SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN WS 2015/16 ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

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1 SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN WS 2015/16 ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

2 DEFIZITE DER PL ERSTER STUFE Klassische Prädikatenlogik erster Stufe (first-order logic, kurz FOL) hat einige Defizite, die die Ausdrucksstärke betreffen und sich aus dem Umstand ergeben, dass es in Sprachen erster Stufe nur quantifizierbare Individuenvariablen x, y, z gibt. Folgende Aussagen sind nicht (oder nicht offensichtlich) in die Notation der FOL übersetzbar: (1) Es gibt einen Gott und der hat alle positiven Eigenschaften. (2) Es gibt eine Eigenschaft, die jeder erfolgreiche Fussball-Trainer hat. (3) Es gibt genauso viele A s wie B s. (1) (3) sind Beispiele von Sätzen, die Quantifikation über Eigenschaften bzw. Funktionen zu erfordern scheinen.

3 VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ Eine andere Art von Ausdrucksschwäche ergibt sich aus einer Reihe von Metatheoremen zur FOL, die eng mit dem Vollständigkeitssatz zusammenhängen. Sei L eine Sprache erster Stufe, S eine Menge von L-Sätzen, α ein einzelner L-Satz und bezeichne die Ableitungsbeziehung des Kalküls des natürlichen Schließens für die FOL, den wir aus dem GKL kennen. Es gilt der Vollständigkeitssatz. Wenn S α, dann S α. Alternativ lässt sich der Vollständigkeitssatz auch so formulieren: Vollständigkeitssatz*. Wenn S formal konsistent ist, dann ist S erfüllbar.

4 KOMPAKTHEITSSATZ Ein triviale Folgerung aus dem Vollständigkeitssatz ist der Kompaktheitssatz. Sei L wieder eine Sprache erster Stufe, S eine Menge von L-Sätzen und α ein einzelner L-Satz. Es gilt der Kompaktheitssatz. Wenn S α, dann gibt es eine endliche Teilmenge S 0 von S, sodass S 0 α. Alternativ lässt sich der Kompaktheitssatz auch so formulieren: Kompaktheitssatz*. Wenn jede endliche Teilmenge S 0 von S erfüllbar ist, dann ist S erfüllbar.

5 ABZÄHLBARE UND ÜBERABZÄHLBARE MENGEN Um ein weiteres wichtiges Metatheorem der FOL zu formulieren, rufen wir uns zuerst in Erinnerung, dass man zwischen verschiedenen Größen von unendlichen Mengen unterscheiden kann: Definition. Eine Menge A heisst abzählbar unendlich wenn A unendlich viele Elemente enthält und es eine bijektive ( eins-eins ) Abbildung f: A N = {0, 1, 2, 3, } gibt. Eine Menge A heisst überabzählbar unendlich wenn A unendlich, aber nicht abzählbar unendlich ist. Beispiele für abzählbare Mengen: Z, Q, die Menge aller endlichen Folgen in N, die Menge aller Formeln einer Sprache mit endlichem Vokabular. Beispiele für überabzählbare Mengen: R, die Menge aller Teilmengen P(N) der natürlichen Zahlen N.

6 LÖWENHEIM-SKOLEM THEOREME Folgende Theoreme gelten für die FOL: Satz von Löwenheim-Skolem ( abwärts-version ). Wenn S eine Menge von L-Sätzen ist und S ein unendliches Modell hat, dann hat S ein abzählbar unendliches Modell. Satz von Löwenheim-Skolem ( aufwärts-version ). Wenn S eine Menge von L-Sätzen ist und S ein unendliches Modell hat, dann hat S ein überabzählbar unendliches Modell. Allgemeiner gilt: Jede Menge von Sätzen einer Sprache erster Stufe hat, falls sie überhaupt unendlich Modelle hat, Modelle von jeder unendlichen Mächtigkeit.

7 WO IST DAS PROBLEM? Wieso sind das Kompaktheitstheorem und die Löwenheim-Skolem Theoreme so problematisch? Wir haben bisher so getan, als wäre klar, was die natürlichen Zahlen N sind, wie sie strukturiert sind und welche Gesetze von ihnen gelten. Und bis zu einem gewissen Grad stimmt das auch. Für die Zwecke der Mathematik hätten wir aber gerne ein präzises System von Axiomen A, das die Struktur der natürlichen Zahlen N eindeutig charakterisiert. Ein Kandidat für so ein Axiomensystem ist das System der Peano-Arithmetik (PA) erster Stufe.

8 PEANO-ARITHMETIK ERSTER STUFE Das System PA der Peano-Arithmetik ist formuliert in der Sprache der Arithmetik L PA, die als einzige nichtlogische Zeichen die Nachfolgerfunktion s, die Additionsund Multiplikationsfunktion und und eine Konstante 0 enthält. (s(0) soll für 1 stehen, s(s(0)) für 2 etc.) Die Peano-Axiome sind eine unendliche Menge von Sätzen, die grundlegende Wahrheiten über N := N, s N, + N, N, 0 N ausdrücken und sie lauten: (1) x y(x y s(x) s(y)) (2) x(s(x) = 0) (3) x y (x s(y) = s(x y)) (4) x (x 0 = x) (5) x y (x s(y) = x y + x) (6) x (x 0 = 0) (7) α(0) x(α(x) α(s(x)) xα(x) (7), das Induktionsschema, ist kein einzelnes Axiom sondern ein Axiomenschema und enthält für jede Formel α(x) der Sprache der Arithmetik L PA ein Axiom.

9 PEANO-ARITHMETIK ERSTER STUFE Die intendierte Interpretation von PA ist N. D.h. in der intendierten Interpretation von PA laufen die Quantoren über die wirklichen natürlichen Zahlen N, die Zeichen und bezeichnen die wirkliche Additions- und Multiplikationsfunktion, 0 bezeichnet die wirkliche 0 und s die wirkliche Nachfolgerfunktion n n Man hätte gerne, dass PA exakt (zumindest bis auf Isomorophie ) die Struktur N und keine andere beschreibt!

10 PEANO-ARITHMETIK ERSTER STUFE Definition. Zwei Modelle U = U, s U,+ U, U, 0 U, V = V, s V,+ V, V, 0 V von PA heissen isomorph, wenn es eine bijektive Funktion f: U V gibt, sodass gilt: f(0 U ) = 0 V ; für alle n U: f(s U (n)) = s V (f(n)); für alle n, m U: f(n + U m) = f(n) + V f(m); für alle n,m U: f(n U m) = f(n) V f(m). Zwei isomorphe Modelle haben also genau dieselbe Struktur. Alle Beziehungen zwischen Objekten des einen Modelles gelten für die entsprechenden Objekte des anderen Modells. Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim-Skolem implizieren aber, dass genau das nicht der Fall ist und dass das nicht an einem (in FOL) vermeidbaren Defizit von PA liegt!

11 ÜBERABZÄHLBARE NON- STANDARD MODELLE VON PA Der Satz von Löwenheim-Skolem (in der aufwärts -Variante) impliziert: es gibt Modelle von PA, deren domain eine überabzählbare Menge ist. Zum Beispiel gibt es Modelle M von PA, mit M = R, s M,+ M, M, 0 M, deren domain die Menge aller reellen Zahlen R ist. Offenbar kann es keinen Isomorphismus zwischen M und N geben. Das Löwenheim-Skolem Theorem sagt uns also, dass wir PA auch so verstehen können, dass mit den Axiomen von PA Aussagen über eine vollkommen andere Struktur als die der echten natürlichen Zahlen macht!

12 ABZÄHLBARE NON-STANDARD MODELLE VON PA Der Kompaktheitssatz gibt uns eine Möglichkeit an die Hand, wie wir sogar ein abzählbares, zum Standard-Modell N nicht-isomorphes, Modell von PA konstruieren können. Dazu betrachte man die Menge der Peano-Axiome PA zusammen mit der unendlichen Satzmenge C = {c 0, c s(0), c s(s(0)), }, formuliert in der Sprache L PA {c} die ein zusätzliches Konstantensymbol c enthält. Weil jede endliche Teilmenge von PA C erfüllbar ist (wieso?), ist wegen des Kompaktheitssatzes auch PA C durch irgendein Modell N* erfüllt. Da N* ein Modell von PA C ist, ist N* insbesondere auch ein Modell von PA alleine. D.h. es gibt Modelle der Peano-Axiome PA, wo es zusätzlich zu den Standard-Zahlen 0, 1, 2, 3, auch eine Non-Standard-Zahl gibt!

13 NON-STANDARD MODELLE DER PEANO ARITHMETIK Damit ist aber noch nicht Schluss! Es reicht nicht aus, zu den üblichen natürlichen Zahlen nur eine Non-standard Zahl c dazuzunehmen! c Eines der Peano-Axiome sagt uns nämlich, dass jede Zahl einen Nachfolger hat, also muss das auch für c, dessen Nachfolger, dessen Nachfolger etc. gelten c c+1 Jede Zahl ausser 0 hat aber auch einen Vorgänger, also muss es auch vor c noch unendlich viele neue Non-standard Zahlen geben c 1 c c+1 Wir haben nach den wirklichen natürlichen Zahlen also mindestens eine Kopie der ganzen Zahlen. Wie sich zeigt, reich aber auch das noch nicht aus, damit wirklich alle Axiome von PA erfüllt sind

14 SPRACHE DER SECOND-ORDER LOGIC Prädikatenlogik zweiter Stufe (second-order logic, SOL) hat die zauberhafte Macht alle erwähnten Defekte zu beheben! Die Sprache der SOL ist dieselbe wie für FOL, nur dass wir zusätzlich zu den Individuenvariablen auch quantifizierbare Relations- und Funktionsvariablen verschiedener Stelligkeit zur Verfügung haben Relationsvariablen: X, Y, Z, X 2, Y 2, Z 2, X 3, Y 3, Z 3, Funktionsvariablen: f, g, h, f 2, g 2, h 2, f 3, g 3, h 3,

15 SECOND-ORDER LOGIC FOR THE RESCUE Die Tatsache, dass wir jetzt auch über Eigenschaften quantifizieren können, erlaubt es und die Sätze von früher sehr einfach zu formalisieren: (1) Es gibt einen Gott und der hat alle positiven Eigenschaften. (1 ) x(gx X(P(X) Xx)) (2) Es gibt eine Eigenschaft, die jeder erfolgreiche Fussball-Trainer hat. (2 ) X( x(ex Xx) (3) Es gibt genauso viele A s wie B s. (3 ) f(f ist Funktion von den A s zu den B s f ist bijektiv) (Die Abkürzungen f ist Funktion von den A s zu den B s und f ist bijektiv können selbst in FOL definiert werden.)

16 SEMANTIK DER SECOND ORDER LOGIC Auch die Semantik der SOL funktioniert im Prinzip genauso wie die Semantik der FOL, insbesondere ist der Begriff des Modells / Interpretation genauso festgelegt wie in der FOL, d.h. als ein Paar D, I, das aus einer nichtleeren domain D und einer Interpretationsfunktion für das nicht-logische Vokabular besteht. Das einzige, was sich ändert, ist dass es eine Zusatzklausel bei der Definition einer Variablenbelegung gibt, die nun auch Relations- und Funktionsvariablen Werte zuordnen muss. dass es in den Wahrheitsbedinungen für quantifizierte Sätze eine Zusatzklausel für Sätze gibt, die Quantifikationen über Relationen oder Funktionen beinhalten.

17 SEMANTIK DER SECOND ORDER LOGIC Definition. Eine Variablenbelegung ist eine Funktion s, die jeder Individuenvariablen x ein Objekt s(x) D zuordnet. Relationsvariablen X n eine Menge s(x n ) D n zuordnet. Funktionsvariablen f n eine Funktion f*: D n D zuordnet. Definition. Eine X n -(bzw. x- bzw. f n -) Variante s einer Variablenbelegung s ist eine Variablenbelegung, die genau gleich wie s ist, ausser möglicherweise für die Variable X n (bzw. x bzw. f n ). Die Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze (in einem Modell M, relativ zu einer Variablenbelegung s) sind dann offensichtlich (und analog für Sätze, in denen über Funktionen quantifiziert wird): M, s X n α gdw. für alle X n -Varianten s von s gilt: M, s X n α M, s X n α gdw. es gibt eine X n -Variante s von s, sodass: M, s X n α

18 SEMANTIK DER SECOND ORDER LOGIC Wie üblich legen wir dann fest: Definition. Ein Satz ist logisch wahr genau dann wenn er in allen Modellen wahr ist (kurz SOL α). Definition. Ein Satz α folgt logisch aus einer Menge von Sätzen S genau dann wenn α in jedem Modell wahr ist, in dem auch alle Sätze in S wahr sind (kurz S SOL α).

19 SECOND-ORDER LOGIC FOR THE RESCUE Wie sich zeigt, hat SOL einige Eigenschaften, die man gerne haben möchte! Insbesondere gilt: Kompaktheitssatz gilt für SOL nicht mehr! Löwenheim-Skolem Theorem gilt für SOL nicht mehr! Wir können also aufgrund der neuen Ausdrucksstärke der SOL mit Hilfe von Theorien S, die in Sprachen zweiter Stufe formuliert sind, mehr Modelle ausschließen! Definition. Eine Menge von Sätzen S heisst kategorisch, wenn alle Modelle von S isomorph sind.

20 SECOND-ORDER LOGIC FOR THE RESCUE Insbesondere kann man zeigen, dass die Axiome der second-order Peano-Arithmetik PA 2 kategorisch sind! (1) x y(x y S(x) S(y)) (2) x(s(x) = 0) (3) x y (x + S(y) = S(x + y)) (4) x (x + 0 = x) (5) x y (x S(y) = S(x y) + x) (6) x (x 0 = 0) (7) X(X0 x(xx XS(x)) xxx) Aus der Kategorizität von PA 2 folgt auch, dass für einen beliebigen Satz α, der in der Sprache von PA 2 formuliert ist, gilt: N α PA 2 SOL α. PA 2 ist also so unglaublich gut gewählt, dass alle (und nur die) wahren Sätze über natürliche Zahlen aus PA 2 folgen!

21 ALLES HAT SEINEN PREIS Vorteile, die eine Logik in einer bestimmten Hinsicht bringt, werden oft durch Nachteile in einer anderen Hinsicht erkauft. Das ist hier nicht anders! Wir nennen eine Folgerungsbeziehung (stark) vervollständigbar, wenn es einen effektiven Kalkül K gibt der (stark) vollständig in Bezug auf ist, d.h. für den gilt: α K α (S α S K α). Wir wissen z.b. dass der klassische Begriff der logische Wahrheit (bzw. der klassische semantische Folgerungsbegriff) vervollständigbar ist. Es gibt verschiedenste Kalküle die (stark) vollständig in Bezug auf diesen logischen Wahrheitsbegriff (bwz. Folgerungsbegriff) sind.

22 ALLES HAT SEINEN PREIS Theorem. SO-logische Wahrheit (bzw. SO-logische Folgerung) ist nicht schwach (bzw. stark) vervollständigbar. Was dieses Metatheorem besagt, ist, dass es keinen Kalkül gibt, sodass die Theoreme dieses Kalküls genau die allgemeingültigen Sätze der SOL sind. Für jeden SO-Kalkül, den wir aus dem Hut zaubern, wird es also immer allgemeingültige Sätze (bzw. gültige Argumente) geben, die in diesem Kalkül nicht ableitbar sind! Was das in Bezug auf PA 2 bedeutet ist: Wir wissen zwar, dass aus PA 2 alle wahren Sätze der Arithmetik folgen, aber das heisst nicht, dass wir aus PA 2 auch alle wahren Sätze beweisen / ableiten können! Hinter all dem lauern andere, wichtige Meta-theoreme wie Gödels Unvollständigkeitssatz und verwandte Resultate, aber dazu ein ander mal mehr