Grundbegriffe der Informatik

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1 Grundbegriffe der Informatik Einheit 18: Logik Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/35

2 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe Überblick 2/35

3 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe 3/35

4 Das Vokabular Das Vokabular für Prädikatenlogik erster Stufe Variablensymbole x 1, x 2, x 3,... Konstantensymbole c 1, c 2, c 3,... k-stellige Funktionssymbole f k 1, f k 2, f k 3,... (für jedes k N + ) k-stellige Relationssymbole R k 1, R k 2, R k 3,... (für jedes k N + ) logische Konnektiven,, und, Klammern ( und ) und Komma, sowie Quantoren und unendlich viele Symbole, damit man immer genug hat, aber in konkreten Fällen (oft) endlich viele Symbole jeder Art ausreichend. Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe 4/35

5 Syntax prädikatenlogischer Formeln erster Stufe Definition in drei Schritten Terme atomare Formeln Formeln Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe 5/35

6 Syntax von Termen Jedes Variablensymbol ist ein Term. Jedes Konstantensymbol ist ein Term. Wenn f ein k-stelliges Funktionssymbol ist und t 1,..., t k k Terme sind, dann ist auch f (t 1,...,t k ) ein Term. Nichts anderes sind Terme. Terme ohne Variablensymbole heißen Grundterme. Beispiele x 1, x 3, x 42 c 2, c 42, c 4711 f 1 1(x 1 ) f 2 1(c 3,c 2 ) f 2 1(f 1 1(x 1 ),f 2 1(c 3,x 2 )) Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe 6/35

7 Syntax atomarer Formeln Wenn R ein k-stelliges Relationssymbol ist und t 1,..., t k Terme sind, dann ist R(t 1,...,t k ) eine atomare Formel. Nichts anderes sind atomare Formeln. Beispiele R 1 1(x 1 ) R 2 1(c 3,x 2 ) R 2 1(f 1 1(x 1 ),f 2 1(c 3,x 2 )) Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe 7/35

8 Syntax prädikatenlogischer Formeln Jede atomare Formel ist Formel. Wenn F eine Formel ist, dann ist auch ( F) eine Formel. Wenn F 1 und F 2 Formeln sind, dann sind auch (F 1 F 2 ), (F 1 F 2 ) und (F 1 F 2 ) Formeln. Wenn F eine Formel ist und x ein Variablensymbol, dann sind auch ( x F) und ( x F) Formeln. Nichts anderes sind Formeln. Beispiele Bei der Klammersetzung ist man großzügig. ( R 2 5(x 2,x 7 )) R 1 1(x 6 ) ( R 2 5(x 2,x 7 )) x 2 (R 1 1(x 6 ) ( R 2 5(x 2,x 7 ))) Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe 8/35

9 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit 9/35

10 Theorien Axiome: prädikatenlogische Formeln allgemeingültige Aussagen wie F1 F 2 F 1 theoriespezifische Axiome Ableitungsregeln erlauben aus schon bewiesenen Formeln weitere zu folgern Beweis endliche Folge von Formeln F 1, F 2,..., F k, wobei jedes Fi ist Axiom folgt mittels einer Ableitungsregel aus vorherigen Formeln mit kleineren Nummern Theorie endliche viele Konstanten- und Funktionssymbole mindestens ein Relationssymbol Axiome interessant: die Theoreme, d. h. die Menge aller aus den Axiomen ableitbaren Formeln Theorien und Beweisbarkeit 10/35

11 Ableitungsregeln in der Prädikatenlogik üblicherweise zwei Ableitungsregeln Modus ponens Generalisierung hier nur Modus ponens genauer: Wenn schon Formel F1 bewiesen und wenn schon Formel F 1 F 2 bewiesen dann auch Formel F 2 ableitbar Theorien und Beweisbarkeit 11/35

12 Algorithmische Probleme gegeben: Axiome und Ableitungsregeln eine Formel F Frage: Ist die Formel F in der Theorie beweisbar? Das ist unentscheidbar. Theorien und Beweisbarkeit 12/35

13 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 13/35

14 Abgeschlossene Formeln Eine Formel heißt abgeschlossen, wenn jedes Vorkommen eines Variablensymbols x i in einer Teilformel liegt, die die Form ( xi F) oder die Form ( x i F) hat. Im folgenden beschränken wir uns auf abgeschlossene Formeln. Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 14/35

15 Interpretationen Eine Interpretation für eine Formel(menge) ist gegeben durch Menge U, das sogenannte Universum, Element I(c i ) U für jedes Konstantensymbol c i, k-stellige Abbildung I(f k i ) : U k U für jedes k-stellige Funktionssymbol f k i und k-stellige Relation I(R k i ) U k für jedes k-stellige Relationssymbol R k i. Mitteilung: Jede geschlossene Formel ist in einer gegebenen Interpretation stets wahr oder falsch. Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 15/35

16 Interpretationen: Beispiel Formel x 1 R 2 1(f 2 1(x 1,c 1 ),x 1 ) x 1 R 2 1(f 2 1(c 1,x 1 ),x 1 ) in der Interpretation U = N0 I(c1 ) = 0 I(f 2 1 ) = Addition I(R 2 1 ) = Gleichheit ist die Formel wahr: 0 neutrales Element bezüglich + Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 16/35

17 Interpretationen: Beispiel Formel x 1 R 2 1(f 2 1(x 1,c 1 ),x 1 ) x 1 R 2 1(f 2 1(c 1,x 1 ),x 1 ) in der Interpretation U = N0 I(c1 ) = 1 I(f 2 1 ) = Addition I(R 2 1 ) = Gleichheit ist die Formel falsch: es ist nicht x + 1 = x Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 17/35

18 Interpretationen: Beispiel Formel x 1 R 2 1(f 2 1(x 1,c 1 ),x 1 ) x 1 R 2 1(f 2 1(c 1,x 1 ),x 1 ) in der Interpretation U = N0 I(c1 ) = 0 I(f 2 1 ) = Multiplikation I(R 2 1 ) = Gleichheit ist die Formel falsch: es ist z. B. nicht 0 1 = 1 Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 18/35

19 Interpretationen: Beispiel Formel x 1 R 2 1(f 2 1(x 1,c 1 ),x 1 ) x 1 R 2 1(f 2 1(c 1,x 1 ),x 1 ) in der Interpretation U = N0 I(c1 ) = 0 I(f 2 1 ) = Addition I(R 2 1 ) = Ungleichheit ist die Formel falsch: es ist z. B. nicht Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 19/35

20 Interpretationen: Beispiel Formel x 1 R 2 1(f 2 1(x 1,c 1 ),x 1 ) x 1 R 2 1(f 2 1(c 1,x 1 ),x 1 ) in der Interpretation U = {a, b} I(c1 ) = ε I(f 2 1 ) = Konkatenation I(R 2 1 ) = Identität ist die Formel wahr: ε neutrales Element bezüglich Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 20/35

21 Modelle Eine Interpretation ist Modell für eine Menge abgeschlossener Formeln, wenn jede der Formeln in der Interpretation wahr ist. Ein normales Modell ist ein Modell, bei dem R 2 1 als Identität interpretiert wird im folgenden ausschließlich normale Modelle schreiben statt R 2 1 deutlicher = Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 21/35

22 Beweise sind Beweise für alle Modelle Manchmal interessiert nur genau eine Interpretation Mathematik: (in den ersten Wochen) nur Universum U = R Wenn etwas bewiesen wurde, dann etwas über die reellen Zahlen. Jedenfalls wurde vermutlich so getan. Alle Ableitungsregeln haben die Eigenschaft: Wenn die Formeln, die Voraussetzung sind, in einer Interpretation wahr sind, dann auch die Formel, die mit Hilfe der Ableitungsregel folgt. Konsequenz: Jedes Modell aller Axiome ist auch Modell aller Theoreme. Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 22/35

23 Beweise für alle Modelle : Beispiel Axiom x 1 f 2 1(x 1,c 1 )=x 1 x 1 f 2 1(c 1,x 1 )=x 1 (und weitere... ) mit Hilfe endlicher vieler Ableitungsschritte folgt: x 2 ( ( x 1 f 2 1(x 1,x 2 )=x 1 x 1 f 2 1(x 2,x 1 )=x 1 ) x 2 =c 1 ) Was bedeutet das? obere Formel: I(c1 ) neutrales Element bzgl. I(f 2 1 ) untere Formel: Ein solches neutrales Element ist eindeutig. Untere Formel gilt in allen Modellen der oberen Formel. Ein solches neutrales Element ist also immer eindeutig. Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln 23/35

24 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 24/35

25 Gruppen Axiome: x 1 x 2 x 3 f 2 1 (x 1,f 2 1 (x 2,x 3 ))=f 2 1 (f2 1 (x 1,x 2 ),x 3 ) x 1 (f 2 1 (x 1,c 1 )=x 1 f 2 1 (c 1,x 1 )=x 1 ) x1 x 2 (f 2 1 (x 1,x 2 )=c 1 f 2 1 (x 2,x 1 )=c 1 ) Bedeutung: assoziative Operation neutrales Element inverse Elemente normale Modelle: alle Gruppen Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 25/35

26 Halbordnungen Axiome: x 1 R 2 2 (x 1,x 1 ) x 1 x 2 (R 2 2 (x 1,x 2 ) R 2 2 (x 2,x 1 ) x 1 =x 2 ) x1 x 2 x 3 (R 2 2 (x 1,x 2 ) R 2 2 (x 2,x 3 ) R 2 2 (x 1,x 3 )) Bedeutung: reflexive Relation antisymmetrische Relation transitive Relation normale Modelle: alle Halbordnungen Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 26/35

27 Jacques Herbrand Jacques Herbrand ( ) bei einer Bergtour verunglückt Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 27/35

28 Herbrand-Modelle gegeben: Theorie mit mindestens einem Konstantensymbol Universum: Menge H aller Grundterme alle Terme aus Konstanten- und Funktionssymbolen Variablensymbole sind nicht erlaubt Die Interpretation fi k = I(f k i ) eines k-stelligen Funktionssymbols f k i ist fi k : H k H mit f k i (t 1,..., t k ) = f k i (t 1,...,t k ) Die Interpretation Ri k = I(R k i ) eines k-stelligen Relationssymbols R k i ist Ri k H k mit R k i = {(t 1,...,t k ) R k i (t 1,...,t k ) ist beweisbar} Achtung Hier stehen keine Trivialitäten! Unterscheide Symbole und ihre Interpretationen! Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 28/35

29 Herbrand-Modell: Beispiel ein einziges Konstantensymbol c 1 und ein einziges Funktionssymbol f 1 1 Herbrand-Universum: H = {c 1, f 1 1(c 1 ), f 1 1(f 1 1(c 1 )), f 1 1(f 1 1(f 1 1(c 1 ))), f 1 1(f 1 1(f 1 1(f 1 1(c 1 )))),... } Die Interpretation des einstelligen Funktionssymbols f 1 1 ist eine einstellige Funktion s : H H, für die zum Beispiel gilt: s(c 1 ) = f 1 1(c 1 ) s(f 1 1(c 1 )) = f 1 1(f 1 1(c 1 )). Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 29/35

30 Herbrand-Modelle Wenn eine Theorie überhaupt ein Modell besitzt, dann ist die Herbrand-Interpretation ein Modell. Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln 30/35

31 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und Beweisbarkeit Interpretationen und Modelle für geschlossene Formeln Beispiele für Modelle für geschlossene Formeln Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe 31/35

32 Beispiel 1 Herbrand-Modell: Wenn eine Theorie überhaupt ein Modell besitzt, dann eines Modell mit abzählbar unendlich vielen Elementen. Also ist es unmöglich, in Prädikatenlogik erster Stufe Axiome hinzuschreiben, deren einziges Modell die reellen Zahlen sind. Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe 32/35

33 Beispiel 2 Mitteilung: Jede Theorie, die überhaupt ein Modell besitzt, hat immer auch Modelle beliebig großer Kardinalität. Es ist also nicht möglich, in Prädikatenlogik erster Stufe Axiome hinzuschreiben, deren einziges Modell die natürlichen Zahlen sind. Die Peano-Axiome sind also nicht in Prädikatenlogik erster Stufe formulierbar. Das Axiom für die vollständige Induktion spricht über Teilmengen des Universum, nicht über Elemente. Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe 33/35

34 Beispiel 3 Mitteilung: Man kann noch nicht einmal erzwingen, dass die natürlichen Zahlen das einzige Modell mit abzählbar unendlich großem Universum sind. Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe 34/35

35 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Prädikatenlogik erster Stufe erlaubt es, die Axiome für manche Typen algebraischer Strukturen hinzuschreiben. Man kann die Ableitungsregeln für Beweise so wählen, dass Beweisbarkeit und Wahrheit in allen Modellen übereinstimmen. Das sollten Sie üben: ganz normale Beweise Grenzen von Prädikatenlogik erster Stufe 35/35