { a, b, c, d } mit π1) = a, π2) = b, π3) = c, π4) = d. b) Die beiden Graphen a b c d h g f e sind isomorph via π : {1,..., 8} {a,..., h} mit c) Die beiden Graphen v πv) a b c d h g f e und a b c sind nicht isomorph. 12

5 d) Sei σ = { f, c }, wobei f ein 2-stelliges Funktionssymbol und c ein Konstantensymbol ist. Sei A = A, f A, c A) mit A := N, f A := + N die Addition auf N), c A := 0 N die natürliche Zahl 0), und sei B = B, f B, c B) mit B := { 2 n : n N } die Menge aller Zweierpotenzen), f B : B B B die Funktion mit f B b 1, b 2 ) = b 1 b 2 f.a. b 1, b 2 B), c B := 1 = 2 0 B. Dann gilt A = B, und die Abbildung π : A B mit πn) := 2 n Isomorphismus von A nach B, denn: π ist eine bijektive Abbildung von A nach B. Für das Konstantensymbol c gilt f.a. n N ist ein π c A) Def. c A = π0) Def. π = 2 0 = 1 Def. cb = c B. Für das Funktionssymbol f und alle a 1, a 2 ) A 2 gilt: und π f A a 1, a 2 ) ) Def. f A = πa 1 + a 2 ) Def. π = 2 a1+a2 f B πa 1 ), πa 2 ) ) Def. π = f B 2 a1, 2 a2 ) Def. f B = 2 a1 2 a2 = 2 a1+a2. Also: π f A a 1, a 2 ) ) = f B πa 1 ), πa 2 )). Somit ist π ein Isomorphismus von A nach B. e) Sei σ = { }, wobei ein 2-stelliges Relationssymbol ist. Seien A = A, A ) und B = B, B ) die σ-strukturen mit A = N und B = Z, wobei A und B die natürlichen linearen Ordnungen auf N und Z sind. Die beiden σ-strukturen A und B sind nicht isomorph. Beweis: Angenommen, π ist ein Isomorphismus von A nach B. Sei n := 0, z := πn), z := z 1 und n := π 1 n). Da π eine bijektive Abbildung von N nach Z ist, gilt: n N und n n. Da n = 0 ist, muss n 1 sein. Also gilt: n A n. Aber da πn ) = z < z = πz) ist, gilt πn) B πn ). Somit ist π kein Isomorphismus von A nach B. Satz Isomorphie =) ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller σ-strukturen, d.h. für alle σ-strukturen A, B und C gilt: a) A = A Reflexivität). b) Falls A = B, so auch B = A Symmetrie). c) Falls A = B und B = C, so auch A = C Transitivität). Beweis: Übung. 13

6 1.2 Syntax der Logik erster Stufe Bestandteile: aussagenlogische Junktoren,,,, nicht und oder wenn..., dann genau dann, wenn Variablen v 0, v 1, v 2,... um Elemente aus dem Universum einer Struktur zu bezeichnen Quantoren: es existiert ), für alle ) Symbole für Elemente aus der Signatur σ Präzise: Definition 1.13 Variablen und Alphabet der Logik erster Stufe). Variable Var a) Eine Individuenvariable kurz: Variable) hat die Form v i, für i N. Die Menge aller Variablen bezeichnen wir mit Var. D.h. A σ Var := { v i : i N } = { v 0, v 1, v 2, v 3,... }. b) Sei σ eine Signatur. Das Alphabet A σ der Logik erster Stufe über σ besteht aus den Variablen in Var den Symbolen in σ Existenzquantor den Quantoren Existenzquantor) und Allquantor) Allquantor dem Gleichheitssymbol 1 = den Junktoren,,,, den Klammern, ) dem Komma, D.h.: A σ = Var σ {, } { = } {,,,, } {, ) } {, }. A σ Notation: A σ bezeichnet die Menge aller endlichen Zeichenketten über A σ. Definition 1.14 Terme der Logik erster Stufe). T σ Sei σ eine Signatur. Die Menge T σ aller σ-terme ist die folgendermaßen rekursiv definierte σ-terme Teilmenge von A σ: Für jedes Konstantensymbol c σ ist c T σ. Für jede Variable x Var ist x T σ. Für jedes k N >0 und jedes k-stellige Funktionssymbol f σ gilt: Sind t 1 T σ,..., t k T σ, so ist auch ft 1,..., t k ) T σ. 1 Manche Bücher schreiben an Stelle von = 14

7 Beispiel Sei σ = { f, c } wie in Beispiel 1.11d) gewählt. Folgende Worte sind σ-terme: 2 c v 4 fc, c) fc, v 0 ) fc, fv 1, v 3 )) Folgende Worte sind keine σ-terme: 0 fd, d) fv 0, c, v 1 ) f A 2, 3) Definition 1.16 Formeln der Logik erster Stufe). Sei σ eine Signatur. Die Menge FO[σ] aller Formeln der Logik erster Stufe über der Signatur σ kurz: FO[σ]-Formeln; FO steht für die englische Bezeichnung first-order logic) ist die folgendermaßen rekursiv definierte Teilmenge von A σ: FO[σ] FO[σ]-Formeln a) Für alle σ-terme t 1 und t 2 gilt t 1 = t 2 FO[σ]. b) Für jedes Relationssymbol R σ, für k := arr) und für alle σ-terme t 1,..., t k gilt: Rt 1... t k ) FO[σ]. c) Ist ϕ FO[σ], so auch ϕ FO[σ]. d) Ist ϕ FO[σ] und ψ FO[σ], so ist auch ϕ ψ) FO[σ], ϕ ψ) FO[σ], ϕ ψ) FO[σ], ϕ ψ) FO[σ]. e) Ist ϕ FO[σ] und ist x Var, so ist auch x ϕ FO[σ], x ϕ FO[σ]. Bemerkung: FO[σ]-Formeln der Form t 1 = t 2 bzw. Rt 1... t k ) heißen auch atomare Formeln. atomare Formeln In manchen Büchern wird FO[σ] auch mit L σ bzw. L σ bezeichnet, und FO[σ]-Formeln werden auch σ-ausdrücke genannt. 15

8 Beispiel a) Sei σ = { f, c }. Folgende Worte sind FO[σ]-Formeln: 2 fv 0, v 1 ) = c v 2 fv 2, c) = v 2 v 3 fv 2, v 3 ) = v 3 v 3 = c) Folgende Worte sind keine FO[σ]-Formeln: fv 0, v 1 ) = c) fv 0, v 1 ) v 2 fv 2, c) = v 2 )) c fv 0, c) = v 0 dies ist ein σ-term, aber keine FO[σ]-Formel) b) Sei σ Graph = { E 2 }. Folgendes ist eine FO[σ Graph ]-Formel: v 0 v 1 Ev0, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ) v 0 = v 1 ). Intuition zur Semantik die formale Definition der Semantik wird in Abschnitt 1.3 gegeben): In einem Graphen A = A, E A) sagt die Formel Folgendes aus: v 0 v 1 Ev0, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ) v 0 = v 1 ) Für alle Knoten a 0 A und für alle Knoten a 1 A gilt: Falls a 0, a 1 ) E A und a 1, a 0 ) E A, so ist a 0 = a 1. Die Formel sagt in einem Graphen A = A, E A) also gerade aus, dass die Kantenrelation antisymmetrisch ist. Ein Graph A = A, E A) erfüllt die Formel genau dann, wenn die Kantenrelation E A antisymmetrisch ist. Notation Statt mit v 0, v 1, v 2,... bezeichnen wir Variablen oft auch mit x, y, z, x 1, x 2,.... Formelmengen Bindungsregeln Formeln bezeichnen wir meistens mit griechischen Kleinbuchstaben ϕ, ψ, χ,.... Formelmengen mit griechischen Großbuchstaben Φ, Ψ,.... Bezüglich Klammerung verwenden wir folgende Bindungsregeln: a) bindet stärker als alle anderen Junktoren. b) und binden stärker als und. Die äußeren Klammern einer Formel lassen wir manchmal weg. D.h. wir schreiben z.b. ϕ ψ χ an Stelle von ϕ ψ) χ)). Infixschreibweise Für gewisse 2-stellige Funktionssymbole wie +, σ Ar und gewisse 2-stellige Relationssymbole wie verwenden wir Infix- statt Präfixschreibweise und setzen Klammern dabei auf natürliche Weise, um die eindeutige Lesbarkeit zu gewährleisten. 16

9 Beispiel: An Stelle des formal korrekten Terms) +v 1, v 2 ), v 3 ) schreiben wir v 1 + v 2 ) v 3. An Stelle der formal korrekten) atomaren Formel v 1, v 2 ) schreiben wir v 1 v 2. Bei Termen und atomaren Formeln schreiben wir manchmal Rt 1... t k an Stelle des formal korrekten) Rt 1,..., t k ), ft 1... t k an Stelle des formal korrekten) ft 1,..., t k ). 1.3 Semantik der Logik erster Stufe Um die formale Definition der Semantik der Logik erster Stufe angeben zu können, benötigen wir noch folgende Notationen: Definition 1.19 Subformeln bzw. Teilformeln). Für jede FO[σ]-Formel ϕ definieren wir die Menge subϕ) FO[σ] aller Subformeln oder: Teilformeln) von ϕ wie folgt: Ist ϕ eine atomare σ-formel, so subϕ) := { ϕ }. subϕ) Subformeln Teilformeln Ist ϕ von der Form ψ für eine FO[σ]-Formel ψ, so ist subϕ) := { ϕ } subψ). Ist ϕ von der Form ψ 1 ψ 2 ) für {,,, } und FO[σ]-Formeln ψ 1 und ψ 2, so subϕ) := { ϕ } subψ 1 ) subψ 2 ). Ist ϕ von der Form Qx ψ für Q {, }, x Var und ψ FO[σ], so ist subϕ) := { ϕ } subψ). Beispiel: Ev0 sub v 0 v 1, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ) ) ) v 0 = v 1 = { Ev0 v 0 v 1, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ) ) v 0 = v 1, v 1 Ev0, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ) v 0 = v 1 ), Ev0, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ) v 0 = v 1 ), Ev0, v 1 ) Ev 1, v 0 ) ), v 0 = v 1, Ev 0, v 1 ), } Ev 1, v 0 ) Definition 1.20 Variablen in Termen). Für jeden σ-term t T σ definieren wir die Menge vart) Var der Variablen von t wie folgt: vart) Für x Var ist varx) := { x }. 17

10 Für jedes Konstantensymbol c σ ist varc) :=. Ist t T σ von der Form ft 1,..., t k ), wobei f σ ein k-stelliges Funktionssymbol ist und t 1,..., t k T σ, so ist vart) := vart 1 ) vart k ). freiϕ) Freie Variablen Definition 1.21 Freie Variablen in Formeln). Für jede FO[σ]-Formel ϕ definieren wir die Menge freiϕ) Var aller freien Variablen von ϕ wie folgt: Ist ϕ von der Form t 1 = t 2 mit t 1, t 2 T σ, so ist freiϕ) := vart 1 ) vart 2 ). Ist ϕ von der Form Rt 1,..., t k ), wobei R σ ein k-stelliges Relationssymbol ist und t 1,... t k T σ, so ist freiϕ) := vart 1 ) vart k ). Ist ϕ von der Form ψ mit ψ FO[σ], so ist freiϕ) := freiψ). Ist ϕ von der Form ψ 1 ψ 2 ) mit ψ {,,, } und ψ 1, ψ 2 FO[σ], so ist freiϕ) := freiψ 1 ) freiψ 2 ). Ist ϕ von der Form Qx ψ mit Q {, }, x Var und ψ FO[σ], so ist Beispiel: ϕ := fv 0, c) = v 3 }{{} freiϕ) := freiψ) \ { x }. fv 0, v 1 ) = c }{{} v 0 freie Variablen: v 0, v 3 freie Variablen: v 0, v 1 }{{} freie Variablen: v 1 }{{} freie Variablen: v 0, v 1, v 3 ) Satz S σ Definition 1.22 Sätze). Eine FO[σ]-Formel ϕ heißt Satz genauer: FO[σ]-Satz), falls freiϕ) =. Die Menge aller FO[σ]-Sätze bezeichnen wir mit S σ. Definition 1.23 Belegungen und Interpretationen). Belegung in einer σ-struktur passende Belegung σ-interpretation a) Eine Belegung in einer σ-struktur A ist eine Abbildung β : D A mit Defβ) := D Var. b) Eine Belegung β heißt passend zu t T σ, falls Defβ) vart). c) Eine Belegung β heißt passend zu ϕ FO[σ] bzw. eine Belegung für ϕ), wenn Defϕ) freiϕ). d) Eine σ-interpretation ist ein Paar I = A, β) bestehend aus einer σ-struktur A und einer Belegung β in A. 18

11 e) Eine σ-interpretation I = A, β) heißt passend zu oder Interpretation für) ϕ FO[σ] bzw. t T σ ), falls Defβ) passend zu ϕ bzw. t) ist. Definition 1.24 Semantik von σ-termen). Rekursiv über den Aufbau von T σ definieren wir eine Funktion, die jedem σ-term t T σ und jeder zu t passenden σ-interpretation I = A, β) einen Wert t I A zuordnet: passende σ-interpretation t I Für alle x Var ist x I := βx). Für alle Konstantensymbole c σ ist c I := c A. Für alle k N >0, alle k-stelligen Funktionssymbole f σ und alle σ-terme t 1,..., t k T σ ist ft 1,..., t k ) I := f A t 1 I,..., t k I). Beispiel: Sei σ := { f, c }, und sei A := A, f A, c A) mit A := N, f A := + N die Addition auf N), c A := 0. 2 Sei β die Belegung mit βv 1 ) = 1 und βv 2 ) = 7, und sei I := A, β). Sei t := fv 2, fv 1, c)) T σ. Dann gilt Definition t I = f A v 2 I, fv 1, c) I) = v 2 I + fv 1, c) I = βv 2 ) + f A v 1 I, c I) = 7 + βv 1 ) + c A) = ) = 8. a) Ist β eine Belegung in einer σ-struktur A, ist x Var und ist a A, so sei β a x die Belegung β mit Def β x) a := Defβ) { x }, die für alle y Def β a x) definiert ist durch a x { a β a x y) := βy) falls y = x sonst. b) Ist I = A, β) eine σ-interpretation, ist x Var und ist a A, so sei I a x I a x := A, β a x). Definition 1.26 Semantik der Logik erster Stufe). Rekursiv über den Aufbau von FO[σ] definieren wir eine Funktion, die jeder FO[σ]-Formel ϕ und jeder zu ϕ passenden σ-interpretation I = A, β) einen Wahrheitswert kurz: Wert) ϕ I { 0, 1 } zuordnet: Wahrheitswert ϕ I Für alle t 1, t 2 T σ ist t 1 = t 2 I := { 1 falls t1 I = t 2 I 0 sonst. 19

12 Für jedes k N >0, jedes k-stellige Relationssymbol R σ und alle t 1,..., t k T σ ist Rt 1,..., t k ) I := { 1 falls t1 I,..., t k I) R A 0 sonst. Für alle ψ FO[σ] ist ψ I := { 1 falls ψ I = 0 0 falls ψ I = 1. Für alle ψ 1, ψ 2 FO[σ] ist { 1 falls ψ1 I = 1 und ψ ψ 1 ψ 2 ) I 2 I = 1 := 0 sonst. ψ 1 ψ 2 ) I := ψ 1 ψ 2 ) I := ψ 1 ψ 2 ) I := { 1 falls ψ1 I = 1 oder ψ 2 I = 1 0 sonst d.h. ψ 1 I = 0 und ψ 2 I = 0). { 1 falls ψ1 I = ψ 2 I 0 sonst. { 1 falls ψ1 I = 0 oder ψ 2 I = 1 0 sonst d.h. ψ 1 I = 1 und ψ 2 I = 0). Für alle ψ FO[σ] und alle x Var ist { 1 falls es mindestens ein a A gibt, so dass ψ I a x = 1 x ψ I := 0 sonst d.h. für alle a A gilt ψ I a x = 0). x ψ I := { 1 falls für alle a A gilt ψ I a x = 1 0 sonst. Beispiel: σ := { E 2 }, ϕ := x y Ex, y) Ey, x)) A := A, E A) mit A = { 1, 2, 3 }, E A = {1, 2), 2, 1), 2, 3)} Skizze: A: β sei die Belegung mit Defβ) = I := A, β) 20

13 ϕ I = 1 für alle a A, für alle b A gilt: Ex, y) Ey, x)) I a b x y = 1 für alle a A, für alle b A gilt: a, b) E A oder b, a) E A für alle a A, für alle b A gilt: falls a, b) E A, so auch b, a) E A E A ist symmetrisch. Da in unserem konkreten Graphen A für a = 2, b = 3 gilt: a, b) E A, aber b, a) E A, ist hier ϕ I = 0. Definition 1.27 Modell, Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit). Sei ϕ eine FO[σ]-Formel. a) Eine σ-interpretation I = A, β) erfüllt ϕ bzw.: ist ein Modell von ϕ, kurz: I = ϕ), falls I passend zu ϕ ist und ϕ I = 1. b) ϕ heißt erfüllbar, falls es eine σ-interpretation gibt, die ϕ erfüllt. ϕ heißt unerfüllbar, falls ϕ nicht erfüllbar ist. c) ϕ heißt allgemeingültig, wenn jede zu ϕ passende σ-interpretation ϕ erfüllt. Modell I = ϕ erfüllbar unerfüllbar allgemeingültig Beobachtung: Für alle ϕ, ψ FO[σ] gilt: ϕ allgemeingültig ϕ unerfüllbar. ϕ erfüllbar ϕ nicht allgemeingültig. Beispiel Graphen) Sei σ := { E 2 }, und sei A = A, E A ) eine σ-struktur. a) Für alle a, b A gilt: Es gibt in A einen Weg der Länge 3 von a nach b A, β ) = x y z 1 z 2 Ex, z1 ) Ez 1, z 2 ) Ez 2, y) ). Hierbei ist β die Belegung mit Defβ ) =. b) A hat Durchmesser 3, d.h. zwischen je zwei Knoten von A gibt es einen Weg der Länge 3 A, β ) = x y x = y Ex, y) z Ex, z) Ez, y) ) z 1 z 2 Ex, z1 ) Ez 1, z 2 ) Ez 2, y) ) ). Beispiel 1.29 Arithmetik). Sei σ Ar = {, +,, 0, 1 }, sei N := N, N, + N, N, 0 N, 1 N ), seien a, b, c N, und sei β die Belegung mit βv 1 ) = a, βv 2 ) = b, βv 3 ) = c. a) a b a teilt b in N ) N, β) = ϕ teilt v 1, v 2 ) mit ϕ teilt v 1, v 2 ) := v 0 v 1 v 0 = v 2. 21

14 b) c = a b N, β) = ϕ v 1, v 2, v 3 ) mit ϕ v 1, v 2, v 3 ) := v 2 + v 3 = v 1. c) a ist eine Primzahl N, β) = ϕ prim v 1 ) mit ϕ prim v 1 ) := v 1 = 0 v 1 = 1 v 4 v 5 v1 = v 4 v 5 v 4 = 1 v 5 = 1) ). d) Es gibt unendlich viele verschiedene Primzahlen N, β ) = v 0 v 1 v0 v 1 ϕ prim v 1 ) ). 1.4 Das Koinzidenzlemma Das Koinzidenzlemma präzisiert den anschaulich offensichtlichen) Sachverhalt, dass die Frage, ob eine FO[σ]-Formel ϕ von einer σ-interpretation I = A, β) erfüllt wird d.h. ob I = ϕ gilt), nur abhängt von der Belegung der in ϕ frei vorkommenden Variablen d.h. für Variablen x freiϕ) ist egal, welchen Wert βx) annimmt) und der Interpretation S A der Symbole S σ, die in ϕ vorkommen d.h. für Symbole S σ, die nicht in ϕ erwähnt werden, ist egal, wie S ) A aussieht). Zur präzisen Formulierung des Koinzidenzlemmas sind folgende Notationen nützlich: Definition Seien σ 1, σ 2 zwei Signaturen. Sei I 1 = A 1, β 1 ) eine σ 1 -Interpretation und sei I 2 = A 2, β 2 ) eine σ 2 -Interpretation mit A 1 = A 2 d.h. A 1 und A 2 haben dasselbe Universum). a) I 1 und I 2 bzw. A 1 und A 2 ) stimmen auf einem Symbol S überein, wenn S σ 1 σ 2 und S A1 = S A2. b) I 1 und I 2 bzw. β 1 und β 2 ) stimmen auf einer Variablen x überein, wenn x Defβ 1 ) Defβ 2 ) und β 1 x) = β 2 x). Satz 1.31 Koinzidenzlemma). Seien σ, σ 1, σ 2 Signaturen mit σ σ 1 σ 2. Für i = 1, 2 sei I i = A i, β i ) eine σ i -Interpretation, so dass A 1 = A 2. a) Sei t T σ, so dass I 1 und I 2 auf allen in t vorkommenden Symbolen und Variablen übereinstimmen. Dann gilt: t I1 = t I2. b) Sei ϕ FO[σ], so dass I 1 und I 2 auf allen in ϕ vorkommenden Symbolen und auf allen freien Variablen von ϕ übereinstimmen. Dann gilt: I 1 = ϕ I 2 = ϕ. Beweis: Einfaches Nachrechnen: Per Induktion nach dem Aufbau von T σ bei a) ) bzw. FO[σ] bei b) ). Details: Übung. 22

15 Bemerkung Wegen des Koinzidenzlemmas können wir einerseits o.b.d.a. annehmen, dass Belegungen minimal sind d.h. ihr Definitionsbereich enthält gerade die freien Variablen einer Formel oder eines Terms). Andererseits können wir aber auch annehmen, dass ihr Definitionsbereich maximal ist d.h. alle Variablen aus Var enthält). Beides wird gelegentlich nützlich sein. Notation a) Für ϕ FO[σ] schreiben wir ϕx 1,..., x n ), um auszudrücken, dass freiϕ) {x 1,..., x n }. Sei I = A, β) eine σ-interpretation mit Defβ) {x 1,..., x 1 } freiϕ). Für i = 1,..., n sei a i := βx i ). An Stelle von I = ϕ schreiben wir oft auch A = ϕ[ a1 x 1,..., an x n ]. Beachte: Diese Schreibweise ist zulässig, da nach dem Koinzidenzlemma für alle σ-interpretationen I = A, β ) mit β x i ) = a i für i = 1,..., n gilt: I = ϕ I = ϕ. b) Um die Notation weiter zu vereinfachen schreiben wir auch kurz [ ] A = ϕ[a 1,..., a n ] an Stelle von A = ϕ a1 x 1,..., an x n. c) Für FO[σ]-Sätze ϕ schreiben wir einfach A = ϕ an Stelle von A, β) = ϕ für eine Belegung β. Beachte: Gemäß Koinzidenzlemma gilt für alle Belegungen β und β, dass A, β) = ϕ A, β ) = ϕ. d) Ähnliche Schreibweisen verwenden wir für Terme: Ist t T σ mit vart) {x 1,..., x n }, so schreibe kurz auch tx 1,..., x n ). Ist I = A, β) eine σ-interpretation mit Defβ) {x 1,..., x n } und a i := βx i ) für i = 1,..., n, so schreibe an Stelle von t I [ auch ] t A a 1 x 1,..., an x n bzw. t A [a 1,..., a n ]. An Stelle von t I schreiben wir manchmal auch It). Definition 1.34 Redukte und Expansionen). Seien σ, τ Signaturen mit τ σ. a) Das τ-redukt einer σ-struktur A ist die τ-struktur A τ mit Universum A τ = A, die mit Redukt A τ A auf allen Symbolen aus τ übereinstimmt. b) Eine σ-expansion einer τ-struktur B ist eine σ-struktur A, für die gilt: A τ = B. Beispiel Zur Erinnerung: Das Standardmodell der Arithmetik ist Das {, +, 0}-Redukt von N ist N = N, N, + N, N, 0 N, 1 N ). N {,+,0} = N, N, + N, 0 N ). Die Struktur N {,+,0} bezeichnet man als das Standardmodell der Presburger Arithmetik benannt nach M. Presburger, ). Expansion Presburger Arithmetik 23

16 1.5 Das Isomorphielemma Das folgende Isomorphielemma besagt, dass zwei σ-strukturen, die isomorph sind, genau dieselben FO[σ]-Sätze erfüllen. D.h. isomorphe Strukturen können nicht durch FO[σ]-Sätze unterschieden werden. Satz 1.36 Isomorphielemma). Sei ϕ ein FO[σ]-Satz und seien A und B zwei isomorphe σ-strukturen. Dann gilt A = ϕ B = ϕ. Beweis: Sei π : A = B ein Isomorphismus von A nach B. Behauptung 1. Für alle σ-terme tx 1,..., x n ) und alle a 1,..., a n A gilt: πt A [a 1,..., a n ]) = t B [πa 1 ),..., πa n )]. Beweis von Behauptung 1: Einfaches Nachrechnen per Induktion nach dem Aufbau von T σ. Details: Übung. Behauptung 1 Behauptung 2. Für alle FO[σ]-Formeln ϕx 1,..., x n ) und alle a 1,..., a n A gilt: A = ϕ[ a 1,..., a n ] B = ϕ[ πa 1 ),..., πa n ) ]. Beweis von Behauptung 2: Einfaches Nachrechnen per Induktion nach dem Aufbau von FO[σ]. Details: Übung. Behauptung 2 Beachte: Die Aussage von Satz 1.36 folgt direkt aus Behauptung 2. Satz 1.36 Obiger Beweis zeigt sogar folgendes Resultat: Korollar Seien A, B σ-strukturen und sei π : A = B. Für jede FO[σ]-Formel ϕx 1,..., x n ) und alle a 1,..., a n A gilt: A = ϕ[ a 1,..., a n ] B = ϕ[ πa 1 ),..., πa n ) ]. 1.6 Das Substitutionslemma Anschaulich besagt das Substitutionslemma Folgendes: Sei ϕ eine FO[σ]-Formel. Ersetzt man in ϕ eine freie Variable x durch einen Term ty 1,..., y n ), so sagt die dadurch entstehende Formel ϕ über den Term ty 1,..., y n ) dasselbe aus wie die Formel ϕ über die Variable x. 24

17 Etwas Vorsicht ist allerdings beim Ersetzen geboten: Beispiel Betrachte die FO[σ Ar ]-Formel die in N besagt, dass v 0 eine gerade Zahl ist. ϕv 0 ) := v 1 v 1 + v 1 = v 0, a) Ersetzt man die Variable v 0 durch die Variable v 5, so erhält man die Formel die in N besagt, dass v 5 gerade ist. ψv 5 ) = v 1 v 1 + v 1 = v 5, b) Ersetzt man die Variable v 0 durch den Term v 0 v 0 ) + 1, so erhält man die Formel v 1 v 1 + v 1 = v 0 v 0 ) + 1, die in N besagt, dass v 0 + v 0 ) + 1 gerade ist. c) Ersetzt man aber die gebundene) Variable v 1 durch die freie) Variable v 0, so erhält man die Formel v 0 v 0 + v 0 = v 0. Diese Formel hat eine völlig andere Bedeutung als die Formel ϕv 0 ). Daher sollte man nur freie Variablen ersetzen! d) Ersetzt man die freie) Variable v 0 durch v 1, so erhält man die Formel v 1 v 1 + v 1 = v 1, die ähnlich wie in c) eine ganz andere Bedeutung hat als die Formel ϕv 0 ). Beim Ersetzen von freien Variablen muss man daher aufpassen, dass es keine Konflikte mit gebundenen Variablen gibt. Die gebundenen Variablen werden daher falls nötig umbenannt. Der Begriff des Ersetzens von Variablen wird daher folgendermaßen formalisiert: Definition a) Eine σ-substitution ist eine Abbildung σ-substitution S : D T σ, wobei D = DefS) Var endlich ist. b) Für eine σ-substitution S sei vars) die Menge aller Variablen, die in einem Term im Bild von S vorkommen. D.h.: vars) := varsx)). x DefS) vars) 25

18 Definition 1.40 Anwenden von Substitutionen auf Interpretationen). Für jede σ-substitution S und jede σ-interpretation I = A, β) mit vars) Defβ) sei IS := A, βs), wobei βs : Defβ) DefS) A die folgendermaßen definierte Belegung ist: Für alle x DefS) ist βsx) := Sx) I. Für alle x Defβ) \ DefS) ist βsx) := βx). ts Definition 1.41 Substitution in Termen). Sei S eine σ-substitution. Induktiv über den Aufbau von T σ definieren wir für jedes t T σ den Term ts, der aus t durch Anwenden der Substitution S entsteht: Für alle x Var ist xs := { Sx) x falls x DefS) sonst. Für alle Konstantensymbole c σ ist cs := c. Für alle k N >0, für alle k-stelligen Funktionssymbole f σ, für alle σ-terme t 1,..., t k ist ft 1,..., t k )S := ft 1 S,..., t k S). Lemma 1.42 Substitutionslemma für Terme). Sei S eine σ-substitution und sei I = A, β) eine σ-interpretation mit vars) Defβ). Für alle σ-terme t mit vart) Defβ) DefS) gilt: ts I = t IS. Beweis: Per Induktion über den Aufbau von Termen. Details: Übung. ϕs Definition 1.43 Substitution in Formeln). Induktiv über den Aufbau von FO[σ] definieren wir für alle σ-substitutionen S und alle FO[σ]- Formeln ϕ die Formel ϕs, die aus ϕ durch Anwenden der Substitution S entsteht: Ist ϕ von der Form t 1 = t 2 mit t 1, t 2 T σ, so ϕs := t 1 S = t 2 S. Ist ϕ von der Form Rt 1,..., t k ) mit R σ, k = arr), t 1,..., t k T σ, so ϕs := Rt 1 S 1,..., t k S). 26

19 Ist ϕ von der Form ψ mit ψ FO[σ], so ϕs := ψs. Ist ϕ von der Form ψ 1 ψ 2 ) mit ψ 1, ψ 2 FO[σ], {,,, }, so ϕs := ψ 1 S ψ 2 S ). Ist ϕ von der Form Qx ψ mit Q {, }, x Var, ψ FO[σ], so ist ϕs := Qy ψs, wobei y und S folgendermaßen gewählt sind: Falls x vars), so y := x und S := S DefS)\{x}. Falls x vars), so ist y die erste Variable in der Aufzählung v 0, v 1, v 2, v 3,... von Var, die nicht in ϕ vorkommt und nicht in vars) liegt, und S := S DefS)\{x} {x, y)} d.h.: die Variable x wird konsistent umbenannt zu y). Satz 1.44 Substitutionslemma für Formeln). Sei S eine σ-substitution und sei I = A, β) eine σ-interpretation mit vars) Defβ). Für alle FO[σ]-Formeln ϕ mit freiϕ) Defβ) DefS) gilt: I = ϕs IS = ϕ. Beweis: Per Induktion über den Aufbau von Formeln, unter Verwendung von Lemma Details: Übung. Notation a) Wir schreiben σ-substitutionen S mit DefS) = {x 1,..., x n } und t i = Sx i ) für i = 1,..., n auch in der Form t 1,...,t n x 1,...,x n. Insbesondere schreiben wir für FO[σ]-Formeln ϕ auch ϕ t1,...,tn x 1,...,x n an Stelle von ϕs. b) Für eine Formel ϕx 1,..., x n ) mit freiϕ) {x 1,..., x n } und für Terme t 1,..., t n schreiben wir auch ϕt 1,..., t n ) an Stelle von ϕ t1,...,tn x 1,...,x n. Entsprechende Schreibweisen verwenden wir auch für Terme. 27

20 Beispiel Sei σ := {f, R}. 2 2 a) Für ϕ := R v 0, fv 1, v 2 ) ) gilt b) Für ϕ := v 0 R v 0, fv 1, v 2 ) ) gilt ϕ v4,fv1,v1) ϕ v2,v0,v1 v 1,v 2,v 3 = R v 0, fv 2, v 0 ) ). v 0,v 2 = v 0 R v 0, fv 1, v 2 ) ) fv 1,v 1) v 2 = v 0 R v 0, f v 1, fv 1, v 1 ) )). c) Für ϕ := v 0 R v 0, fv 1, v 2 ) ) gilt 1.7 Literaturhinweise ϕ v0,v4 v 1,v 0 = v 3 R v 0, fv 1, v 2 ) ) v 0,v 3 v 1,v 0 = v 3 R v 3, fv 0, v 2 ) ). Zur weiteren Lektüre bieten sich die Kapitel 2 und 3 in [EFT07] an. 1.8 Übungsaufgaben Aufgabe 1.1. Geben Sie σ Ar -Formeln an, die im Standardmodell N der Arithmetik folgende intuitive Bedeutung haben: a) Jede natürliche Zahl ist Summe von vier Quadratzahlen. b) Jede Primzahl ist Summe zweier Quadratzahlen. c) Es gibt unendlich viele Primzahlen p N, so dass p = 3m + 2 für eine Zahl m N. d) 2 ist irrational, d.h. es gibt keine Zahlen m, n N mit 2 = m n. e) Jede zusammengesetzte Zahl n N besitzt einen Teiler m N mit m n. Aufgabe 1.2. Die Signatur σ bestehe aus einem 2-stelligen Funktionssymbol f und einem 1-stelligen Relationssymbol P. Betrachten Sie die FO[σ]-Formeln a) ϕ 1 := v 0 v 1 fv 0, v 1 ) = v 1 b) ϕ 2 := v 0 P v0 ) v 1 P fv 0, v 1 )) ) Geben Sie für jedes i {1, 2} σ-interpretationen I i und J i an mit I i = ϕ i und J i = ϕ i. Aufgabe 1.3. Sei σ eine Signatur, die aus endlich vielen Symbolen besteht und sei A eine beliebige σ-struktur, deren Universum A endlich ist. 28

21 a) Geben Sie einen FO[σ]-Satz ϕ A an, der die Struktur A bis auf Isomorphie eindeutig beschreibt. Das heißt es soll für alle σ-strukturen B gelten: B = ϕ A B = A. b) Beweisen Sie, dass ihre Formel ϕ A die in a) geforderte Eigenschaft tatsächlich besitzt. Das heißt, zeigen Sie, dass für alle σ-strukturen B gilt: B = ϕ A B = A. Aufgabe 1.4. Sei σ = {, P a, P b } die Signatur, die aus dem 2-stelligen Relationssymbol sowie zwei 1-stelligen Relationssymbolen P a und P b besteht. Einem endlichen Wort w = w 1 w n der Länge n 1 über dem Alphabet Σ := {a, b} ordnen wir die folgende σ-struktur A w = A w := {1,..., n}, A w, Aw, P Aw a, P Aw b ) zu: Aw ist die natürliche lineare Ordnung auf {1,..., n}, P Aw a := { i A w : w i = a }, P Aw b := { i A w : w i = b }. Ein FO[σ]-Satz ϕ beschreibt eine Sprache L Σ, falls für jedes nicht-leere Wort w Σ gilt: w L A w = ϕ. a) Welche Sprache beschreibt der folgende FO[σ]-Satz ϕ 0? ) := x y x y x=y z z x Pa z)) y z P b z)) ) ) ϕ 0 b) Geben Sie einen FO[σ]-Satz an, der die durch den regulären Ausdruck definierte Sprache beschreibt. aa b) bba b) c) Können Sie auch einen FO[σ]-Satz finden, der die Sprache aller Worte beschreibt, in denen die Anzahl der in ihnen vorkommenden as gerade ist? Falls ja, geben Sie den Satz an; falls nein, versuchen Sie zu erklären, warum es keinen solchen Satz zu geben scheint. Aufgabe 1.5. Beweisen Sie das Koinzidenzlemma Satz 1.31). Aufgabe 1.6. Beweisen Sie das Isomorphielemma Satz 1.36). Aufgabe 1.7. Es sei R ein 2-stelliges Relationssymbol und f ein 2-stelliges Funktionssymbol. Berechnen Sie a) Rv1, v 2 ) fv 0, v 2 )=v 1 ) fv0,v 2) v 0,, fv 1,v 5) v 2 b) v 1 Rv1, v 2 ) fv 0, v 2 )=v 1 ) v2, v 3 v 0, v 2, v 3 v 1, v 2 c) v 1 Rv1, v 2 ) v 2 fv 0, v 2 )=v 1 ) fv0,v 2), v 0 v 0, v 3 d) v 1 Rv0, v 2 ) v 0 Rv 1, fv 4, v 0 )) ) fv 1,v 2) 29

22 Aufgabe 1.8. Es sei f ein 2-stelliges Funktionssymbol. Betrachten Sie die Substitution S mit Sv 1 ) := fv 0, v 0 ), Sv 2 ) := fv 0, v 1 ) und Sv 3 ) := fv 1, v 0 ). Berechnen Sie ϕs für die folgenden Formeln ϕ: a) v 3 = fv 1, v 2 ) b) v 2 v 3 =fv 1, v 2 ) c) v 1 v 3 =fv 1, v 2 ) d) v 1 v 2 v 3 =fv 1, v 2 ). Aufgabe 1.9. Beweisen Sie das Substitutionslemma Satz 1.44). 30