Logik für Informatiker

Transkript

1 Vorlesung Logik für Informatiker 3. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.16

2 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Logik für Informatiker, SS 06 p.17

3 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Logik für Informatiker, SS 06 p.17

4 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) Logik für Informatiker, SS 06 p.17

5 Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen 1 Symbol für den Wahrheitswert wahr 0 Symbol für den Wahrheitswert falsch Negationssymbol ( nicht ) Konjunktionssymbol ( und ) Disjunktionssymbol ( oder ) Implikationssymbol ( wenn... dann ) Symbol für Äquivalenz ( genau dann, wenn ) ( ) die beiden Klammern Logik für Informatiker, SS 06 p.17

6 Vokabular der Aussagenlogik: Signatur Definition: Aussagenlogische Signatur Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Σ = {P 0,..., P n } oder Σ = {P 0, P 1,...} Logik für Informatiker, SS 06 p.18

7 Vokabular der Aussagenlogik: Signatur Definition: Aussagenlogische Signatur Abzählbare Menge von Symbolen, etwa Σ = {P 0,..., P n } oder Σ = {P 0, P 1,...} Bezeichnungen für Symbole in Σ atomare Aussagen Atome Aussagevariablen Logik für Informatiker, SS 06 p.18

8 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For0 Σ der Formeln über Σ Die kleinste Menge mit: 1 For0 Σ und 0 For0 Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.19

9 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For0 Σ der Formeln über Σ Die kleinste Menge mit: 1 For0 Σ und 0 For0 Σ Σ For0 Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.19

10 Formeln der Aussagenlogik Definition: Menge For0 Σ der Formeln über Σ Die kleinste Menge mit: 1 For0 Σ und 0 For0 Σ Σ For0 Σ Wenn A, B For0 Σ, dann auch A, (A B), (A B), (A B), (A B) Elemente von For0 Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.19

11 Beispiel: Formeln aus der Wumpus-Welt Aussagenlogische Variablen P i,j bedeutet: B i,j bedeutet: Grube in [i, j] Luftzug in [i, j] P 1,1 B 1,1 B 2,1 Logik für Informatiker, SS 06 p.20

12 Beispiel: Formeln aus der Wumpus-Welt Aussagenlogische Variablen P i,j bedeutet: B i,j bedeutet: Grube in [i, j] Luftzug in [i, j] P 1,1 B 1,1 B 2,1 Formeln Gruben bewirken Luftzug in angrenzenden Feldern P 1,2 (B 1,1 B 1,3 B 2,2 ) Luftzug in einem Feld gdw. es an eine Grube grenzt B 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) B 2,1 (P 1,1 P 2,2 P 3,1 ) Logik für Informatiker, SS 06 p.20

13 Induktion über Formelaufbau: Beispiel Lemma Ist A For0 Σ und sind B, C Teilformeln von A, dann gilt C ist Teilformel von B, oder B ist Teilformel von C, oder B, C liegen getrennt Beweis: Durch noethersche Induktion über den Formelaufbau Logik für Informatiker, SS 06 p.21

14 Semantik der Aussagenlogik Σ eine aussagenlogische Signatur Definition: Aussagenlogisches Modell (Interpretation) Eine beliebige Abbildung I : Σ {true, false} Logik für Informatiker, SS 06 p.22

15 Semantik der Aussagenlogik Σ eine aussagenlogische Signatur Definition: Aussagenlogisches Modell (Interpretation) Eine beliebige Abbildung I : Σ {true, false} Beispiel A B C true true false (Bei drei Symbolen gibt es 8 mögliche Modelle) Logik für Informatiker, SS 06 p.22

16 Semantik der Aussagenlogik Definition: Auswertung von Formeln in einem Modell Zu Modell / Interpretation I val I : For0 Σ {true, false} mit: val I (1) = true val I (0) = false val I (P) = I(P) für P Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.23

17 Semantik der Aussagenlogik und: val I ( A) = false falls val I (A) = true true falls val I (A) = false Logik für Informatiker, SS 06 p.24

18 Semantik der Aussagenlogik und: val I (A B) = val I (A B) = true falls val I (A) = true und val I (B) = true false sonst true falls val I (A) = true oder val I (B) = true false sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.25

19 Semantik der Aussagenlogik und: val I (A B) = true falls val I (A) = false oder val I (B) = true false val I (A B) = sonst true falls val I (A) = val I (B) false sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.26