Logik für Informatiker

Transkript

1 Vorlesung Logik für Informatiker 10. Prädikatenlogik Substitutionen und Unifikation Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1

2 Substitutionen Definition: Substitution Belegung von Variablen mit Termen Formal: Funktion σ : Var Term Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.2

3 Substitutionen Definition: Substitution Belegung von Variablen mit Termen Formal: Funktion σ : Var Term Σ Schreibweise für σ {x 1 /t 1,..., x n /t n } wobei σ(x) = t i x if x = x i für 1 i n sonst Logik für Informatiker, SS 06 p.2

4 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Definition: Anwendung auf Terme und Formeln σ(s(t 1,..., t n )) = s(σ(t 1 ),..., σ(t n )) für s F Σ P Σ (insbes.: σ(c) = c für Konstanten c) Logik für Informatiker, SS 06 p.3

5 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Definition: Anwendung auf Terme und Formeln σ(s(t 1,..., t n )) = s(σ(t 1 ),..., σ(t n )) für s F Σ P Σ (insbes.: σ(c) = c für Konstanten c) σ( A) = σ(a) σ(a B) = σ(a) σ(b) für {,,, } Logik für Informatiker, SS 06 p.3

6 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Definition: Anwendung auf Terme und Formeln σ(s(t 1,..., t n )) = s(σ(t 1 ),..., σ(t n )) für s F Σ P Σ (insbes.: σ(c) = c für Konstanten c) σ( A) = σ(a) σ(a B) = σ(a) σ(b) für {,,, } σ(qxa) = Qxσ (A) für Q {, }, wobei σ = σ\{x/t t Term Σ } Logik für Informatiker, SS 06 p.3

7 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Definition: Anwendung auf Terme und Formeln σ(s(t 1,..., t n )) = s(σ(t 1 ),..., σ(t n )) für s F Σ P Σ (insbes.: σ(c) = c für Konstanten c) σ( A) = σ(a) σ(a B) = σ(a) σ(b) für {,,, } σ(qxa) = Qxσ (A) für Q {, }, wobei σ = σ\{x/t t Term Σ } σ({a 1,..., A n }) = {σ(a 1 ),..., σ(a n )} Logik für Informatiker, SS 06 p.3

8 Substitutionen Notation: Substitutionsanwendung in Postfix-Schreibweise Fσ für σ(f) tσ für σ(t) Logik für Informatiker, SS 06 p.4

9 Substitutionen Notation: Substitutionsanwendung in Postfix-Schreibweise Fσ für σ(f) tσ für σ(t) Konkatenation von Substitutionen (σ τ )(x) = σ(τ (x)) Nota bene F(σ τ ) = Fτ σ Logik für Informatiker, SS 06 p.4

10 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Achtung (I): Alle Vorkommen einer Variablen werden simultan ersetzt! Logik für Informatiker, SS 06 p.5

11 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Achtung (I): Alle Vorkommen einer Variablen werden simultan ersetzt! Beispiel σ = {x/y, y/z} dann ( f (x, y))σ = f (y, z) Logik für Informatiker, SS 06 p.5

12 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Achtung (II): Nur freie Variablenvorkommen werden ersetzt! Logik für Informatiker, SS 06 p.6

13 Substitutionen: Anwendung auf Terme und Formeln Achtung (II): Nur freie Variablenvorkommen werden ersetzt! Beispiel σ = {x/c, y/d} dann ( y p(x, y))σ = y (c, y) Logik für Informatiker, SS 06 p.6

14 Besondere Substitutionen Definition: Variablenumbenennung Eine Substitution ist eine Variablenumbenennung, falls sie eine Permutation auf Var ist Logik für Informatiker, SS 06 p.7

15 Besondere Substitutionen Definition: Variablenumbenennung Eine Substitution ist eine Variablenumbenennung, falls sie eine Permutation auf Var ist Definition: Identische Substitution id bezeichent die identische Substitution, d.h. id(x) = x für alle x Var Logik für Informatiker, SS 06 p.7

16 Besondere Substitutionen Definition: Variablenumbenennung Eine Substitution ist eine Variablenumbenennung, falls sie eine Permutation auf Var ist Definition: Identische Substitution id bezeichent die identische Substitution, d.h. id(x) = x für alle x Var Definition: Grundsubstitution Eine Substitution, die alle Variablen mit Grundtermen (variablenfreien Termen) belegt, heißt Grundsubstitution Logik für Informatiker, SS 06 p.7

17 Substitutionstheorem Substitutionstheorem I eine prädikatenlogische Interpretation σ = {x 1 /t 1,..., x n /t n } eine Substitution F eine Formel dann I(Fσ) = I x1 /I(t 1 ),...,x n /I(t n ) (F) Logik für Informatiker, SS 06 p.8

18 Substitutionstheorem Substitutionstheorem I eine prädikatenlogische Interpretation σ = {x 1 /t 1,..., x n /t n } eine Substitution F eine Formel dann I(Fσ) = I x1 /I(t 1 ),...,x n /I(t n ) (F) Beweis Einfach durch Induktion über strukturellen Aufbau von F Logik für Informatiker, SS 06 p.8

19 Kollisionsfreie Substitution Definition: Kollisionsfreie Substitution (engl.: admissible substitution) σ eine Substitution F eine Formel σ heißt kollisionsfrei (bzgl. F), falls es folgendes nicht gibt: Logik für Informatiker, SS 06 p.9

20 Kollisionsfreie Substitution Definition: Kollisionsfreie Substitution (engl.: admissible substitution) σ eine Substitution F eine Formel σ heißt kollisionsfrei (bzgl. F), falls es folgendes nicht gibt: eine freies Vorkommen einer Variablen z, das im Skopus einer Quantifizierung x oder x liegt, und x kommt in σ(z) vor Logik für Informatiker, SS 06 p.9

21 Kollisionsfreie Substitution Beispiel {z/x} ist nicht kollisionsfrei bzgl. x p(x, z) Logik für Informatiker, SS 06 p.10

22 Kollisionsfreie Substitution Beispiel {z/x} ist nicht kollisionsfrei bzgl. x p(x, z) Intuitive Bedeutung des Begriffs Aus folgt x F F{x/t} Dies gilt allerdings i.a. nur, wenn {x/t} kollisionsfrei für F Logik für Informatiker, SS 06 p.10

23 Gebundene Umbenennung Definition: Gebundene Umbenennung Alle Vorkommen einer Variablen x in einer Quantifizierung x oder x im Skopus dieser Quantifizierung werden durch eine neue (bisher nicht vorkommende) Variable y ersetzt Logik für Informatiker, SS 06 p.11

24 Gebundene Umbenennung Definition: Gebundene Umbenennung Alle Vorkommen einer Variablen x in einer Quantifizierung x oder x im Skopus dieser Quantifizierung werden durch eine neue (bisher nicht vorkommende) Variable y ersetzt Eigenschaften Gebundene Umbenennung ist Äquivalenzumformung Gebundene Umbenennung erlaubt, Kollisionen zu beseitigen Logik für Informatiker, SS 06 p.11